福建省长汀一中、上杭一中等六校2020学年高二数学下学期期中联考试题 理

福建省长汀一中、上杭一中等六校2020学年高二数学下学期期中联考
试题 理
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求。

1.复数2
)12(
i
-=（ ）
A.i
B.i -
C.1i +
D.1i - 2．设()f x 是可导函数，当0→h 时，
2)
()(00→--h
x f h x f 则)(0x f '=（ ）
A.2
B. 21
C.-2
D. 2
1
-
3.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数.”上述推理（ ）
A.大前提错
B. 小前提错
C.结论错
D. 正确
4.某天某校的校园卫生清扫轮到高二(5)班，该班劳动委员把班级同学分为5个劳动小组，该校共有A 、B 、C 、D 四个区域要清扫，其中A 、B 、C 三个区域各安排一个小组，D 区域安排2个小组，则不同的安排方法共有（ ）
A ．240种 B.150种 C.120种 D.60种 5.“已知函数)()(2
R a a ax x x f ∈++=，求证：|)1(|f 与|)2(|f 中至少有一个不小于2
1。

”用反证法证明这个命题时，下列假设正确的是( )
A.假设21|)1(|≥
f 且21|)2(|≥f ; B.假设21|)1(|<f 且2
1|)2(|<f ; C.假设|)1(|f 与|)2(|f 中至多有一个不小于21
;
D.假设|)1(|f 与|)2(|f 中至少有一个不大于2
1
.
6. 由抛物线x y =2
与直线2-=x y 所围成的图形的面积是（ ）．
A. 4
B.
29 C. 5 D. 6
31
7. 已知函数)(x f x y '-=的图象如图1所示，其中)(x f '是函数)(x f 的导函数，则函数
)(x f y =的大致图象可以是( )
图1
B A
C
8.关于函数3693
1)(3
+-=
x x x f ,有下列说法： ①它的极大值点为-3，极小值点为3；②它的单调递减区间为[-2,2]； ③方程()f x a =有且仅有3个实根时，a 的取值范围是（18，54）. 其中正确的说法有（ ）个
A.0
B.1
C.2
D.3
9.已知定义在R 上的函数)(x f ，其导函数为)(x f '，若1)()(-<-'x f x f ,2)0(=f ，则不等式1)(+<x
e x
f 的解集是（ ）
A.(-∞，-1)
B.(-∞，0)
C.（0,+ ∞）
D.（1,+ ∞） 10.有一个偶数组成的数阵排列如下： 2 4 8 14 22 32 … 6 10 16 24 34 … … 12 18 26 36 … … … 20 28 38 … … … … 30 40 … … … … … 42 … … … … … … … … … … … … … 则第20行第4列的数为（ ）
A.546
B.540
C.592
D.598
11．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A.105 B.95 C.85 D.75 12.已知1122(,)(,)A x y B x y 、是函数2ln ()x f x x =
与3()a
g x x
=图像上两个不同的交点，则12()f x x +的取值范围为（ ）
A.1
(0,)2e
B.22(ln ,0)4e e
C. 221(ln ,)42e e e
D.22(ln ,)4e e +∞
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13．
-=⎰
_______.
14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我没去过C 城市；乙 说：我去过的城市比甲多，但没去过B 城市；丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断
甲去过的城市为
15．若三角形的周长为l 、内切圆半径为r 、面积为s ，则有1
2
s lr =
.根据类比思想，若四面体的表面积为s 、内切球半径为r 、体积为V ，则有V =________. 16.对于曲线4
()1
x f x e =+（其中e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线1l ，总存在在曲线2
21()ln 2
g x ax x x x =-
+上一点处的切线2l ，使得1l ∥2l ，则实数a 的取值范围是____________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本题满分10分）
（Ⅰ）已知复数2
2
(232)()k k k k i --+-（k R ∈）在复平面内所对应的点在第二象限， 求k 的取值范围；
（Ⅱ）已知4z -是纯虚数，且||32(5)2(1)z z z +=-++，求复数z .
18．（本题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式210(8)5
a
y x x =
+--，
其中58x <<，a 为常数．已知销售价格为7元/千克时，每日可售出该商品11千克． （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若该商品的成本为5元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
19. （本小题满分12分）
已知函数2
1()()ln(2)2
f x ax f x '=+()a R ∈，()f x '为()f x 的导数.
（1） 若曲线()y f x =在点11(,())22
f 处的切线方程为20x y +=，求a 的值； （2） 已知2a =-，求函数()f x 在区间1,22e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值与最小值.
20. （本小题满分12分）
已知函数01()21
x f x x +=
+，设()n f x 为1()n f x -的导数，n N *
∈. （1） 求1()f x 、2()f x 、3()f x 、4()f x 的表达式; （2） 猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论.
21．（本题满分12分）已知函数()x
f x e ax =-()x R ∈． （Ⅰ）若()f x 的极小值为0，求a 的值；
（Ⅱ）若对任意0x ≥,都有2
1()12
f x x ≥+恒成立，求实数a 的取值范围； 22．（本题满分12分）函数2()(21)ln 2.a
f x a x x x
=-+++
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性;
（Ⅱ）若()f x 有三个零点,求a 的取值范围.
答案
1—12 ACDDB BACCA AB 13.14
π
sr 16.2,1e ⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦
17.解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧>-<--.
0023222
k k k k ，
…………2分
即1
220 1.
k k k ⎧-<<⎪⎨⎪<>⎩，或…………4分 ∴1
02
k -
<<或12k <<.…………5分 （Ⅱ）依题意设4()z bi b R -=∈，…………6分 则4()z bi b R =+∈，4()z bi b R =-∈，…………7分
Q ||32(5)2(1)z z z +=-++，
|4|5bi ∴+=…………8分
3b ∴=±，…………9分 43z i ∴=±…………10分 18．解：（Ⅰ）因为7=x 时，11=y ，
所以
11102
=+a
，2=a . …………3分 （Ⅱ）由（1）知，该商品每日的销售量22
10(8)5
y x x =+--， 所以商场每日销售该商品所获得的利润
222
()(5)[
10(8)]210(5)(8)(58)5
f x x x x x x x =-+-=+--<<-…………6分 2()10[(8)2(5)(8)]30(6)(8)f x x x x x x '=-+--=--………8分
于是，当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：
单调增
单调减
…………10由上表可得，x ＝6是函数)(x f 在区间(5,8)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x ＝6时，函数)(x f 取得最大值，且最大值等于42.
所以，当销售价格为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．…………12分
19. 解：（1）Q 2
'
1()()ln(2)2
f x ax f x =+，
∴''11()2()2f x axf x =+，''11
()()222
f af =+.…………2分
Q 曲线()y f x =在点11
(,())22
f 处的切线方程为20x y +=，
∴'1
()2,2
f =-从而有222a -=-+，解得2a =.…………4分
（2）Q 2a =-时，2'1()2()ln(2)2
f x x f x =-+，∴
''11()
4()2f x x f x =-+， 从而''11()2()222f f =-+得'12()23
f =，…………7分
∴'81()3x f x x
=-
+=2
83
3x x -+=
8(443x x x
-+
…………9分
当1
,
24x ⎡∈⎢⎣⎭时，'()0f x >，()f x 为增函数；当x ∈,42
e ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
时，'()0f x <，()f x 为减函数. …………10分
所以max ()f x =[]()f x 极大值=f =12-+………11分
又1()2f =13-，()2e
f =213e -+，21133e -+<-，
∴min ()f x =2
13
e -+…………12分
20. 解：（1）1()f x ='
02
1()(21)f x x -=+；2
()f x =2'
133(1)224()(21)(21)f x x x -⨯⨯==++, 32'
3244
(1)212324
()()(21)(21)
f x f x x x -⨯⨯⨯⨯-===++, 43'
4355
(1)21234192
()()(21)(21)f x f x x x -⨯⨯⨯⨯⨯===++.……4分(注：结果没化简不扣分）
(2)猜想()n f x =11
(1)2!(21)
n n n n x -+-⋅+()n N *
∈.………6分(注：猜想结果用连乘式表示不扣分） 证明如下：
1o 当1n =时，由（1）知结论正确；…………7分
2o
假设n k =（k N *
∈）时，结论正确，即11
(1)2!
()(21)
k k k k k f x x -+-⋅=+.…………8分 则当1n k =+时，
1()k f x +=[]'
()k f x =12(1)2!(1)2(21)k k k k k x -+-⋅⋅--⋅+=12
(1)(1)!2(21)k k
k k x ++-+⋅+，
所以当1n k =+时，结论也正确. …………11分
由1o
，2o
得，∀n N *
∈，()n f x =11
(1)2!
(21)
n n n n x -+-⋅+均成立. …………12分 21．解：（Ⅰ）()x
f x e a '=-…………1分
①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 无极值；…………2分 ②当0a >时，由()0f x '=得ln x a =，并且
当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>. 所以，当ln x a =时， ()f x 取得极小值；…………3分 依题意，(ln )0f a =，ln 0a a a ∴-=， 又0a >，a e ∴=；…………4分 综上，a e =.…………5分 （Ⅱ） 令2
1()()(1)2
g x f x x =-+
，则21
()12
x g x e x ax =---,()x g x e x a '=--. …………6分
令()()h x g x '=，则当0x ≥时，()10x
h x e '=-≥，()g x '单调递增，
()(0)1g x g a ''∴≥=-.…………7分
①当1a ≤时()10g x a '=-≥， ()g x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0g x g ∴≥=； 所以，当1a ≤时，2
1()12
f x x ≥+
对任意0x ≥恒成立；…………9分 ②当1a >时，(0)10g a '=-<，()22(2)0a
g a e a ea a e a '=-≥-=->，所以，存在
0(0,)x a ∈，使0()0g x '=（此处用“当x →+∞时()g x '→+∞，存在0(0,)x ∈+∞，使0()0g x '=”证明，扣1分），并且，当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在0(0,)x 上单调递
减，所以，当0(0,)x x ∈时，()(0)0g x g <=，
所以，当1a >时，2
1()12
f x x ≥+
对任意0x ≥不恒成立；…………11分 综上，a 的取值范围为(,1]-∞.…………12分
22．解：（Ⅰ）2222
212(21)2(1)(2)
()1a a x a x a x x a f x x x x x -+---+'=-+==(0)x >（1分） ①若0a ≥，则，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，
()f x 单调递增.（2分）
②若1
2
a =-，则(0,)x ∈+∞，()0f x '≥（仅(1)0f '=），()f x 单调递增.（3分） ③若1
02
a -
<<，则021a <-<，当(0,2)x a ∈-或(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(2,1)x a ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减.（4分）
④若1
2
a <-
，则21a ->，当(0,1)x ∈或(2,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,2)x a ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减.（5分）
（Ⅱ）法一：①由（Ⅰ）知，当0a ≥时，()f x 至多有两个零点.（6分） ②由（Ⅰ）知，当1
2
a =-
时，()f x 至多有一个零点.（7分） ③若1
02a -
<<，则要使()f x 有三个零点，必须有(2)0(1)0f a f ->⎧⎨
<⎩
成立， 由(1)0f <，得32a <-
，这与1
02
a -<<矛盾，所以()f x 不可能有三个零点.（8分） ④若1
2a <-
，则要使()f x 有三个零点，必须有(1)0(2)0
f f a >⎧⎨-<⎩成立， 由(1)0f >，得32a >-
，由(2)(21)[ln(2)1]0f a a a -=---<及12a <-，得2
e
a <-， 322
e
a ∴-<<-.（10分）
并且，当322
e
a -
<<-时，2201,2,e e a -<<>- 22222()42(2)4(2)4150f e e a e e e e e ---=++-<+--<+-<，
22222222()2(2)3(2)6370f e e a e e e e e e ---=++>-+=-->->.
（注：此处用极限说明，扣1分）
综上，使()f x 有三个零点的a 的取值范围为3
(,)22
e --.（12分） 法二：由()0
f x =，得ln 2
21
ln x x a x x
--=
+，
令ln 2
()1ln x x h x x x
--=
+，则2
(1)(1)(ln 1)()(0)(1ln )x x x h x x x x +--'=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=->+，（7分） 当(0,1)x ∈或(,)x e ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当(1,)x e ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；
所以，当1x =时，()h x 取得极小值，极小值为(1)3h =-， 当x e =时，()h x 取得极大值，极大值为()h e e =-；（9分） 并且2
201,7,e
e e -<<>>
12
22(4)5()122e h e e e e ---+-=>>->---，222
22
(36)()322
e e h e e e -----+=<=-++. （注：此处用极限说明，扣1分）
综上可知，当2(3,)a e ∈--时，直线2y a =与曲线()y h x =恰有三个不同的交点.（11分） 所以，使()f x 有三个零点的a 的取值范围为3
(,)22
e --.（12分）。