天津市武清区杨村第三中学2020-2021学年高二(上)第一次月考数学试卷(解析版)

2020-2021学年天津市武清区杨村三中高二（上）第一次月考数
学试卷
一、选择题.
1．已知直线l的方程为y＝﹣x+1，则该直线l的倾斜角为（）
A．30°B．45°C．60°D．135°
2．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M在AC上，且AM＝MC，N在A1D上，且A1N＝2ND．设＝，＝，＝，则＝（）
A．﹣++B．+﹣
C．﹣﹣D．﹣++
3．与直线l：mx﹣m2y﹣1＝0垂直于点P（2，1）的直线的一般方程是（）
A．x+y﹣3＝0B．x+y+3＝0C．x﹣y﹣3＝0D．m2x+my﹣1＝0 4．已知空间向量＝（t，1，t），＝（t﹣2，t，1），则|﹣|的最小值为（）A．B．C．2D．4
5．“a＝3”是“直线ax+2y+2a＝0和直线3x+（a﹣1）y﹣a+7＝0平行”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是（）A．B．C．D．
7．已知A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）
A．k B．C．k或k≥2D．k≤2
8．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则C1到直线CE的距离为（）
A．B．C．D．
9．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF．当A1，E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为（）
A．B．C．D．
二、填空题
10．设点A（m，﹣m+3），B（2，m﹣1），C（﹣1，4），直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为．
11．已知向量，，是三个不共面的非零向量，且＝2﹣+，＝﹣+4
﹣2，＝11+5+λ，若向量、、共面，则λ＝．
12．已知点M（a，b）在直线3x+4y＝15上，则的最小值为．
13．已知四面体P﹣ABC，∠P AB＝∠BAC＝∠P AC＝60°，||＝1，||＝2，||＝3，则|++|＝．
14．已知点A（1，1），B（3，5）到经过点（2，1）的直线l的距离相等，则l的方程为．15．已知两点A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2）点Q在直线OP上运动，则当
取得最小值时，Q点的坐标．
三、解答题
16．已知△ABC的顶点A（﹣2，1），B（4，3），C（2，﹣2）．试求：
（1）AB边的中线所在直线的方程；
（2）AC边上的高所在直线的方程．
17．已知三棱锥P﹣ABC中，P A⊥ABC，AB⊥AC，P A＝AC＝AB，N为AB上一点，AB
＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．
18．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B 上的点，且DE＝B1F＝1．
（Ⅰ）求证：BE⊥平面ACF；
（Ⅱ）求点E到平面ACF的距离．
19．已知光线经过已知直线l1：3x﹣y+7＝0和l2：2x+y+3＝0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射．
（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；
（2）求反射光线所在的直线l3的方程．
（3）求与l3距离为的直线方程．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB∥CD，且CD＝2，AB＝1，，AB⊥BC，N为PD的中点．
（1）求证：AN∥平面PBC；
（2）求平面P AD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
2020-2021学年天津市武清区杨村三中高二（上）第一次月考数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题.
1．【分析】由直线的方程求出斜率，再由斜率的值及倾斜角的范围求出倾斜角的值．
【解答】解：∵直线l的方程为y＝﹣x+1，∴斜率为﹣1，又倾斜角α∈[0，π），∴α＝135°．故选：D．
2．【分析】由平面向量的基本定理可得＝++，进而用，，表示．
【解答】解：因为M在AC上，且AM＝MC，
N在A1D上，且A1N＝2ND，所以＝，＝，
在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，＝，＝，＝，
所以＝+，＝﹣，
所以＝++＝﹣++＝（+）++（﹣）＝﹣+ +，
故选：A．
3．【分析】设与直线l1：mx﹣m2y﹣1＝0垂直的直线方程为m2x+my+t＝0，把P（2，1）代入可得2m2+m+t＝0，2m﹣m2﹣1＝0，联立解得即可．
【解答】解：设与直线l：mx﹣m2y﹣1＝0垂直的直线方程为m2x+my+t＝0，
把P（2，1）代入可得2m2+m+t＝0，2m﹣m2﹣1＝0，
解得m＝1，t＝﹣3．
所求直线的方程为x+y﹣3＝0．
故选：A．
4．【分析】由已知求得，再由向量模的计算公式求||，利用配方法求最值．
【解答】解：∵＝（t，1，t），＝（t﹣2，t，1），
∴＝（2，1﹣t，t﹣1），
则|﹣|＝，
∴当t＝1时，|﹣|取最小值为2．
故选：C．
5．【分析】若“a＝3”成立，判断出两直线平行；反之，当“两直线平行”成立时，得到a ＝3或a＝﹣2；利用充要条件的有关定义得到结论．
【解答】解：若“a＝3”成立，则两直线的方程分别是3x+2y+6＝0与3x+2y+4＝0，两直线平行；
反之，当“直线ax+2y+2a＝0与直线3x+（a﹣1）y﹣a+7＝0平行”成立时，有＝，且2a≠﹣a+7，所以a＝3或a＝﹣2；
所以“a＝3”是“直线ax﹣2y﹣1＝0与直线6x﹣4y+c＝0平行”的充分不必要条件，
故选：A．
6．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，
则B（1，1，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），D（0，0，0），
＝（﹣1，0，1），＝（1，0，1），＝（1，1，0），
设平面A1BD的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，﹣1，﹣1），
设直线BC1与平面A1BD所成的角为θ，
则sinθ＝＝＝，
∴直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为．
故选：C．
7．【分析】利用斜率计算公式及其意义即可得出结论．
【解答】解：k P A＝＝2，k PB＝＝．
∵直线l过点P（1，1）与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是：k，或k ≥2．
故选：C．
8．【分析】过C1作C1F⊥CE于点F，则C1F即为所求，由CC1⊥平面A1B1C1D1，知CC1⊥EC1，由勾股定理可求得C1E和CE的长，再由等面积法，即可得解．
【解答】解：过C1作C1F⊥CE于点F，则C1F即为所求，
由正方体的性质，知CC1⊥平面A1B1C1D1，
∴CC1⊥EC1，
在Rt△C1D1E中，C1E＝＝＝，
在Rt△CC1E中，CE＝＝＝，
＝CC1•C1E＝C1F•CE，
∴1×＝C1F×，
∴C1F＝．
故选：C．
9．【分析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意知：当E（6，3，0），F（3，6，0）时，A1，E，F、C1共面，由此利用向量法能求出平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值．
【解答】解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
由题意知：当E（6，3，0），F（3，6，0）时，A1，E，F、C1共面，
设平面A1DE的法向量为＝（a，b，c），
＝（6，0，6），＝（6，3，0），A1（6，06），D（0，0，0），C1（0，6，6），
则，取a＝1，得＝（1，﹣2，﹣1），
设平面C1DF的一个法向量为＝（x，y，z），
＝（0，6，6），＝（3，6，0），
则，取x＝2，得＝（2，﹣1，1），
设平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角为θ，
则cosθ＝＝＝，
∴平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为．
故选：B．
二、填空题
10．【分析】由题意可得：＝3×，解出即可得出．
【解答】解：由题意可得：＝3×，（*）
化为：m2﹣3m﹣4＝0，
解得m＝﹣1或4，
经过验证：m＝﹣1不满足方程（*），舍去，
∴m＝4．
故答案为：4．
11．【分析】由向量、、共面，得到＝x+y，列出方程组，能求出λ的值．
【解答】解：向量，，是三个不共面的非零向量，
＝2﹣+，＝﹣+4﹣2，＝11+5+λ，向量、、共面，∴＝x+y，
∴2﹣+＝x（﹣+4﹣2）+y（11+5+λ）
＝（﹣x+11y）+（4x+5y）+（﹣2x+λy），
∴，解得x＝﹣，y＝，λ＝1．
故答案为：1．
12．【分析】考虑的几何意义，利用转化思想，求出原点到直线3x+4y＝15的距离即可．
【解答】解：的几何意义是到原点的距离，
它的最小值转化为原点到直线3x+4y＝15的距离：＝3．
故答案为3．
13．【分析】根据题意，由空间向量的数量积计算公式可得|++|2＝2+2+2+2•+2•+•，代入数据计算可得答案．
【解答】解：根据题意，四面体P﹣ABC，∠P AB＝∠BAC＝∠P AC＝60°，||＝1，||＝2，||＝3，
则|++|2＝2+2+2+2•+2•+•
＝1+4+9+2×1×2×cos60°+2×2×3×cos60°+2×1×3×cos60°
＝25；
则|++|＝5；
故答案为：5．
14．【分析】根据题意，分析可得当直线l平行于直线AB或过线段AB的中点时，满足题意，据此分2种情况讨论，求出直线l的方程，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，当直线l平行于直线AB或过线段AB的中点时，满足题意，
若直线l平行于直线AB，则其斜率k l＝k AB＝＝2，
此时直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣2），即2x﹣y﹣3＝0，
若直线l经过AB的中点时，点A（1，1），B（3，5），则AB中点的坐标为（2，3），
当直线l经过线段AB的中点（2，3）时，l的方程是x﹣2＝0，
综合可得：直线l的方程为：2x﹣y﹣3＝0或x＝2，
故答案为：2x﹣y﹣3＝0或x＝2．
15．【分析】可先设Q（x，y，z），由点Q在直线OP上可得Q（λ，λ，2λ），则由向量的数量积的坐标表示可求，然后根据二次函数的性质可求，取得最小值时的λ，进而可求Q点的坐标．
【解答】解：设Q（x，y，z）
∵A（1，2，3），（2，1，2），P（1，1，2），
则由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得＝（λ，λ，2λ）
则Q（λ，λ，2λ）
＝（1﹣λ，2﹣λ，3﹣2λ），＝（2﹣λ，1﹣λ，2﹣2λ）
∴＝（1﹣λ）（2﹣λ）+（2﹣λ）（1﹣λ）+（3﹣2λ）（2﹣2λ）＝2（3λ2﹣8λ+5）
根据二次函数的性质可得当λ＝时，取得最小值﹣此时Q点的坐标为：（）故答案为：（）
三、解答题
16．【分析】（1）先求出AB边的中点M的坐标，再利用两点式求得AB边的中线所在直线的方程．
（2）利用两条直线垂直的性质，求出AC边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程．
【解答】解：（1）∵已知△ABC的顶点A（﹣2，1），B（4，3），C（2，﹣2），
故AB边的中点M（1，2），故AB边的中线CM所在直线的直线方程为＝，即4x+y ﹣6＝0．
（2）AC边所在直线的斜率为＝﹣，故AC边上的高所在直线的斜率为，
故AC边上的高所在直线方程y﹣3＝（x﹣4），即4x﹣3y﹣7＝0．
17．【分析】由P A＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，我们不妨令P A＝1，然后以A 为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系．由此不难得到各点的坐标（1）要证明CM⊥SN，我们可要证明即可，根据向量数量积的运算，我们不难证明；
（2）要求SN与平面CMN所成角的大小，我们只要利用求向量夹角的方法，求出SN和方向向量与平面CMN的法向量的夹角，再由它们之间的关系，易求出SN与平面CMN所成角的大小．
【解答】证明：设P A＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．
则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），
M（1，0，），N（，0，0），S（1，，0）．（4分）
（Ⅰ），
因为，
所以CM⊥SN（6分）
（Ⅱ），
设a＝（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
则令x＝2，得a＝（2，1，﹣2）．
因为，
所以SN与平面CMN所成角为45°．
18．【分析】（I）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只要证明这条直线与平面上的两条直线垂直．
（II）为平面ACF的一个法向量，向量在上的射影长即为E到平面ACF的距离，根据点到面的距离公式得到结果．
【解答】解：（Ⅰ）如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴
建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），
C（0，2，0），D1（0，0，5），E（0，0，1），F（2，2，4）
∴＝（﹣2，2，0），＝（0，2，4），
＝（﹣2，﹣2，1），＝（﹣2，0，1）．
∴
∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF＝A
∴BE⊥平面ACF
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，为平面ACF的一个法向量
∴向量在上的射影长即为E到平面ACF的距离，设为d
于是d＝＝
故点E到平面ACF的距离
19．【分析】（1）联立方程组，求出M的坐标，从而求出P的坐标即可；
（2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN的方程，根据对称性求出直线方程即可；
（3）设出与l3平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可．
【解答】解：（1）由得，∴M（﹣2，1）．
所以点M关于x轴的对称点P的坐标（﹣2，﹣1）．…（4分）
（2）因为入射角等于反射角，所以∠1＝∠2．
直线MN的倾斜角为α，则直线l3的斜斜角为180°﹣α.，所以直线l3的斜率．
故反射光线所在的直线l3的方程为：．即．…（9分）
解法二：
因为入射角等于反射角，所以∠1＝∠2．
根据对称性∠1＝∠3，∴∠2＝∠3．
所以反射光线所在的直线l3的方程就是直线PN的方程．
直线PN的方程为：，整理得：．
故反射光线所在的直线l3的方程为．…（9分）
（3）设与l3平行的直线为，
根据两平行线之间的距离公式得：，解得b＝3，或，
所以与l3为：，或．…（13分）
20．【分析】过A作AE⊥CD于点E，以A为原点，AE、AB、AP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，依次写出A、B、E、D、C、P、N的坐标．
（1）根据法向量的性质求得平面PBC的法向量，由•＝0以及线面平行的判定定理即可得证；
（2）同理求得平面P AD的法向量，由空间向量数量积的坐标运算求出cos＜，＞即可得解；
（3）设M（x，y，z），由＝λ，λ∈[0，1]，可用含λ的式子表示出点M的坐标，由题可知，＝||，于是列出关于λ的方程，解之即可．
【解答】解：过A作AE⊥CD于点E，则DE＝1，以A为原点，AE、AB、AP所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，1，0），E（，0，0），D（，﹣1，0），C（，1，0），P（0，0，1），
∵N为PD的中点，∴N（，，）．
（1）＝（，，），＝（0，﹣1，1），＝（，0，0）．
设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），则，
令y＝1，则x＝0，z＝1，∴＝（0，1，1），
∴•＝+＝0，即⊥，
又AN⊄平面PBC，∴AN∥平面PBC．
（2）由（1）知，＝（0，0，1），＝（，﹣1，0），
设平面P AD的法向量为＝（a，b，c），则，
令a＝1，则b＝，c＝0，∴＝（1，，0），
∴cos＜，＞＝＝＝．
故平面P AD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．
（3）令＝λ，λ∈[0，1]，设M（x，y，z），
∴（x﹣，y+1，z）＝λ（，1，1），∴M（，λ﹣1，λ），
∴＝（，λ﹣2，λ）．
由（1）知，平面PBC的法向量为＝（0，1，1），
∵直线CM与平面PBC所成角的正弦值为，
∴＝||＝，化简得21λ2﹣50λ+24＝0，即（3λ﹣2）（7λ﹣12）＝0，
∵λ∈[0，1]，∴λ＝，
故＝。