基于Matlab平面梁四单元的分析

基于Matlab平面梁四单元的分析
摘要：Matlb平面梁单元分析
目标：通过对两单元的分析，掌握梁单元分析的一般方法和步骤，了解两单元的应变状态。

模型：如图一方形截面的悬臂梁，截面每边长为5cm，长度为10m，在左端约束固定，在右端施以一个沿y轴负方向的集中力w=100N，求其绕度与转角。

图一
内容：
解:将这个两分成4个平面梁单元，求出每个单元的刚度矩阵，然后将4个单元刚度矩阵组集成总体刚度矩阵。

引入边界条件后，再求解出各节点的挠度和转角。

Matlab程序如下：
>>clear
x1=0;
x2=sym('L');
x=sym('x');
j=0:3;
v=x.^j
m=...
[1 x1 x1^2 x1^3
0 1 2*x1 3*x1^2
1 x
2 x2^2 x2^3
0 1 2*x2 3*x2^2]
mm=inv(m);
N=v*mm
%N=[1 x x^2 x^3]*(inv(mm))
B=diff(N,2)
k=transpose(B)*B;
Ke=int(k,0,'L')
%Element 1: E=4.0e11, I=bh^3/12=5.2e-7
EI=4.0e11*5.2e-7
Ke1=EI*subs(Ke,'L',2.5)
Ke2=Ke1
Ke3=Ke1
Ke4=Ke1
T=eye(4,4)
Ke1=T*Ke1*T';
Ke2=T*Ke2*T';
Ke3=T*Ke3*T';
Ke4=T*Ke4*T';
% system analysis F=[K]u
G1=...
[1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0];
G2=...
[0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0];
G3=...
[0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0];
G4=...
[0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1];
K1=G1'*Ke1*G1
K2=G2'*Ke2*G2
K3=G3'*Ke3*G3
K4=G4'*Ke4*G4
K=K1+K2+K3+K4
F=[0,0,0,0,0,0,0,0,-100,0]'
%u=F*inv(K) u=[v1,xta1,v2,xta2,v3,xta3,v4,xta4,v5,xta5]', v1=xta1=0 %
K(1,:)=0;K(:,1)=0;
K(2,:)=0;K(:,2)=0;
KX=K(3:10, 3:10)
F(1,1)=0;F(2,1)=0;
FX=F(3: 10, 1);
u=inv(KX)*FX
%求得悬臂梁节点2、3、4、5处得挠度和转角为：
u =
-0.0138
-0.0105
-0.0501
-0.0180
-0.1014
-0.0225
-0.1603
-0.0240
结果分析：
（1）上述实验结果可知，悬臂梁在端点处的挠度和转角最大，这和材料力学得出的结论是一致的。

（2）对于这个悬臂梁来说，划分两个单元和四个单元得出的结论几乎一样。