初中数学专题训练--相似三角形（含答案）

A B G 
C D E 
F L A B 
C D 
E F 
初中数学专题训练-- 相似三角形
一、选择题 1、（2008湖北襄樊）如图1,1,已知已知AD 与VC 相交于点O,AB//CD,O,AB//CD,如果∠如果∠B=40B=40°°, ∠D=30D=30°°,则∠则∠AOC AOC 的大小为（的大小为（ ）） A.60A.60°° B.70 B.70°° C.80 C.80°° D.120 D.120°°
2、（2008湘潭市）湘潭市） 如图，已知D 、E 分别是ABC D 的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADE DBCE
S S :=:8,
V 四边形 那么:AE AC 等于（等于（ ）） A ．1 : 9 B ．1 : 3
C C．．1 : 8
D ．1 : 2 3、(2008 (2008 台湾台湾)
)如图G 是 ABC 的重心，直线L 过A 点与BC 平行。

若直线CG 分别与AB 、 L 交于D 、E 两点，直线BG 与AC 交于F 点，则 AED 的面积：四边形ADGF 的面积的面积=
=？( )
(A) 1
：2 (B) 2：1 (C) 2：3 (D) 3：2 
4、(2008 (2008 台湾台湾) ) 图为图为 ABC 与 DEC 重迭的情形，其中E 在BC 上，AC 交DE 于F 点，点， 且AB // DE 。

若 ABC 与 DEC 的面积相等，且EF =9=9，，AB =12=12，则，则DF =？( ) (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。

5、（2008浙江金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜平的平面镜,,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB
A B C D O 图1 B A C D E 
C 
A B
D O
E
F
第18题图题图
F E 
D B C 60° 图2 A 
D 
B 
C E 
F M 
(第2题图) ⊥BD BD，，CD CD⊥⊥BD BD，，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ）） A 、6米 B B、、8米 C C、、18米 D D、、24米
6、(2008 (2008 青海青海)
)如图，DEF △是由ABC △经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D E F ，，分别是OA OB OC ，，的中点，则DEF △与ABC △的面积比是（的面积比是（ ）） A A．．1:6 B ．1:5 C ．1:4 D ．1:2 7、（2008 2008 青海青海
西宁）给出两个命题：①两个锐角之和不一定是钝角；②各边对应成比西宁）给出两个命题：①两个锐角之和不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定相似．例的两个多边形一定相似．( ) ( ) A ．①真②真．①真②真
B ．①假②真．①假②真
C ．①真②假．①真②假
D ．①假②假．①假②假
8、（2008海南省）如图2所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cosE 的值等于（的值等于（ ）
） A. 12
B. 22
C. 32
D. 33
9、 （2008湖北荆州）如图，直角梯形ABCD 中，∠中，∠BCD BCD＝＝9090°，°，AD AD∥∥BC BC，，BC BC＝＝CD CD，，E 为梯形内一点，且∠形内一点，且∠BEC BEC＝＝9090°，将△°，将△BEC BEC 绕C 点旋转9090°使°使BC 与DC 重合，得到△重合，得到△DCF DCF，，连EF 交CD 于M ．已知BC BC＝＝5，CF CF＝＝3，则DM:MC 的值为的值为 （ ） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4
第4题
B 
C D 
E A C A B D O E
F
第18题图题图 1010、、（2008贵州贵阳贵州贵阳))如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的面积比是（，那么它们的面积比是（ ）） A.1:2
B ．1:4
C ．1:2
D ．2:1
1111、、（2008湖南株洲）湖南株洲）44．如图，在ABC D 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，若边的中点，若
6BC =，则DE 等于等于 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
1212、、 (2008 (2008 青海青海)
)如图，DEF △是由ABC △经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D E F ，，分别是OA OB OC ，，的中点，则DEF △与ABC △的面积比是（的面积比是（ ）
） A ．1:6 B ．1:5 C ．1:4 D ．1:2
1313、、
（2008青海西宁）给出两个命题：①两个锐角之和不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定相似．的两个多边形一定相似．( ) ( ) A ．①真②真．①真②真 B ．①假②真．①假②真 C ．①真②假．①真②假 D ．①假②假．①假②假 1414、已知、已知ABC DEF △∽△，相似比为3，且ABC △的周长为1818，则，则DEF △的周长为（ ））
A ．2
B ．3
C ．6
D ．54
15、（2008山东潍坊）如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于
D ,设BP =x ,则PD+P
E =（ ）
A.35x +
B.45x -
C.72
D.2
1212525x x -
16、 （2008山东烟台）如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（满足的关系式是（ ）
A 、b a c =+
B 、b ac =
C 、2
2
2
b a
c =+ D 、22b a c ==
17、（2008年广东茂名市）如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，的矩形所截，
AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的的面积的 （ ） Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31 Ｄ．9
4
1818、、(2008 (2008 江苏江苏 常州常州))如图,在△ABC 中,若D E ∥BC,AD DB =1
2,DE=4cm,,DE=4cm,则则BC 的长为（ ）） A.8cm B.12cm B.12cm C.11cm D.10cm 
1919、、（2008 2008 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（
））
2020、、(2008 (2008 重庆重庆)
)若△ABC∽△DEF，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为（） A 、2∶3 B、4∶9 C、2∶3 D D、3∶2、3∶2
2121、、(2008 (2008 湖南湖南
长沙长沙))在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（米，则树的高度为（ ）） A 、4.8米
B 、6.4米
C 、9.6米
D 、10
米
（第7题）题） A ． B ． C ． D ．
A
B
C
D
E E
H
F
G
C
B
A （（第10题图）题图）
E C 
D 
A 
F 
B 
图5 
2222、、（2008江苏南京）小刚身高1.7m 1.7m，测得他站立在阳关下的影子长为，测得他站立在阳关下的影子长为0.85m 0.85m。

紧接着他。

紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m 1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶，那么小刚举起手臂超出头顶 A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2m 3333、、
（2008湖北黄石）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC △相似的是（相似的是（ ）
）
二、填空题 1、（2008江苏盐城）如图，D E ，两点分别在ABC △的边
AB AC ，上，DE 与BC 不平行，当满足当满足 条件条件（写出一个即可）时，ADE ACB △∽△．
2、（2008上海市）如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个三角形面积的比是么这两个三角形面积的比是 ．
． 3、 （2008上海市）如图5，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果
2
3
BE BC =， 那么BF
FD = ．．
4、（2008泰州市）在比例尺为1︰2000的地图上测得AB 两地间的图上距离为5cm 5cm，则，则AB 两地间的实际距离为两地间的实际距离为 m m．
． 5、（2008年杭州市）在Rt Rt△△ABC 中，∠中，∠C C 为直角，为直角，CD CD⊥⊥AB
于点D, BC=3,AB=5,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是写出其中的一对相似三角形是 和和 ；；
并写出它的面积比并写出它的面积比 . .
6、（2008年江苏省南通市）已知∠年江苏省南通市）已知∠A A ＝4040°，则∠°，则∠A A 的余角等于＝的余角等于＝________________度
度. 7、（08浙江温州）如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点
123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △，323A B B △的面积分
别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和，则图中三个阴影三角形面积之和
为 ．．
A ．
B ．
C ．
D ．
A 
B 
C 
D C
B
A （第16题图）题图）
O A 1 A 2 A 3 
A 4 A
B B 1 B 2 B 3 
1 
4 A
E
C
B
D
图3 
A E D B
C
图8 （第12题）
A B 
C 
E D 8、（2008年荆州）两个相似三角形周长的比为2:32:3，则其对应的面积比为，则其对应的面积比为___________. ___________. 9、（2008年庆阳市）年庆阳市） 两个相似三角形的面积比S 1:S 2与它们对应高之比h 1:h 2之间的关系为 ．
1010、、（2008年庆阳市）年庆阳市） 如图8，D 、E 分别是ABC △的边AB AB、、AC 上的点，则使AED △∽ABC △的条件是的条件是 ．．
11、（2008年•南宁市）如图4，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线
段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB= 
12、(2008年福建省福州市)12．如图，在ABC △中，D E ，分别是AB AC ，的中点，若
5DE =，则BC 的长是的长是 ．
13 13、、(2008年广东梅州市年广东梅州市)) 如图3，要测量A 、B 两点间距离，在O 点打桩，取OA
的中点的中点 C ，OB 的中点D ，测得CD =30米，则AB =______米．米．
14、（2008新疆建设兵团）如图，一束光线从y 轴上点A （0，1）发出，经过x 轴上点C 反射后，经过点B （6，2），则光线从A 点到B 点经过的路线的长度为点经过的路线的长度为 ．（精确到0.01）
1515、如图，、如图，ABC △中，AB AC >，D E ，两点分别在边AC AB ，上，且DE 与BC 不平行．请填上一个．．你认为合适的条件：你认为合适的条件： ，使，使ADE ABC △∽△． （不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）
1616、、（2008大连）如图5，若△ABC ∽△DEF ，则∠D 的度数为的度数为_____________._____________.．． 1717、、
（2008上海市）如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个三角形面积的比是这两个三角形面积的比是 ．． 1818、、 （2008上海市）如图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果23
BE BC =，那么
BF
FD
= ．．
三、解答题 1、（2008广东）如图5，在△，在△ABC ABC 中，中，BC>AC BC>AC，， 点点D 在BC 上，且DC DC＝＝AC,AC,∠∠ACB 的平分线
CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF. （1）求证：）求证：EF EF∥∥BC. （2）若四边形BDFE 的面积为6，求△求△ABD ABD 的面积的面积. .
2、（2008山西太原）如图，在ABC V 中，2BAC C Ð=Ð。

（1）在图中作出ABC V 的内角平分线AD AD。

（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）明）
（2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由。

）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由。

提示：（1）如图，）如图，AD AD 即为所求。

即为所求。

E 
C 
D 
A F 
B 
3、（2008湖北武汉）（本题6分）如图，点D ，E 在BC 上，且FD FD∥∥AB AB，，FE FE∥∥AC AC。

求证：△求证：△ABC ABC∽△∽△FDE FDE．．
4、 （2008年杭州市）（本小题满分10分）分）
如图：在等腰△如图：在等腰△ABC ABC 中，中，CH CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E,E,连接连接BP 交AC 于点F. (1) 证明：∠证明：∠CAE=CAE=∠∠CBF; (2) 证明：证明：AE=BF; AE=BF; (3) 以线段AE AE，，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG ABG（点（点E 与点F 重合于点G ），记△记△ABC ABC
和△和△ABG ABG 的面积分别为S △ABC 和S △ABG ,如果存在点P,P,能使得能使得S △ABC =S △ABG ,求∠求∠C C 的取之范围。

5、（2008佛山2121）如图，在直角△）如图，在直角△ABC 内，以A 为一个顶点作正方形ADEF ，使得点E 落在BC 边上边上. .
(1) (1) 用尺规作图，作出用尺规作图，作出D 、E 、F 中的任意一点中的任意一点 ( (保留作图痕迹，不写作法和证明
保留作图痕迹，不写作法和证明. . 另另外两点不需要用尺规作图确定，作草图即可外两点不需要用尺规作图确定，作草图即可))； (2) (2) 若若AB = 6= 6，，AC = 2= 2，求正方形，求正方形ADEF 的边长的边长. .
F 
E 
D 
C 
B 
A F 
C A 
B 
P 
E H 
A 
B 
C 
第21题图题图
6、（2008年陕西省）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种．．测量方案．测量方案． （1）所需的测量工具是：）所需的测量工具是： ；； （2）请在下图中画出测量示意图；）请在下图中画出测量示意图；
（3）设树高AB 的长度为x ，请用所测数据（用小写字母表示）求出x ．
7、（2008年江苏省南通市）如图，四边形ABCD 中，中，AD AD＝＝CD CD，∠，∠DAB DAB＝∠＝∠ACB ACB＝＝9090°，过点°，过点D 作DE DE⊥⊥AC AC，垂足为，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E. （1）求证：）求证：AB AB··AF AF＝＝CB CB··CD （2）已知AB AB＝＝15cm 15cm，，BC BC＝＝9cm 9cm，，P 是射线DE 上的动点上的动点..设DP DP＝＝xcm xcm（（x ＞0）
，四边形BCDP 的面积为ycm 2
.
①求y 关于x 的函数关系式；的函数关系式；
②当x 为何值时，△为何值时，△PBC PBC 的周长最小，并求出此时y 的值的值. .
8、(2008 (2008 湖南湖南 怀化怀化))如图1010，四边形，四边形ABCD ABCD、、DEFG 都是正
方形，连接AE AE、、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ． 求证：（1）CG AE =；
（2）.MN CN DN AN ·=·
第20题图
题图
D P A
E F
C
B
9、(2008 (2008 湖南湖南
益阳益阳))△ABC 是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG ，使正方形的一条边DE 落在BC 上，顶点F 、G 分别落在AC 、AB 上. ⅠⅠ证明：△BDG ≌△CEF ；
Ⅱ. . 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.
. 小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱ．．．．a ．和Ⅱ．．b ．的两个问题中选择一个你喜欢．．．．．．．．．．．．．
的问题解答．．．．．. ．如果两题都解，只以Ⅱ．．．．．．．．．．a
．的解答记分．．．．．. Ⅱa . . 小聪想：要画出正方形小聪想：要画出正方形DEFG ，只要能计算出正方形的边长就能求出BD 和CE
的长，从而确定D 点和E 点，再画正方形DEFG 就容易了就容易了. . 设△ABC 的边长为2 2 ，请你帮小聪求出正方形的边长，请你帮小聪求出正方形的边长((结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化表示，不要求分母有理化) . ) .
Ⅱb . . 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. . 具体作法是：具体作法是： ①在①在AB 边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；
②连结BF’并延长交AC 于F ；
③作FE ∥F’E’交BC 于E ，FG ∥F ′G ′交AB 于G ，GD ∥G ’D ’交BC 于D ，则四边形DEFG 即为所求即为所求. .
你认为小明的作法正确吗？说明理由你认为小明的作法正确吗？说明理由. .
A 
B 
C 
D E 
F 
G 图 (1) A 
B 
C 
D E F 
G G ′ F ′
E ′ D ′
A 
B 
C 
D E F 
G 图 (2) 
G 
F 
E D 
C 
B A 
1010、、(2008 (2008 湖北湖北 恩施恩施) ) 如图如图1111，，在同一平面内在同一平面内,,将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG
摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC =∠AGF =90=90°，它们的斜边长为°，它们的斜边长为2，若∆ABC 固定不动，∆AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E (点D 不与点B 重合重合,,点E 不与点C 重合重合),),设设BE =m =m，，CD =n.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. . （2）求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围的取值范围. . （（3）以∆ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面
直角坐标系直角坐标系((如图12).12).在边在边BC 上找一点D ，使BD =CE ，求出D 点的坐标，并通过计算
验证BD 2＋CE 2=DE 2.
（（4）在旋转过程中）在旋转过程中,(3),(3)中的等量关系中的等量关系BD 2＋CE 2=DE 2是否始终成立是否始终成立,,若成立若成立,,请证明请证明,,
若不成立若不成立,,请说明理由请说明理由. .
11、 （08浙江温州）如图，在Rt ABC △中，90A Ð=o
，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ^于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，
QR y =．
（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；的长；
（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点P ，使P Q R △为等腰三角形？若存在，
请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．若不存在，请说明理由．
G 
y x 
O 
F E D 
C 
B 
A 
A 
B 
C D E R 
P H H Q Q 
1212、、（08山东省日照市）在△ABC 中，∠A＝90°，中，∠A＝90°，AB AB＝＝4，AC AC＝＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙为直径作⊙O O ，并在⊙，并在⊙O O 内作内接矩形AMPN AMPN．令．令AM AM＝＝x ．
（1）用含x 的代数式表示△Ｍ的代数式表示△ＭNP NP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙为何值时，⊙O O 与直线BC 相切？相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记△Ｍ的运动过程中，记△ＭNP NP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，为何值时，y y 的值最大，最大值是多少？的值最大，最大值是多少？
1313、、(2008安徽安徽))如图，如图，四边形四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，都是平行四边形，点点R 为DE 的中点，BR 分别交AC CD ，于点P Q ，．
（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求::BP PQ QR ．
1414、、（2008 2008 山东山东 临沂）如图，临沂）如图，□ABCD 中，中，E E 是CD 的延长线上一点，的延长线上一点，BE BE 与AD 交于点F ，
CD DE 2
1
=。

⑴求证：△⑴求证：△ABF ABF∽△∽△CEB; CEB; ⑵若△⑵若△DEF DEF 的面积为2，求□ABCD 的面积。

的面积。

第20题图
A B 
C D E 
P 
O 
R 第21题图题图 F
A
D
E
B C
1515、、 (2008 (2008 浙江浙江
丽水丽水))为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米，宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集
“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙．新颖，构思巧妙．
（1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙ABEF 和墙ADGF 的夹角处，被测试人站立在立在
对角线AC 上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．
（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH 上，在墙ABEF 上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米米处．处．
（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m 的大视力表制作一个测试距的大视力表制作一个测试距 为3m 的小视
力表．如果大视力表中“E ”的长是3.5cm 3.5cm，那么小视力表中相应“，那么小视力表中相应“E ”的长是多
少cm cm？？
H 
H 
（图1）
（图2） （图3）
（第22题）题）
3.5㎝
A 
C 
F 
3m 
B 
5m 
D 
1616、、（2008年福建宁德）年福建宁德）如图，如图，E 是□ABCD 的边BA 延长线上一点，延长线上一点，连接连接EC EC，，交AD 于F ．在不添加辅助线的情况下，请找出图中的一对相似三角形，并说明理由．
17、(2008 黑龙江)如图，如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，点点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且满足2
310OB OA -+-=．
（1）求点A ，点B 的坐标．的坐标． （2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，的条件下，是否存在点是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由．
18、在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令
AM ＝x ．
（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？相切？
（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？的值最大，最大值是多少？
A F D 
B C 
E 
y x
A
O C B A 
B 
C M 
N 
D 图 2 O A 
B C M 
N 
P 
图 1 
O A 
B 
C 
M N 
P O 
19、（08中山）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB 重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ．
(1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD 是 梯形梯形. . (2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）中所有的相似三角形（不含全等三角形）. .
(3)如图10，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图10
的平面直角坐标系，保持ΔABD 不动，将ΔABC 向x 轴的正方向平移到ΔFGH 的位置，FH 与BD 相交于点P ，设AF=t ，ΔFBP 面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值值范围
.
20、(2008年福建省福州市)（本题满分13分）分）
如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：，解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；的函数关系式；
（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？
（第21题）题）
D 
C 
B 
A 
E 
图9 
E D 
C H 
F 
G B A 
P 
y 
x 图10 
图8 
21、(2008年广东梅州市)本题满分8分．分．
如图8，四边形ABCD 是平行四边形．O 是对角线AC 的中点，过点O 的直线EF 分
别交AB 、DC 于点E 、F ，与CB 、AD 的延长线分别交于点G 、H ．
（1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；
（2）除AB =CD ，AD =BC ，OA =OC 这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明．请选出其中一对加以证明．
22、(2008年广东梅州市)本题满分8分．
如图10所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点，上的动点， EF ⊥DE 交BC 于点F ． （1）求证：）求证： D ADE ∽D BEF ；
（2）设正方形的边长为4， AE =x ，BF =y ．当x 取什么值时，取什么值时， y 有最大值?并求出这个最大值．这个最大值．
23.（2008扬州）如图，在△ABD 和△ACE 中，AB=AD ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE ，连结BC 、DE 相交于点F ，BC 与AD 相交于点G. （1）试判断线段BC 、DE 的数量关系，并说明理由的数量关系，并说明理由
Q P D E F C
B A Q
P D E
F
C
B
A
（2）如果∠ABC=∠CBD ，那么线段FD 是线段FG 和FB 的比例中项吗？为什么？的比例中项吗？为什么？
G
F
A
C
E
B
D
2424、、（2008徐州）如图1，一副直角三角板满足AB AB＝＝BC BC，，AC AC＝＝DE DE，∠，∠ABC ABC＝∠＝∠DEF DEF＝＝9090°，°，∠EDF EDF＝＝3030°°
【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板．．．．DEF ．．．绕点．．E ．旋转．．，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q 【探究一】在旋转过程中，【探究一】在旋转过程中， (1)(1)如图如图2，当
CE
1EA
＝时，时，EP EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明满足怎样的数量关系？并给出证明. . (2)(2)如图如图3，当
CE
2EA
＝时EP 与EQ 满足怎样的数量关系？，并说明理由满足怎样的数量关系？，并说明理由. . (3)(3)根据你对（根据你对（1
1）、（2）的探究结果，试写出当CE
EA
＝m 时，时，EP EP 与EQ 满足的数量关系式为式为_________,_________,其中其中m 的取值范围是的取值范围是_______(_______(直接写出结论，不必证明
直接写出结论，不必证明) ) 【探究二】若，【探究二】若，AC AC＝＝30cm 30cm，连续，连续PQ PQ，设△，设△EPQ EPQ 的面积为S(cm 2)，在旋转过程中：，在旋转过程中： (1)S 是否存在最大值或最小值？若存在，是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，求出最大值或最小值，若不存在，若不存在，说明理由说明理由. . (2)(2)随着随着S 取不同的值，对应△取不同的值，对应△EPQ EPQ 的个数有哪些变化？不出相应S 值的取值范围值的取值范围. .
（图1） （图2） （图3）
F
C(E)
B A(D)
A B C D A C B 1(B 2) 
D 1(D 2) A C 
E F B 2 B 1
D 1
D 2 2525、、（2008遵义）（14分）如图分）如图(1)(1)所示，一张平行四边形纸片所示，一张平行四边形纸片ABCD ABCD，，AB=10AB=10，，AD=6AD=6，，BD=8BD=8，，沿对角线BD 把这张纸片剪成△把这张纸片剪成△AB AB 1D 1和△和△CB CB 2D 2两个三角形两个三角形((如图如图(2)(2)所示所示))，将△，将△AB AB 1D 1沿直线AB 1方向移动方向移动((点B 2始终在AB 1上，上，AB AB 1与CD 2始终保持平行始终保持平行))，当点A 与B 2重合时停止平移，在平移过程中，止平移，在平移过程中，AD AD 1与B 2D 2交于点
E ，B 2C 与B 1D 1交于点
F ，
(1)(1)当△当△AB AB 1D 1平移到图平移到图(3)(3)的位置时，的位置时，试判断四边形B 2FD 1E 是什么四边形？并证明你的结论；的结论；
(2)(2)设平移距离设平移距离B 2B 1为x ，四边形B 2FD 1E 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式；并求出四边形B 2
FD
1
E 的面积的最大值；的面积的最大值； (3)(3)连结连结B 1C(C(请在图请在图(3)(3)中画出中画出))。

当平移距离B 2B 1的值是多少时，△ B 1B 2
F 与△与△ B B 1CF
相似？相似？
参考答案
一、选择题一、选择题 1、B 2B 2、、B 3B 3、、D 4D 4、、B 5B 5、、B 6B 6、、C 7C 7、、C 8C 8、、A 9A 9、、C 10C 10、、B 1111、、C 12C 12、、C 13C 13、、C 14C 14、、C 15C 15、、A 16、A 17、C 1818、、B 19B 19、、B 20 20、、B 21B 21、、C 22C 22、、A 23A 23、、B 二、填空题
1、∠、∠ADE=ADE=∠∠ACB ACB（或∠（或∠AED=
AED=∠∠ABC 或错误！不能通过编辑域代码创建对象。

） 2、1:9 3 3、、2
3
4 4、、100 5100 5、、 6 6、、50 750 7、、10.
5 810.5 8、、4：9 99 9、、2
1122S h S h æö=ç÷èø
1010、、AED B =∠∠，或ADE C =∠∠，或
AD AE
AC AB
=
11、4 12、10 13、60 14、6.71 15、 16、3030°° 17 17、、1:9 1818、、
2
3
三、解答题三、解答题 1、（1）证明：）证明：
CF ACB ÐQ 平分，
∴ 12Ð=Ð.
又∵又∵ DC AC =, ∴ CF 是△是△ACD ACD 的中线，的中线， ∴ 点F 是AD 的中点的中点. . ∵ 点E 是AB 的中点，的中点， ∴ EF EF∥∥BD, 即 EF EF∥∥BC. （2）解：由（）解：由（11）知，）知，EF EF∥∥BD BD，， ∴∴ △AEF AEF∽△∽△ABD , ABD , ∴∴ 2
(
)AEF ABD S AE S AB
D D =. 又∵又∵
1
2AE AB =
, 6AEF
ABD
ABD
BDFE
S
S S
S
D D D =-=-四边形,
∴∴ 2
61()2
ABD ABD S S D D -=
,
∴∴
8ABD S D =,
∴∴ ABD D 的面积为8. 2、（2）ABD CBA V VV ，理由如下：，理由如下：
AD 平分,2,BAC BAC C ÐÐ=Ð则BAD BCA Ð=Ð， 又B B Ð=Ð，故ABD CBA V VV 。

3、证明：略、证明：略
4、（1）∵△）∵△ABC ABC 为等腰三角形为等腰三角形 ∴∴AC=BC AC=BC ∠∠CAB=CAB=∠∠CBA 又∵又∵CH CH 为底边上的高，为底边上的高，P P 为高线上的点为高线上的点 ∴∴PA=PB ∴∠∴∠PAB=PAB=∠∠PBA ∵∠∵∠CAE=CAE=∠∠CAB-CAB-∠∠PAB ∠∠CBF=CBF=∠∠CBA-CBA-∠∠PBA ∴∠∴∠CAE=
CAE=∠∠CBF （（2）∵）∵AC=BC AC=BC ∠∠CAE=CAE=∠∠CBF ∠∠ACE=ACE=∠∠BCF ∴△∴△ACE ACE～△～△BCF(AAS) BCF(AAS) ∴∴AE=BF
（3）若存在点P 能使S △ABC =S △ABG ，因为AE=BF AE=BF，，所以△所以△ABG ABG 也是一个等腰三角形，也是一个等腰三角形，这两个三这两个三角形面积相等，底边也相同，所以高也相等，进而可以说明△ABC ABC～△～△ABG
ABG，则对应，则对应边AC=AE,AC=AE,∠∠ACE=ACE=∠∠AEC,AEC,所以所以0°≤∠°≤∠C C ＜9090°° 5、解：⑴、解：⑴ 作图：作∠BAC 的平分线交线段BC 于E ； ………………………………
4分 （痕迹清晰、准确，本步骤给满分4分，否则酌情扣1至4分；另外两点及边作的是否准确，不扣分）
⑵ 如图，∵ 四边形ADEF 是正方形，是正方形，
∴ EF ∥AB ，AD = DE = EF = FA. 5分
∴ △CFE ∽△CAB .
∴
CA
CF
BA EF =
.………………6分
∵ AC = 2 = 2 ，，AB = 6= 6，，
设AD = DE = EF = FA = x ，
A 
B 
C 
第21题图题图
D 
E 
F 
 
∴
6
6
2
x x
-=
. …………………
7分
∴ x ＝23.即正方形ADEF 的边长为2
3. . …………………………
8分
（本题可以先作图后计算，也可以先计算后作图；未求出AD 或AF 的值用作中垂线的方法找到D 点或F 点，给2分）
6、解：（1）皮尺、标杆．）皮尺、标杆．
（2）测量示意图如右图所示．）测量示意图如右图所示． （3）如图，测得标杆DE a =，
树和标杆的影长分别为AC b =，EF c =．
DEF BAC Q △∽△，
DE FE
BA CA \=
． a c x b \=． ab x c
\=．
7、（1）证明：∵）证明：∵AD AD＝＝CD CD，，DE DE⊥⊥AC AC，∴，∴DE
DE 垂直平分AC ∴AF AF＝＝CF CF，∠，∠DFA DFA＝＝DFC DFC＝＝9090°，∠°，∠DAF DAF＝∠＝∠DCF. DCF. ∵∠∵∠DAB DAB＝∠＝∠DAF DAF＋∠＋∠CAB CAB＝＝9090°，∠°，∠CAB CAB＋∠＋∠B B ＝9090°，∴∠°，∴∠DCF DCF＝∠＝∠DAF DAF＝∠＝∠B B 在Rt Rt△△DCF 和Rt Rt△△ABC 中，∠中，∠DFC DFC＝∠＝∠ACB ACB＝＝9090°，∠°，∠DCF
DCF＝∠＝∠B B ∴△∴△DCF DCF∽△∽△ABC ABC ∴
CD CF AB CB =，即CD AF
AB CB
=
.∴AB AB··AF AF＝＝CB CB··CD （2）解：①∵）解：①∵AB AB＝＝1515，，BC BC＝＝9，∠，∠ACB ACB＝＝9090°，°， ∴AC AC＝＝2
2
AB BC -＝2
2
159-＝1212，∴，∴CF CF＝＝AF AF＝＝6
∴
1(9)
2
y x =+×6＝3x 3x＋
＋2727（（x ＞0） ②∵②∵BC BC＝＝9（定值），∴△，∴△PBC PBC 的周长最小，就是PB PB＋＋PC 最小最小..由（由（11）可知，点C 关于直线DE 的对称点是点A ，∴，∴PB PB＋＋PC PC＝＝PB PB＋＋PA PA，故只要求，故只要求PB PB＋＋PA 最小最小. .
显然当P 、A 、B 三点共线时PB PB＋＋PA 最小最小..此时DP DP＝＝DE DE，，PB PB＋＋PA PA＝＝AB. 由（由（11），∠，∠ADF ADF＝∠＝∠FAE FAE，∠，∠DFA DFA＝∠＝∠ACB ACB＝＝9090°，地△°，地△DAF
DAF∽△∽△ABC. ABC. EF EF∥∥BC BC，得，得AE AE＝＝BE BE＝＝12AB AB＝＝152，EF EF＝＝92.
∴AF AF∶∶BC BC＝＝AD AD∶∶AB AB，即，即6∶9＝AD AD∶∶15.15.∴∴AD AD＝＝10. Rt Rt△△ADF 中，中，AD AD＝＝1010，，AF AF＝＝6，∴，∴DF DF＝＝8. ∴DE DE＝＝DF DF＋＋FE FE＝＝8＋
92＝25
2
. C
D E
F B
A
（第20题答案图）
∴当x ＝
25
2
时，△时，△PBC PBC 的周长最小，此时y ＝
1292 8、证明：（1）Q 四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形都是正方形
,,90,AD CD DE DG ADC EDG \==Ð=Ð=o
,ADE CDG ADE CDG \Ð=Ð\△≌△，
AE CG \=
（2）由（）由（11）得）得 ，
又CND ANM DCG DAE CDG ADE Ð=ÐÐ=Ð\D @D ,, AN MN
AN DN CN MN CN DN \
=
·=·，即
∴D AMN∽D CDN 9、Ⅰ、Ⅰ..证明：∵DEFG 为正方形，为正方形，
∴GD =FE ，∠GDB =∠FEC =90=90°°
∵△∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60=60°° ∴△∴△BDG ≌△CEF (AAS ) ) ⅡⅡa .解法一：设正方形的边长为x ，作△ABC 的高AH ，
求得3=AH
由△由△AGF ∽△ABC 得：3
32x x -=
解之得：3
232+=
x (或634-=x )
解法二：设正方形的边长为x ，则2
2x
BD -=
在Rt Rt△△BDG 中，tan ∠B =
BD
GD
， ∴
32
2=-x x
解之得：3
232+=
x (或634-=x )
A 
B 
C 
D 
E 
F G 解图解图 (2) 
H 
解法三：设正方形的边长为x ，
则x GB x BD -=-=2,2
2
由勾股定理得：由勾股定理得：2
2
2
)2
2()2(x x x -+=-
解之得：解之得：634-=x Ⅱb .解：解： 正确正确
由已知可知，四边形GDEF 为矩形为矩形 ∵∵FE ∥F ’E ’ ，
∴
B F FB
E F FE ¢=
¢¢， 同理
B
F FB
G F FG ¢=
¢¢， ∴G F FG
E F FE ¢¢=¢¢
又∵又∵F’F’E
E ’=F’G’， ∴FE =FG
因此，矩形GDEF 为正方形为正方形
1010、解、解:(1)
:(1)∆ABE ∽∆DAE , ∆ABE ∽∆DCA ∵∠∵∠BAE =∠BAD +45+45°°,∠CDA =∠BAD +45+45°°
∴∠∴∠BAE =∠CDA 又∠又∠B =∠C =45=45°° ∴∴∆ABE ∽∆DCA (2) (2)∵∵∆ABE ∽∆DCA ∴∴
CD
BA
CA BE =
由依题意可知由依题意可知CA =BA =2
∴∴
n
m 2
2
=
∴∴m=
n 2
自变量自变量n 的取值范围为1<n<2. (3) (3)由由BD =CE 可得BE =CD ,即m=n
∵∵m=
n
2
∴m=n=2
A 
B 
C 
D E 
F 
G 
解图解图 (3) G ’ F ’
E ’ D ’
∵OB =OC =
2
1
BC =1 ∴OE =OD =2－1 ∴D (1(1－－2, 0)
∴BD =OB －OD =1-(2－1)=21)=2－－2=CE , DE =BC －2BD =2-2(2=2-2(2－－2)=22－2 ∵BD 2＋CE 2=2 BD 2=2(2=2(2－－2)2=12=12－－82, DE 2=(22－2)2= 12= 12－－82 ∴BD 2＋CE 2=DE 2
(4)(4)成立成立 证明证明::如图如图,,将∆ACE 绕点A 顺时针旋转9090°至°至∆ABH 的位置的位置,,则CE =HB ,AE =AH , ∠ABH =∠C =45=45°°,旋转角∠EAH =90=90°°.
连接HD ,在∆EAD 和∆HAD 中 ∵AE =AH , , ∠∠HAD =∠EAH -∠FAG =45=45°°=∠EAD , AD =AD . ∴∆EAD ≌∆HAD
∴DH =DE
又∠HBD =∠ABH +∠ABD =90=90°° ∴BD 2+HB 2=DH 2 即BD 2＋CE 2=DE 2
1111、解：、解：
（1）Q Rt A Ð=Ð，6AB =，8AC =，10BC \=． Q 点D 为AB 中点，1
32BD AB \==．
90DHB A Ð=Ð=o Q ，B B Ð=Ð．
BHD BAC \
△∽△， F D H A 
G 
E C B 
 
DH BD
AC BC \=
，3128105
BD DH AC BC \==´=V ． （2）QR AB Q ∥，90QRC A \Ð=Ð=o ．
C C Ð=ÐQ ，RQC ABC \△∽△，
RQ QC AB BC \=
，10
610y x
-\=， 即y 关于x 的函数关系式为：3
65y x =-+．
（3）存在，分三种情况：）存在，分三种情况：
①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ^于M ，则QM RM =．
1290Ð+Ð=o Q ，290C Ð+Ð=o ，
1C \Ð=Ð． 84
cos 1cos 105
C \Ð==
=，45QM QP \
=， 1364251255
x æö-+
ç
÷èø\=，185
x \=． ②当PQ RQ =时，312
655
x -+=，
6x \=．
③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点，中垂线上的点， 于是点R 为EC 的中点，的中点，
11224CR CE AC \===．
tan QR BA
C CR CA ==
Q ， 3
66528
x -+\=，152x \=．
综上所述，当x 为185或6或15
2
时，PQR △为等腰三角形．为等腰三角形．
A B 
C 
D E 
R P H H Q Q 
M 
2 1 A B 
C 
D E 
R P H 
Q 
A B 
C 
D E R P 
H Q 
 
1212、、解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △∴ △AMN ∽ △ABC ．
∴ AM AN AB AC
=，即43x AN =．
∴ AN ＝43
x ． …………………………
2分 ∴ S =
2
133248
MNP
AMN
S
S
x x x D D =
=××=
．（0＜x ＜4） …………………………3分
（2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ．
在Rt△ABC 中，BC ＝22AB AC +=5=5．． 由（由（11）知）知 △AMN ∽ △ABC ．
∴ AM MN AB BC
=，即45x MN
=．
∴ 5
4MN x =
， ∴ 5
8
OD x =． ……………………………………
5分
过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则5
8
MQ OD x ==
． 在Rt△BMQ 与Rt△BCA 中，∠B 是公共角，是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QM BC AC
=．
∴ 5
5258324x
BM x ´=
=，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝
4996
．
∴ 当x ＝
49
96
时，⊙O 与直线B C 相切．…………………………………7分 （3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．的中点． ∵ MN ∥BC ，∴，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC ． ∴ △AMO ∽ △ABP ．
∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2．
故以下分两种情况讨论：故以下分两种情况讨论：
① 当0＜x ≤2时，2Δ8
3
x
S y PMN ==．
A 
B 
C 
M 
N 
D 图 2 
O Q 
A 
B 
C 
M 
N 
P O 。