江苏省常州市溧阳大溪中学2019年高一数学文期末试题含解析

江苏省常州市溧阳大溪中学2019年高一数学文期末试
题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
2. 函数（）的部分图象如图所示，其中P是图象的最高点，A，B 是图象与x轴的交点，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
函数的周期为，四分之一周期为，而函数的最大值为，故
，由余弦定理得，故
.
3. 已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式中成立的是（）
A．B．a2＞b2 C．lg（a﹣b）＞0 D．
参考答案：
D
【考点】71：不等关系与不等式．
【分析】此题要结合指数函数的图象，利用指数函数的单调性解决．
【解答】解：由指数函数x图象与性质得，此指数函数在R是减函数，
又a＞b，∴
故选D．
4. 已知函数满足：①；②在上为增函数,若
,且,则与的大小关系是( )
A. B.
C. D. 无法确定
参考答案：
A
5. 已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=( ) A．﹣2 B．0 C．1 D．2
参考答案：
A
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由奇函数定义得，f（﹣1）=﹣f（1），根据x＞0的解析式，求出f（1），从而得到f（﹣1）．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），
又当x＞0时，f（x）=x2+，
∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题．
6. 设⊿的面积为，已知，则的值为（）.
1
参考答案：
B
略
7. 非空集合A中的元素个数用（A）表示，定义（A﹣B）=，若
A={﹣1，0}，B={x||x2﹣2x﹣3|=a}，且（A﹣B）≤1，则a的所有可能值为（）A．{a|a≥4}B．{a|a＞4或a=0} C．{a|0≤a≤4}D．{a|a≥4或a=0}
参考答案：
C
【考点】分段函数的应用．
【分析】根据已知条件容易判断出a＞0，所以由集合B得到两个方程，x2+2x﹣3﹣a=0，
或x2+2x﹣3+a=0．容易判断出方程x2+2x﹣3﹣a=0有两个不等实数跟，所以根据已知条件即知方程x2+2x﹣3+a=0有两个不相等实数根，所以判别式△=4﹣4（a﹣3）≥0，这样即可求出a的值．
【解答】解：（1）若a=0，得到x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或3，即B={﹣1，3}，
∴集合B有2个元素，则（A﹣B）=0，符合条件（A﹣B）≤1，
（2）a＞0时，得到x2﹣2x﹣3=±a，即x2﹣2x﹣3﹣a=0或x2﹣2x﹣3+a=0；
对于方程x2﹣2x﹣3﹣a=0，△=4+4（3+a）＞0，该方程有两个不同实数根，
则（A﹣B）=0，符合条件（A﹣B）≤1，
对于方程x2﹣2x﹣3+a=0，△=4+4（3﹣a）≥0，
0＜a≤4时，该方程有两个不同实数根，符合条件（A﹣B）≤1，
综上所述a的范围为0≤a≤4，
故选：C
【点评】考查对新定义（A﹣B）的理解及运用情况，以及描述法表示集合，一元二次方程解的情况和判别式△的关系．
8. 若命题，是真命题，则实数的取值范围是（）
Ａ．或Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
参考答案：
B
9. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，并且a2、b2、c2成等差数列，则角B 的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
10. 已知等
于（）
A．{1,2,3,4,5} B．{2,3,4} C．{2,3,4,5} D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 定义运算=ad﹣bc，若函数f（x）=在（﹣∞，m）上是单调减函数，则实数m的最大值是．
参考答案：
﹣2
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】根据定义求出函数f（x）的解析式，结合一元二次函数的单调性的性质进行判断即可．
【解答】解：由定义得函数f（x）==（x﹣1）（x+3）+2x=x2+4x﹣3，
函数的对称轴为x=﹣2，在函数在（﹣∞，﹣2]上单调递减，
若函数f（x）在（﹣∞，m）上是单调减函数，则m≤﹣2，
故实数m的最大值是﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据定义求出函数f（x）的解析式，结合一元二次函数的单调性的性质是解决本题的关键．
12. 设扇形的半径长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是
参考答案：
2
略
13. 计算：lg4+lg5?lg20+（lg5）2= ．
参考答案：
2
【考点】对数的运算性质．
【分析】根据对数的运算性质化简计算即可．
【解答】解：lg4+lg5?lg20+（lg5）2=2lg2+lg5?（lg4+lg5）+（lg5）2=2lg2+lg5
（2lg2+2lg5）=2lg2+2lg5=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了对数的运算性质，关键是掌握lg2+lg5=1，属于基础题．
14. 计算：________.
参考答案：
【分析】
由等比数列前n项和公式，得=[1﹣]，从而求极限即可．【详解】∵＝＝[1﹣]，
∴[1﹣]=．
故答案为：
【点睛】本题考查了等比数列前n项和公式的应用，以及数列极限的求法，属于基础题．15. 设，则a，b，c的大
小关系为．
参考答案：
a＜c＜b
略
16. =_______；
参考答案：
略
17. 计算：________；________.
参考答案：
8 1
【分析】
利用指数的运算法则计算，利用对数的运算法则计算即可.
【详解】由题意，，
.
故答案为：8；1
【点睛】本题主要考查指数和对数的运算法则，属于简单题.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）在中，角、、的对边分别为，若
，且。

（1）、求的面积；
（2）、若，求的值。

参考答案：
（1）（2）
19. 如图，DC⊥平面ABC，，，，Q 为AB的中点．
（Ⅰ）证明：CQ⊥平面ABE；
（Ⅱ）求多面体ACED的体积；
（Ⅲ）求二面角A-DE-B的正切值．
参考答案：
解（Ⅰ）证明：∵平面，
∴平面
∴①
又∵，点为边中点
∴②
故由①②得平面
（Ⅱ）过点作交延长线于点
∵
∴平面
∴
，
∴
（Ⅲ）延长交延长线于，过点作于，连结由（Ⅱ）可得：为的平面角
∵
∴
∴
∵∽
∴
∴即
∴
20. (本小题满分12分)
设集合，集合.
(1)当时，求和
(2)若，求实数的取值范围.
参考答案：
(1)依题可知，当时，
所以，
(2)由，可知当时，，显然，符合题意；
当时，，要使，则需得：
综上所述，的取值范围为
21. 函数f（x）=1﹣2a﹣2acosx﹣2sin2x的最小值为g（a）（a∈R）．
（1）当a=1时，求g（a）；
（2）求g（a）；
（3）若，求a及此时f（x）的最大值．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）当a=1时，可求得f（x）=2﹣，从而知当cosx=时，y min=﹣，于是可求得g（a）；
（2）通过二次函数的配方可知f（x）=2﹣﹣2a﹣1（﹣1≤cosx≤1），通过对范围的讨论，利用二次函数的单调性即可求得g（a）；
（3）由于g（a）=≠1，只需对a分a＞2与﹣2≤a≤2讨论，即可求得a及此时f（x）的最大值．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣2sin2x﹣2cosx﹣1
=﹣2（1﹣cos2x）﹣2cosx﹣1
=2cos2x﹣2cosx﹣3
=2﹣，
∵﹣1≤cosx≤1．
∴当cosx=时，y min=﹣，
即当a=1时，g（a）=﹣；
（2）由f（x）=1﹣2a﹣2acosx﹣2sin2x
=1﹣2a﹣2acosx﹣2（1﹣cos2x）
=2cos2x﹣2acosx﹣（2a+1）
=2﹣﹣2a﹣1，这里﹣1≤cosx≤1．
①若﹣1≤≤1，则当cosx=时，f（x）min=﹣﹣2a﹣1；
②若＞1，则当cosx=1时，f（x）min=1﹣4a；
③若＜﹣1，则当cosx=﹣1时，f（x）min=1．
因此g（a）=．
（2）∵g（a）=．
∴①若a＞2，则有1﹣4a=，得a=，矛盾；
②若﹣2≤a≤2，则有﹣﹣2a﹣1=，即a2+4a+3=0，
∴a=﹣1或a=﹣3（舍）．
∴g（a）=时，a=﹣1．
此时f（x）=2（cosx+）2+，
当cosx=1时，f（x）取得最大值为5．
22. 已知定义在R上的函数f（x）=是奇函数．
（1）求a、b的值；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．参考答案：
【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求a、b的值；
（2）根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化进行求解即可．
【解答】解：（1）∵定义在R上的函数f（x）=是奇函数．
∴f（0）=0，即，得b=1，
则f（x）=，
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣1）+f（1）=0，
∴+=0，
解得a=1．
即a=b=1．
（2）∵a=b=1．
∴f（x）===﹣1+，则f（x）为减函数，由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0
得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2）
即t2﹣2t＞k﹣2t2恒成立，
即3t2﹣2t﹣k＞0恒成立，
则判别式△=4+3×4k＜0，
解得k＜﹣，
即k的取值范围是（﹣∞，﹣）．。