吉林省长春市高中毕业班高三数学第一次调研测试试题(文)

吉林省长春市2009高中毕业班高三数学第一次调研测试试题
（文）
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试卷满分150分，考试时间120分。

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请将正确选项填在题后括号内）
1．已知集合N M N x x x M x 则},42{},02
1
|{<=>--=
（ ）
A ．∅
B ．（-∞，1）
C ．（1，2）
D ．（-∞，2） 2．函数x x y 44cos sin +=的最小正周期为
（ ）
A ．
2
π
B ．2π
C ．π
D ．)(2Z k k ∈+ππ 3．使不等式a ＞b 成立的充要条件是
（ ）
A ．2
2
b a >
B ．
b a 11< C ．lg a ＞lg b D ．b a 2
121< 4．关于线、面的四个命题中不正确．．．的是
（ ）
A ．平行于同一平面的两个平面一定平行
B ．平行于同一直线的两条直线一定平行
C ．垂直于同一直线的两条直线一定平行
D ．垂直于同一平面的两条直线一定平行
5．已知椭圆1522=+m y x 的离心率5
10
=e ，则m 的值为 （ ）
A ．3
B ．3或
3
25
C ．15
D ．15或
3
15
5 6．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 6、a 9、a 15依次为等比数列{b n }的连续三项，若数 列{b n }的首项b 1=2
1
，则数列{b n }的前5项和S 5等于 （ ）
A ．
2
31 B ．32
31 C ．31
D ．32
7．6
)1(x
x -的展开式中常数项等于 （ ）
A ．15
B ．-15
C ．20
D ．-20
8．平面内有两个定点A 、B ，动点P 满足|AP |=2|PB |，则点P 的轨迹是
（ ） A ．直线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆
9．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）=- f （x ），则f （9）的值为
（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2 10．将4个不同颜色的小球全部放入不同标号的3个盒子中，可以有一个或者多个盒子空着
的放法种数为 （ ）
A ．96
B ．36
C ．64
D ．81 11．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是（ ）
A ．13π
B ．17π
C ．21π
D ．25π
12．已知点A （2，2），P 为双曲线13
2
2
=-y x 上一动点，F 为双曲线的右焦点 则|PA |+2
1
|PF |的最小值为 （ ）
A ．
25 B ．252-
C ．
2
3 D ．2
15+
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．已知实数x 、y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-≥+32,2y y x y x ，则y x z -=2的最大值为 。

14．将直线l 按向量a =（2，-1）平移后得到直线l ′，再将直线l ′按向量b =（-1，2）平移
后又与直线l 重合，则直线l 的斜率为 。

15．若正数a 、b 满足24
1=+b
a ，则a
b 的最小值为 。

16
．已知a b ==，则a 、b 、c 的大小关系为 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知函数),cos sin (sin 2)(2x x x x f +=
（1）求函数)(x f 的单调增区间；
（2）求函数)(x f 的最值及取得最值时x 的值。

18．（本小题满分12分）
在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，已知,2cos c
a
B =
（1）判断△ABC 的形状； （2）若3,3
3
sin =b B ，求△ABC 的面积。

19．（本小题满分12分） 如图，四棱锥P —ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =2，∠PDA =45°，点
E 、
F 分别为棱AB 、PD 的中点。

（1）求证：AF ∥平面PCE ； （2）求二面角E —PD —C 的大小； （3）求点A 到平面PCE 的距离。

20．（本小题满分12分）
已知数列{a n }满足关系式)()1(1*N n n n n a S n n ∈+-=
+，设1
(1)
n n b S n n =-
+ （1）求证：数列{b n }为等比数列； （2）求a n 及S n ；
（3）设c n = S n +na n ，T n 为数列{c n }的前n 项和，求证：T n ＜1.
21．（本小题满分12分）
设f （x ）=ax 2+bx +c ，若6a +2b +c =0，f （1）f （3）＞0， （1）求证：a =1，求f （2）的值；
（2）求证：方程f （x ）=0必有两个不等实根x 1、x 2，且3＜x 1+ x 2＜5。

22．（本小题满分12分） 已知直线l ：y =x +b 交曲线C ：y =x 2（a ＞0）于P 、Q 两点，M 为PQ 中点，分别过P 、
Q 两点作曲线C 的切线，两切线交于点N ，当b 变化时。

（1）求点M 的轨迹方程； （2）求点N 的轨迹方程；
（3）求证：MN 中点必在曲线C 上。

参 考 答 案 第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．A 8．D 9．B 10．D 11．A 12．C 简答与提示： 1．∵1
{|0}{|12,{|24}{|2}2x x M x x x x N x x x x -=>=<>=<=<-或， ∴M
N=（-∞，1），故选B
2．∵44222222sin cos (sin cos )(sin cos )sin cos cos2,y x x x x x x x x x =+=-+=-=- ∴2
42π
π==
T ，故选C 。

3．取a =1，b =-2，可验证A 、B 、C 均不正确，故选D 。

4．垂直于同一直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面，故选C 。

5．考虑0＜m ＜5或m ＞5两种情况，若0＜m ＜5，则5=a ， m b -=5，55m a c e -==
3
25
,5105,5,53,510=
=-==-==>==
m m m a c e m c m a m m ，则；若，故 选B 。

6．∵2
31
21)
21(21
1)1(,23655
156991591569=--=--=∴==--===q q b S d d a a a a a a a a q ，故选A 。

7
．61)x
的展开式中常数项为第3
项，24
2
361()15,T C x
=-=故选A 。

8．可建立平面直角坐标系求出轨迹方程，根据方程形式可判断轨迹为圆，或由平面几何中 相关定理可知轨迹是圆，故选D 。

9．由f （x +2）=- f （x ）可得f （x +4）=- f （x +2）= f （x ），所以函数f （x ）为周期函数，最小 正周期为T =4，f （9）= f （1）=- f （-1），又函数f （x ）为偶函数，所以f （1）= f （-1）=0，所以f （9）=0，故选B 。

10．34=81，故选D 。

11．由2236,V a h a a ===∴=∴正四棱柱的体对角线l =，
∴241322
l r S r ππ=
===球∴故选A 。

12．根据双曲线第二定义，13
||||||22
PA PF PA d +=+≥（其中d 表示点P 到右准线的距离，）
故选C 。

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分） 13．7 14．1
15．4
16．a ＜b
简答与提示：
13．画出可行域，如右图所示，在点A （5，3）处取得 最大值为7.
14．设直线l 方程为y =kx +b ，按向量a =（2，-1）平移
后得到'l 按向量b =（-1，2）平移后得直线方程为 ''l ：y =k ：y =k (x -2)+b -1再将'l （x +1-2）+b -1+2=kx -k +b +1，
又与直线l 重合，∴-k +b +1=b ，∴k =1.
15．∵142 4.ab
a b =
+≥=≥
16．o
o sin37,sin35a b =====，∴a ＞b 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．解：本小题主要考查三角恒等变换及三角函数图象和性质。

（1）2()sin cos )f x x x x =
+
cos 2sin 2)sin(2)242
x x x π=
-+=-+
（4分）
∴当222,,2
42
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈
即3,88
k x k k Z ππ
ππ-≤≤+
∈时，函数()f x 为增函数，
∴增区间为3[,
],.8
8
k k k Z π
π
ππ-
++∈ （6分）
（2）当22,4
2
x k k Z π
π
π-
=-
∈，即8
x k π
π=-
+，k Z ∈时min ()1,2
f x =-+
当22,4
2
x k k Z π
π
π-
=-
∈，即38x k ππ=
+，k Z ∈时min ()1f x =+ （10分） 18．本小题主要考查正余弦定理的应用及三角恒等变换。

解：（1）∵cos ,,2sin sin a a c
B c A C
== ∴sin cos ,2sin A
B C
=
∴sin A =2cos B sin C ，
又∵sin A =sin[π-（B +C ）]=sin （B +C ）=sin B cos C +cos B sin C ， ∴sin B cos C + cos B sin C =2cos B sin C ， ∴sin B cos C - cos B sin C = sin （B -C ）=0 ∴在△ABC 中B =C ， ∴△ABC 为等腰三角形
另解：∵222cos 22a c b a
B ac c
+-==，
∴a 2+c 2-b 2=a 2， ∴c 2=b 2 ∴c=b
∴△ABC 为等腰三角形
（2）∵02
C B B π
=∴<<
，
∵sin cos 33
B B =
∴=，
∴sin sin[()]sin()sin 22sin cos 3
A B C B C B B B π=-+=+===
，
∴11sin 3322ABC S bc A ∆=
=⨯⨯=
（12分）
另解：b=3，∴c=b =3
又∵sin cos B B =
∴=
∴
233
a a c c =∴==
∴11sin 33223
ABC S bc A ∆=
=⨯⨯⨯=19．本小题主要考查空间线面关系，空间想象能力和推理运算能力或空间向量的应用。

解法一：
（1）证明：
取PC 的中点G ，连接FG 、EG ，
∴FG 为△PCD 且FG ∥CD ， ∴FG =1
2
CD 且FG ∥CD ， 又∵底面四边形ABCD 是正方形，E 为棱AB 的中点， ∴AE =
1
2
CD 且AE ∥CD ， ∴AE =FG 且AE ∥FG ，
∴四边形AEGF 是平行四边形， ∴AF ∥EG ，
又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，
（4分）
∴AF ∥平面PCE 。

（2）∵PA ⊥底面ABCD ，
∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD ， 又AD ⊥CD ，PA
AD =A ，
∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥AF 又PA =2，∠PDA =45°， ∴PA =AD =2，
∵F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD ， 又CD
PD =D ，
∴AF ⊥平面PCD ， ∵AF ∥EG ， ∴EG ⊥平面PCD ，
又GF ⊥PD ，连结EF ，
则∠GFE 是二面角E —PD —C 的平面角。

（6分）
在Rt △EGF 中，EG =AF
GF =1， ∴tan ∠GFE
∴二面角E —PD —C 的大小为
（8分）
（3）设A 到平面PCE 的距离为h ，
由1111,,3232A PCE P PCE V V PC EG h PA AE CB h --=⨯
⋅⋅=⋅⋅=即得 ∴点A 到平面PCE
解法二： （1）由于PA ⊥底面ABCD ，且底面四边形ABCD 是正方形，以A 为坐标原点建立空间
直角坐标系如图，
∵PA =2，，∠PDA =45°，∴AD=AB=PA =2， ∴A （0，0，0），B （2，0，0）, C （2，2，0）, D （0，2，0）, P （0，0，2） ∵点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点， ∴E （1，0，0），F （0，1，1），取 PC 的中点G ，连结EG ，则G （1，1，1）， ∴AF （0，1，1），EG =（0，1，1）， ∴AF ∥EG ，
又∵EG ⊂平面PCE ，AF ⊄PCE ，
∴AF ∥平面PCE 。

（4分）
（2）设平面PDE 的法向量为1111(,,),n x y z =
∵(1,2,0),(0,2,2)DE DP =-=-
∴11111111
20
,1,2,1,(2,1,1)220x y y x z n y z -=⎧===∴=⎨
-+=⎩令则
设平面PCD 的法向量为2222(,,),n x y z =
∵(2,0,0),(0,2,2)DC DP ==-
∴22222220
,1,1,(0,1,1)220
x y z n y z =⎧==∴=⎨
-+=⎩令则
（6分）
∴121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=
==
∴二面角E —PD —C 的大小为。

（8分）
（3）设平面PCE 的法向量3333(,,),n x y z =
∵(1,0,2),(1,2,0),PE EC =-=
∴3333333
320
,2,1,1(2,1,1)20x z x y z n x y -=⎧==-=∴=-⎨
+=⎩令则
（10分）
∵(1,0,0)EA =-，∴点A 到平面PCE
的距离33||||EA n d n ⋅=
==
（12分）
20．本小题主要考查利用递推关系求通项公式的方法错位相减法求和。

（1）∵11
,(1)1
n n n n n S a b S n n n -+=
∴=-++
∴11
2,(1)
n n n S S n n ---=
+(2)n ≥
（2分）
∴11111122(1)1
n n n n b S S n n n n --=-
=+-+++
112n S -=
+12(1)n n n -+22(1)n
n n -+112
n S -=-1111()22n S n n -=-，∴112n n b b -=
又由1
(1)
n n n S a n n -+=
-+得111111110,0,22S a S a b S +===∴=-=-
∴{b n }是以12-为首项，以1
2
为公比的等比数列。

（5分）
（2）由（1）知数列{b n }是以12-为首项，以1
2
为公比的等比数列，
∴111
,12
2n n n n b S n =-∴=-+
∴11
2(1)
n n
a n n =
-+。

（8分）
（3）11112212
n n n n n n n n n c S na n n -=+=-+-=++ 123230121
,2222
n n n n T c c c c -=+++⋅⋅⋅+=+-+⋅⋅⋅+
121121
20,222n n n T --=+++⋅⋅⋅+
∴1111111
1 1.22222
n n n n n n T --+=++⋅⋅⋅+-=-<
（12分）
21．本小题主要考查二次函数图象及性质，二次函数、二次方程、二次不等式的关系。

解：（1）∵6a+2b+c =0，a =1 ∴f （2）=4a+2b+c =-2a =-2.
（4分）
（2）首先说明a ≠0，
∵f （1）f （3）=（a+b+c ）（9a+3b+c ）=—（5a+b ）（3a+b ）＞0， 若a =0，则f （1）f （3）=-b 2＜0与已知矛盾， ∴a ≠0，
（6分）
其次说明二次方程f （x ）=0必有两个不等实根，x 1、x 2， ∵f （2）=4a +2b +c =-2a
∴若a ＞0，二次函数f （x ）=ax 2+bx+c 开口向上，而此时f （2）＜0 ∴若a ＜0，二次函数f （x ）=ax 2+bx+c 开口向下，而此时f （2）＞0 故二次函数图象必于x 轴有两个不同交点，
∴二次方程f （x ）=0必有两个不等实根，x 1、x 2，
（或利用△2
2
2
2
2
2
44(62)824(4)80b ac b a a b b ab a b a a =-=++=++=++>来说 明）
（9分）
∵a ≠0，
∴将不等式-（5a+b ）（3a+b ）两边同除以-a 2得
(3)(5)0,b b
a a
++<
∴5 3.b
a
-<
<-
∴123 5.b
x x a
<+=-
< （12分）
22．本小题主要考查直线与抛物线位置关系及弦中点问题，轨迹的求法。

（1）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）
由22
0,y x b
x x b y x
=+⎧--=⎨=⎩得
∴12121
,140x x b x x b
+=⎧=+>⎨
=-⎩且△
（2分）
∴1211
,224
M x x x b +==>- ∴11
24
M
M y x b b =+=+>
∴点M 的轨迹方程为直线11
24
x y =>中 部分
（4分）
（2）设以点P （x 1，y 1）为切点的曲线C 的切线方程l 1：y -y 1= k 1（x -x 1） 将l 1方程代入曲线C ：y=x 2并整理得 x 2- k 1x -y 1+k 1x 1=0，
△=222
211111111114()44(2)0k a k x y k a x x k x --=-+=-=
∴k 1=2x 1，（也可利用导数直接得出此结论）。

（6分）
∴直线l 1方程可化为y =2x 1x -x 12
① 同理，以Q 为切点的切线l 2方程可化为y =2x 2x -x 22 ②，
由①②可解出交点N 坐标，12121,22
N N x x x y x x +=
===1
4b -<-
∴点N 的轨迹方程为直线11
24
x y =<中
（10分）
（3）由（1）知点M 的坐标为11(,)22b +由（2）知道点N 坐标为1
(,)2
b -， ∴MN 中点坐标为11
(,)24
，满足曲线C 的方程， ∴MN 中点必在曲线C 上。

（12分）。