2020年湖南省湘西州中考数学试卷(含解析)

2020年湖北南省湘西州中考数学试卷
（考试时间：120分钟满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列各数中，比﹣2小的数是（）
A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．3
2．2019年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元，用科学记数法表示92700是（）
A．0.927×105B．9.27×104C．92.7×103D．927×102
3．下列运算正确的是（）
A．＝﹣2 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．+＝D．（﹣3a）2＝9a2
4．如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是（）
A．B．C．D．
5．从长度分别为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（）A．B．C．D．
6．已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以O、C为圆心，大于OC的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线EF，分别交OA于D，交OB于G．那么△ODG一定是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形
7．已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（﹣2，4），下列说法正确的是（）A．正比例函数y1的解析式是y1＝2x
B．两个函数图象的另一交点坐标为（4，﹣2）
C．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大
D．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y2＜y1
8．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（）
A．△BPA为等腰三角形
B．AB与PD相互垂直平分
C．点A、B都在以PO为直径的圆上
D．PC为△BPA的边AB上的中线
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（）
A．acosx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．asinx+bsinx
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：
①abc＞0，
②b﹣2a＜0，
③a﹣b+c＞0，
④a+b＞n（an+b），（n≠1），
⑤2c＜3b．
正确的是（）
A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．﹣的绝对值是．
12．分解因式：2x2﹣2＝．
13．若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是．
14．不等式组的解集为．
15．如图，直线AE∥BC，BA⊥AC，若∠ABC＝54°，则∠EAC＝度．
16．从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心．选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：t）的数据，这两组数据的平均数分别是甲≈7.5，乙≈7.5，方差分别是S甲2＝0.010，S乙2＝0.002，你认为应该选择的玉米种子是．
17．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．将矩形CODE沿x轴向右平移，当矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6时，则矩形CODE向右平移的距离为．
18．观察下列结论：
（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；…
根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也会有类似的结论，你的结论是．
三、解答题（本大題关8小题，共78分）
19．（8分）计算：2cos45°+（π﹣2020）0+|2﹣|．
20．（8分）化简：（﹣a﹣1）÷．
21．（8分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：△BAE≌△CDE；
（2）求∠AEB的度数．
22．（10分）为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防溺水”安全
知识的掌握情况，现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，
90≤x≤100）如图所示
b．七年级参赛学生成绩在70≤x＜80这一组的具体得分是：70 71 73 75 76 76 76 77 77 78 79
c．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级平均数中位数众数
七76.9 m 80
d．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有人；
（2）表中m的值为；
（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第名；
（4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
23．（10分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（1）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（2）若CA＝6，CE＝3.6，求⊙O的半径OA的长．
25．（12分）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是；
探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；
探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求此时两舰艇之间的距离．
26．（12分）已知直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（1）当直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；
（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当S△EQM ＝S△ACE时，求m的值；
（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为b+，当AM+2DM的最小值为时，求b的值．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【解答】解：将这些数在数轴上表示出来：
∴﹣3＜﹣2＜﹣1＜0＜3，
∴比﹣2小的数是﹣3，
故选：C．
2．【解答】解：92700＝9.27×104．
故选：B．
3．【解答】解：A.＝2，所以A选项错误；
B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，所以B选项错误；
C.+≠，所以C选项错误；
D．（﹣3a）2＝9a2．所以D选项正确．
故选：D．
4．【解答】解：从上边看有两层，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故选：C．
5．【解答】解：从长度为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随机取出三条，
共有以下4种结果（不分先后）：
1cm 3cm 5cm，
1cm 3cm 6cm，
3cm 5cm 6cm，
1cm 5cm 6cm，
其中，能构成三角形的只有1种，
∴P（构成三角形）＝．
故选：A．
6．【解答】解：如图所示，∵OM平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，
由题可得，DG垂直平分OC，
∴∠OED＝∠OEG＝90°，
∴∠ODE＝∠OGE，
∴OD＝OG，
∴△ODG是等腰三角形，
故选：C．
7．【解答】解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，﹣4），
∴正比例函数y1＝﹣2x，反比例函数y2＝﹣，
∴两个函数图象的另一个交点为（﹣2，4），
∴A，B选项说法错误；
∵正比例函数y1＝﹣2x中，y随x的增大而减小，反比例函数y2＝﹣中，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴C选项说法错误；
∵当x＜﹣2或0＜x＜2时，y2＜y1，
∴选项D说法正确．
故选：D．
8．【解答】解：（A）∵PA、PB为圆O的切线，
∴PA＝PB，
∴△BPA是等腰三角形，故A正确．
（B）由圆的对称性可知：AB⊥PD，但不一定平分，
故B不一定正确．
（C）连接OB、OA，
∵PA、PB为圆O的切线，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴点A、B、P在以OP为直径的圆上，故C正确．
（D）∵△BPA是等腰三角形，PD⊥AB，
∴PC为△BPA的边AB上的中线，故D正确．
故选：B．
9．【解答】解：作CE⊥y轴于E，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90°，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
∵∠AOD＝90°，
∴∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠DAO＝x，
∵sin∠DAO＝，cos∠CDE＝，
∴OD＝AD×sin∠DAO＝bsinx，DE＝D×cos∠CDE＝acosx，
∴OE＝DE+OD＝acosx+bsinx，
∴点C到x轴的距离等于acosx+bsinx；
故选：A．
10．【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项错误；
②由于a＜0，所以﹣2a＞0．
又b＞0，
所以b﹣2a＞0，
故此选项错误；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故此选项错误；
④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝n时，y＝an2+bn+c，
所以a+b+c＞an2+bn+c，
故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故此选项正确；
⑤当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
故④⑤正确．
故选：D．
二、填空题
11．【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数可得，|﹣|＝，
故答案为：．
12．【解答】解：2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）．
故答案为：2（x+1）（x﹣1）．
13．【解答】解：设该多边形的边数为n，
根据题意，得，（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6．
故这个多边形的边数为6．
故答案为：6
14．【解答】解：，
∵解不等式①得：x≥﹣3，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
15．【解答】解：∵BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝54°，
∴∠C＝90°﹣54°＝36°，
∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝36°，
故答案为：36．
16．【解答】解：∵甲＝乙≈7.5，S甲2＝0.010，S乙2＝0.002，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙玉米种子的产量比较稳定，
∴应该选择的玉米种子是乙，
故答案为：乙．
17．【解答】解：∵点A（6，0），
∴OA＝6，
∵OD＝2，
∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，
∵四边形CODE是矩形，
∴DE∥OC，
∴∠AED＝∠ABO＝30°，
在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝＝＝4，
∵OD＝2，
∴点E的坐标为（2，4）；
∴矩形CODE的面积为4×2＝8，
∵将矩形CODE沿x轴向右平移，矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为6∴矩形CODE与△ABO不重叠部分的面积为2，
如图，设ME′＝x，则FE′＝x，依题意有
x×x÷2＝2，
解得x＝±2（负值舍去）．
故矩形CODE向右平移的距离为2．
故答案为：2．
18．【解答】解：∵（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝＝60°；
（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝
＝90°；
（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝
＝108°；
…
根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，
对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，
且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．
也有类似的结论是A1N＝A n M，∠NOA n＝．
故答案为：A1N＝A n M，∠NOA n＝．
三、解答题
19．【解答】解：原式＝
＝
＝3．
20．【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝．
21．【解答】（1）证明：∵△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴∠EAB＝∠EDC＝150°，
在△BAE和△CDE中
，
∴△BAE≌△CDE（SAS）；
（2）∵AB＝AD，AD＝AE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠EAB＝150°，
∴∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°．
22．【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有8+15+8＝31（人），
故答案为：31．
（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、78，∴m＝＝77.5，
故答案为：77.5；
（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第24名，
故答案为：24；
（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为500×＝270（人）．
23．【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得
20000（1+x）2＝24200
解得x1＝﹣2（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．
答：预计4月份平均日产量为26620个．
24．【解答】（1）证明：连接AE，OE，
∵AB是⊙O的直径，且E在⊙O上，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAE+∠EAO＝∠CAB＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠DEA+∠OEA＝90°，
即∠DEO＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AEC＝∠CAB＝90°，∠C＝∠C，
∴△AEC∽△BAC，
∴，
∵CA＝6，CE＝3.6，
∴，
∴BC＝10，
∵∠CAB＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴AB＝＝8，
∴OA＝4，
即⊙O的半径OA的长是4．
25．【解答】解：问题背景：
如图1，延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论：EF
＝AE+CF；
故答案为：EF＝AE+CF；
探究延伸1：
如图2，延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论：EF ＝AE+CF；
探究延伸2：
上述结论仍然成立，即EF＝AE+CF，理由：
如图3，延长DC到H，使得CH＝AE，连接BH，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BCH+∠BCD＝180°，
∴∠BCH＝∠BAE，
∵BA＝BC，CH＝AE，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BE＝HB，∠ABE＝∠HBC，
∴∠HBE＝∠ABC，
又∵∠ABC＝2∠MBN，
∴∠EBF＝∠HBF，
∵BF＝BF，
∴△HBF≌△EBF（SAS），
∴EF＝HF＝HC+CF＝AE+CF；
实际应用：
如图4，连接EF，延长BF交AE的延长线于G，
因为舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，所以∠AOB＝140°，因为指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，所以∠EOF＝70°，所以∠AOB＝2∠EOF．
依题意得，OA＝OB，∠A＝60°，∠B＝120°，所以∠A+∠B＝180°，
因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题：
在四边形GAOB中，OA＝OB，∠A+∠B＝180°，∠AOB＝2∠EOF，∠EOF的两边分别交AG，BG于E，F，求EF 的长．
根据探究延伸2的结论可得：EF＝AE+BF，
根据题意得，AE＝75×1.2＝90（海里），BF＝100×1.2＝120（海里），
所以EF＝90+120＝210（海里）．
答：此时两舰艇之间的距离为210海里．
26．【解答】解：（1）∵直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A（﹣1，0），
∴﹣k﹣2＝0，1+b+c＝0，
∴k＝﹣2，c＝﹣b﹣1，
∴直线y＝kx﹣2的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∵抛物线y＝x2﹣bx+c的顶点坐标为E（，），
∴E（，），
∵直线y＝﹣2x﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E，∴＝﹣2×﹣2，
解得，b＝2，或B＝﹣2（舍），
当b＝2时，c＝﹣3，
∴E（1，﹣4），
故k＝﹣2，b＝2，c＝﹣3，E（1，﹣4）；
（2）由（1）知，直线的解析式为y＝﹣2x﹣2，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴C（0，﹣3），Q（2，﹣3），
如图1，设直线y＝﹣2x﹣2与y轴交点为N，则N（0，﹣2），
∴CN＝1，
∴，
∴，
设直线EQ与x轴的交点为D，显然点M不能与点D重合，
设直线EQ的解析式为y＝dx+n（d≠0），
则，
解得，，
∴直线EQ的解析式为y＝x﹣5，
∴D（5，0），
∴＝，解得，m＝4，或m＝6；
（3）∵点D（b+，y D）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，
∴，
可知点D（b+，）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，
∵，
∴可取点N（0，1），则∠OAN＝45°，
如图2，过D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，
∵∠GAM＝90°﹣∠OAN＝45°，得AM＝GM，
则此时点M满足题意，
过D作DH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），
在Rt△MDH中，可知∠DMH＝∠MDH＝45°，
∴DH＝MH，DM＝MH，
∵点M（m，0），
∴0＝（）＝（b+）﹣m，
解得，m＝，
∵，
∴，解得，Bb＝3，
此时，m＝，符合题意，
∴b＝3．。