重庆市名校联盟2011届高三数学第二次联考试题 文

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某某市名校联盟2011届高三第二次联考数学（文）试题
注意事项：
说明：本试卷共包括三道大题，21道小题，共150分.考试时间120分钟.其中第一道大
题为选择题 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
()(1)k k
n k n n P k C P P -=-
球的表面积公式2
4S R π=球的体积公式34
3
V R π=
其中R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的4个答案中，只有一个是
符合题目要求的）各题答案必须答在答题卡上。

1．
600sin 的值是（ ）
A ．
21B ．2
1
-C ．23D ．23-
2．若集合{}21,
A m =，
集合{}2,4B =，则“2m =”是“{}4=B A ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．等差数列{}n a 中，8113=+a a ，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b 的值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
4．已知函数()1log a f x =+(01)>≠且x a a ，1
()f
x -是()f x 的反函数，若1
()
y f x -=的图象过点(3,4)，则a 等于（ ） A ．2B
C
．5．已知两个非零向量2
2
),2,3(),6,3(,b a b a b a b a --=--=+则与的值为（ ） A ．-3B ．-24C ．21D ．12
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6．经过抛物线2
4y x =的焦点，且方向向量为(1,2)a =-的直线l 的方程是（ ）
A ．210x y --=
B ．220x y +-=
C ．210x y +-=
D ．220x y --=
7．某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，
则不同的邀请方法有（ ）
A ．84种
B ．98种
C ．112种
D ．140种
8．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
，那么2x y -的最大值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．2-
D ．3-
9．在三棱锥A BCD -中，侧棱,,AB AC AD 两两垂直，,,ABC ACD ADB ∆∆∆的面积分
别为
2
A BCD -的体积为（ ）
A
．
6B
．3
D
． 10．12,F F 分别是双曲线122
22=-b
y a x 的左、右焦点，A 是其右顶点，过2F 作x 轴的垂线
与双曲线的一个交点为P ，G 是0,2121=⋅∆F F GA F PF 若的重心，则双曲线的离心率是（ ）
A ．2
B ．2
C ．3
D ．3
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，各题答案必须填写在答题卡上，
只填结果，不要过程） 11．9
)1(x
x -展开式中，常数项是．
12．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3440x y ++=相切，则圆的
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标准方程是．
13．在ABC ∆中，三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，已知60B =︒，不等式
2680x x -+-> 的解集为{|}x a x c <<，则b =．
14．ABCD 与CDEF 是两个全等的正方形，且两个正方形所在平面互相垂直，则DF 与
AC 所成角的大小为． 15．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在[-1，0]上单调递增，设
)3(f a =，)2(f b =，)2(f c =，则c b a ,,从大到小的排列顺序是.
三、解答题（本大题共6个小题，共75分. 各题解答必须答在答题卡上规定的矩形区域
内。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分13分）
已知A B C 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为,a b c 、、若
(2cos
,tan ),2A m A =(cos ,cot ),2A n A =-且1
2
m n ⋅=． （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若4,b c +=ABC ∆的面积为3,求a ． 17．（本小题满分13分）
2010年世博会于5月1日在中国某某隆重开幕，甲、乙、丙三人打算利用周六去游览，由于时间有限，三人商定在已圈定的10个国家馆中各自随机选择一个国家馆游览（选择每个国家馆的可能性相同）．
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人同时游览同一个国家馆的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少有两人同时游览同一个国家馆的概率. 18．（本小题满分13分）
如图，四棱锥ABCD S -的底面是矩形，⊥SA 底面ABCD ，P 为BC 边的中点，SB 与平面ABCD 所成的角为0
45，且1,2==SA AD 。

（1）求证：⊥PD 平面,
SAP
（2）求二面角A SD P --的大小的正切值．
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19．（本小题满分12分）
在数列{}
n a 中，已知112,431,.n n a a a n n N +==-+∈ （1）设n a b n n -=，求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}
n a 的前n 项和.n S 20．（本小题满分12分）
已知函数b x x a x a x f +++-=
2
32
13)( ，其中,a b ∈R ． （1）若曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析
式；
（2）当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性． 21．（本小题满分12分）
已知椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b y a x ，它的一个顶点为)1,0(M ，离心率
3
6
=
e ． （1）求椭圆的方程；
（2）设直线l 与椭圆交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为
3
2
，求△AOB 面积的最大值．
2011级六校联盟高三（3月）考试试题
数学试题（文科）参考答案
11．－84 12．22
(2)4x y -+= 13．3．
3
π
15．a b c >> 三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16．（本题满分13分）
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P
S
D C
B
A R
Q
解：（Ⅰ）由1,2m n ⋅=得211
2cos 1cos ,222A A -+=⇒=- 所以120A =………5分 （Ⅱ）由11
sin sin1203,22
ABC
S bc A bc ∆===得4,bc = 2222222cos ()12,a b c bc A b c bc b c bc =+-=++=+-=所以23a =……13分
另解：应用对立事件求.3
3310
3
1711025
P C A ⎛⎫
⋅⋅ ⎪⎝⎭＝－＝…………．
．13分 18．（本题满分13分）
证明：（1）因为⊥SA 底面ABCD ，
所以，∠SBA 是SB 与平面ABCD 所成的角........................．.........．1分 由已知∠SBA =45°，所以AB =SA =1易求得，AP =PD =2， (2)
由于SA ⊥底面ABCD ,且SA ⊂平面SAD , 则平面SAD ⊥平面PAD ……．．7分 因为PQ ⊥AD ,所以PQ ⊥平面SAD 过Q 作QR ⊥SD ,垂足为R ,连结PR, 由三垂线定理可知PR ⊥SD ,
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所以∠PRQ 是二面角A －SD －P 的平面角．…9分
所以5tan ==
∠QR
PQ
PRQ 所以二面角A －SD －P 的大小的正切值为5．13分 19．（本题满分12分） （1）
()()()
n n n n n n n n b a n a n n a n b a n a n a n
++-+-+-+-====---111431144……………5分 0121(4444)(123)
14(1)41(1)14232
n n n n S n n n n n -∴=+++
+++++
+-+-+=+=+-…12分
20．（本题满分12分）
解：（1）2
()(1)1f x ax a x '=-++，……2分由导数的几何意义得(2)5f '=，
（2）2
1
()(1)1()(1)f x ax a x a x x a
'=-++=--， ……6分 当01a <<时，
11a >，函数()f x 在区间(, 1)-∞及1
(, )a +∞上为增函数； 在区间1
(1, )a
上为减函数； ．……8分
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21．（本题满分12分）解：（1）设22b a c -=
，
依题意得⎪
⎩
⎪
⎨⎧=-===3
61
2
2a b
a a c
e b ……2分解得a b ⎧=⎪
⎨
=⎪⎩31
(3)
∴椭圆的方程为.x y +=2
213
(4)
由已知
,2
31||2
=
+k m 得),1(43
22+=k m ………………………．．6分
m kx y +=把代入椭圆方程，整理得,0336)13(222=-+++m kmx x k .1
3)
1(3,1362
221221+-=+-=+∴k m x x k km x x .....................． (7)
当且仅当33
,192
2
±==
k k
k 即时等号成立，此时.2||=AB ………10分 ③当.3||,0=
=AB k 时…．．11分综上所述：2||max =AB ，。