数列的概念与简单表示法

《数列的概念与简单表示法》教学设计与反思
作者：于艳玲 (高中数学甘肃兰州高中数学五班 ) 评论数/浏览数： 0 / 330 发表日期：
2011-08-08 11:32:07
教材与教学分析教学方法与学习方法学习过程设计教学反思
《数列的概念与简单表示法》教学设计与反思
一、教材与教学分析
1．数列在教材中的地位
根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边.
2．教学任务分析
(1)了解数列的概念
新课标的教学更贴近生活实际.通过实例，引入数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型．了解数列的几种分类．
(2)了解数列是一类离散函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系．
3．教学重点与难点
重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型．
难点：认识数列是一种特殊的函数，发现数列与函数之间的关系
二、教学方法与学习方法
启发式教学法——以设问和疑问逐渐引导，激发学生，启发学生积极思考，逐步从常识走向科学，将感性认识提升到理性认识，培养和发展学生的抽象思维能力。

探究教学法——引导学生去疑；鼓励学生去探；激励学生去思，培养学生的创造性思维和批判精神。

合作学习——通过组织小组讨论达到探究、归纳的目的。

三、学习过程设计
【问题情境】
1．国际象棋的传说（在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍）：每格棋盘上的麦粒数排成一列数；
2．古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数；
教师：以上两个问题中的数蕴涵着哪两列数呢？
学生：
1：1,2,4,8,16,…
2一列数：1,;1/2, 1/4,1/8,…
设计说明：利用学生熟悉的生活实例创设情景引入问题，既可以帮助学生直观地理解数列的概念，又可以使学生认识到“数学来自于生活”
活动一：数列的概念探究
教师：以上几列数的共同特点是什么？
引导学生思考这两列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等比数列概念。

学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些数都是按照一定顺序排列的…只要合理教师就要给予肯定。

教师引导归纳出：
1. 数列的定义；
2. 数列的项；
3. 数列的一般形式
简记为（板书）
活动二：数列和集合的关系
教师：经过以上研究，同学们能否说说数列中的项和集合中的元素有何区别呢？
学生思考并作答。

集合和数列的区别是：
第一，集合的对象可以是任意的东西。

如全体中华人民共和国的公民组成一个集合，某农场全部拖拉机组成一个集合，所有的化学元素组成一个集合，等等。

而数列的对象都是数，组成数列各项的元素只能是数，而不能是其他的对象。

第二，集合里的元素不能重复，而数列中的数是可以重复的。

如上面所讲的数列
1，1，2，2，3，3，4，4，…
是按照自然数列的规律，连续重复一次排列而成的，但是若把这个数列的各项看成是一个集合的元素，那么这个数列只能写成
｛1，2，3，4，…｝，而不能写成｛1，1，2，2，3，3，4，4，…｝。

第三，集合中的元素是不考虑顺序的，而数列中各数的顺序是十分重要的。

例如，数列
1，2，3，4 与数列 4，3，2，1
是两个不同的数列。

可是集合｛1，2，3，4｝与集合｛4，3，2，1｝则被认为是相同的。

活动三：数列的分类
根据数列的项，以及数列项之间的大小关系可以对数列进行怎么样分类？
教师引导学生分析本节课所举的数列的特点，按一定的分类标准给出数列的分类：
按项数，可分为有穷数列和无穷数列；
按项之间的大小关系（单调性）可分为，递增数列，递减数列，常数列，以及摆动数列。

（板书）
【拓展延伸】数列与函数的关系
展示以下数列：
①4，5，6，7，8，9，10．
②1，2 ，3 ，4 ，5，….
③1，0.1，0.01，0.001，0.0001，….
④1，1.4，1.41，1.414，….
⑤ -1，1，-1，1，-1，1，….
⑥2，2，2，2，2，….
教师：观察以上数列，请同学们思考：数列中的数和它的序号是什么关系？哪个是变动的量，哪个是随之变动的量？你能联想到以前学过的哪些相关内容？
教师：下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，每一项与这一项的序号有这样的对应关系：
项 1 2 3 4 5
↓↓↓↓↓
序号 1 2 3 4 5
教师：看来，这个数的每一项与这一项的序号可用一个公式来表示其对应关系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项
学生：结合上述其他例子，练习找其对应关系
如：数列①：n+3(1≤n≤7)
通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

教师：从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式。

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法。

对应于函数的解析式法，认识数列的通项公式。

下面同学们练习画数列①②的图象
【应用提升】
1．根据下面数列的通项公式，写出前5项。

解：（1） 2n-1 (2)10(n+1)-1/ n+1
2．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1） 1，3，5，7；
（2） 21/2, 31/3, 41/4,51/5, ...
教师引导学生去思考，让学生来完成例题解答。

分析：
（1）项1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1
↓↓↓↓
序号 1 2 3 4
∴ 通项公式为2n-1
（2）序号：1 2 3 4
↓↓↓↓
项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1
↓↓↓↓
项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1
∴通项公式为10(n+1)-1/n+1
教师：怎样写出已知数列的通项公式？基本思路是什么？
引导学生归纳以下思路：
根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式应注意分析数列的项和项数的关系，研究这几项的表示式中哪些是变化的，哪些是不变的，探索各项中变化部分与项数之间关系，从而归纳出项与项数的关系，写出通项公式.
活动四：生生互动
教师：怎样从实际生活中，依据一定的规律抽象出一些数列？
每位学生写四个数作为一个数列的前四项，请同桌写出这个数列的一个通项公式。

思考：出题者是依据什么规律写出这四个数的？你能够说出他的意图吗？
【课堂小结】
教师：本节课学习了那些知识？这些知识的研究途径是什么？
1. 数列的有关概念
2. 数列的分类
3.数列函数性定义
数列的通项公式（多媒体）
教师：小结概括了这节课的主要内容,使学生对这节课有个全面认识。

【任务后延】
教师：可以通过数列的通项公式写出数列的项，那么是不是每一个数列都有通项公式？有的话是不是唯一的？
作业：习题2.1 A组 1，2
思考题：①你能写出前四项为1，1，1，1的数列的两个通项公式吗？
②是不是所有的数列都有通项公式吗？那位同学能够举出一个例子呢？
四、教学反思
本节课的教学是通过丰富学生比较熟悉的的实例展开的。

国际象棋的传说、古语等例子不仅可以使学生体会数列与现实世界的联系，也会增强学生学习数列的兴趣，产生学习数学的积极性，使他们感受到数列离自己很近就在自己的生活中，数列很有用。

本节课的教学设计主要体现出学生的主体地位,以学生活动、学生探究为主,把数列问题与生活实际联系起来, 展示了一个完整的数学探究过程。

比如在探究数列和函数的关系过程中，引导学生以小组为单位来寻找数列的每一项与这一项的序号的对应关系，并用一个公式表示。

本节课基本上达到教学的预期目的,由于小组合作学习对教师驾驭课堂的能力要求很高，这在今后的教学中还有待于进一步的提高，在生生互动过程中，虽然有些同学讨论比较热烈，但是还是有些个别的学生积极性不高，所以还要在在调动学生的积极性和主动性方面下功夫。

通过这节课，使我更深刻的认识到应加强自身的学习，不断反思，不断改进，不断创造出新的更好的课堂教学模式，为我们的新课程的推进打好基础。