2019届苏教版(文科数学) 基本不等式 单元测试

2019届苏教版（文科数学） 基本不等式 单元测试
1．函数1
(0)4y x x x
=+>取得最小值时，x 的值为 A ．1
2-
B ．
12
C ．1
D ．2
2．已知a ,b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是 A ．a+b ≥2
B ．+≥2
C ．|+|≥2
D ．a 2+b 2>2ab
3．
（）的最大值为
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知,,x y z 为正实数，则
222
xy yz
x y z +++的最大值为
A B ．
45
C D ．
23
5．若正实数a ，b 满足1a b +=，则
A ．
11
a b
+有最大值4 B 有最大值
C ．ab 有最小值
1
4
D ．22
a b + 6．高三学生在新的学期里,刚刚搬入新教室,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当教室在第层楼时,上下楼造成的不满意度为,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随教室所在楼层升高,环境不满意度降低,设教室在第层楼时,环境不满意度为,则同学们认为最适宜的教室应在楼 A ． B ． C ．
D ．
7．若关于x 的方程9x +(4+a )·3x +4=0有解,则实数a 的取值范围是 A ．(-∞,-8]∪[0,+∞) B ．(-∞,-4) C ．[-8,4)
D ．(-∞,-8]
8．若对任意正数x ，不等式211a
x x
≤
+恒成立，则实数a 的最小值为
A ．1
B
C D ．
12
9．已知1x >，1y >，且2log x ，
1
4
，2log y 成等比数列，则xy 有
A B ．最小值2
C
D ．最大值2
10．如图，在ABC △中，点
是线段上两个动点，且
，则
的最小值为
A ．
B ．
C ．
D ． 11．已知正实数
满足
当
取最小值时，
的最大值为
A ．2
B ．
C ．
D ．
12．在锐角ABC △中，
为角
所对的边，且
，若
，则
的最小值为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
13．函数
的图象恒过定点，若定点在直线
上，则
的
最小值为 A ．13 B ．14 C ．16
D ．12
14．已知满足，的最大值为，若正数
满足，则的最小值为
A ．9
B ．
C ．
D ．
15．当x >0时，2
2()1
x
f x x =
+的最大值为 .
16．已知函数=
=
,当
时,函数
()
()
g x f x 的最小值为 . 17．在公比为的正项等比数列中，,则当
取得最小值时，
．
18．已知
,,则
的最小值为 .
19．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机
器运转时间x (单位：年)的关系为2
*
182()5y x x x =-+-∈N ，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是 万元．
20．某物流公司引进了一套无人智能配货系统，购买系统的费用为80万元，维持系统正常运行的费用包括
保养费和维修费两部分.每年的保养费用为1万元.该系统的维修费为：第一年1.2万元，第二年1.6万元，第三年2万元，…，依等差数列逐年递增. (1)求该系统使用n 年的总费用(包括购买设备的费用)；
(2)求该系统使用多少年报废最合算(即该系统使用多少年平均费用最少).
21．已知函数).
(1)若,求当时函数的最小值;
(2)当时,函数有最大值-3,求实数的值.
22．(1)设x,y是正实数,且2x+y=4,求lg x+lg y的最大值.
(2)若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a>1),求(a+1)(b+2)的最小值.
△中，，，分别为角，，所对的边长，且．23．已知在ABC
（1）求角的值；
（2）若，求的取值范围．
1．（2017山东文 ）若直线
1(00)x y
a b a b
+=＞，＞过点(1,2),则2a +b 的最小值为 ． 2．（2018天津文 ）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则1
28
a
b +
的最小值为 . 3．（2015重庆文 ）设,0,5a b a b >+=,
．
4．（2015天津文 ）已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时，()22log log 2a b ⋅取得最大值. 5．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为
4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ．
6．（2018江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点
D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．
1．【解析】（1）
5
4
x <
，450x ∴-<，故540x ->, 11415444554y x x x x ⎛
⎫=-+
=--++ ⎪--⎝⎭
.
1
54254x x
-+
≥=-,
242y ∴≤-+=，学
当且仅当15454x x -=
-，即1x =或3
2
x =（舍去）时，等号成立， 故当1x =时，max 2y =.
2．【解析】设该长方体的容器长为m x ，则宽为y 元， 则9991021510019010y x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++
⨯⨯+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
9
x x
=即3x =时取“=”）， 所以min 250y =．
答：该容器长为3米时，容器的总造价最低，为250元． 3．【答案】C
4．【答案】
43
【解析】由题意得：3﹣m ﹣2n =1，故m +2n =2，即（m +1）+2n =3，
故
1112m n ++=13（11m ++12n ）[（m +1）+2n ]=13（1+21n m ++12m n ++1）≥23=43
， 当且仅当m +1=2n 时“=”成立，故填
4
3
．
1．【答案】B 【解析】
0,x x >∴ 当且仅当14x x =时取等号,此时1
2
x =，故选B. 2．【答案】C
【解析】当a ,b 都是负数时,A 不成立； 当a ,b 一正一负时,B 不成立； 当a =b 时,D 不成立， 因此只有选项C 是正确的. 3．【答案】B 【解析】∵
，∴
，
()()3692
2
a a -++≤=，当且仅当
，即时等号成立，
∴
（
）的最大值为．故选B ．学
4．【答案】C
【解析】由题意可得：222211
,22
x y z y +
≥+≥， 结合不等式的性质有：)2
2
2
x y z xy yz ++≥
+，
当且仅当x z y ==
时等号成立，即2
22xy yz x y z +≤++ 所以
222
xy yz x y z +++. 【方法点睛】分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值. 5．【答案】B
6．【答案】B
【解析】由题意知同学们总的不满意度,
当且仅当
,即
时,不满意度最小,
则同学们认为最适宜的教室应在3楼,故选B ． 7．【答案】D
【解析】由9x
+(4+a )·3x
+4=0得4+a =943
x x
+-=-(3x +
)≤--4,即a ≤-8, 当且仅当3x
=2时等号成立. 8．【答案】D
【解析】由题意可得2
1
x
a x ≥+恒成立． 由于
2
11
112x x x x =≤++（当且仅当1x =时取等号），故21x x +的最大值为12， 12a ∴≥
，即a 的最小值为1
2
，故选D ． 9．【答案】A
10．【答案】D
【解析】易知x ，y 均为正，设
，
共线，
，
，
则
，
()141141419552222
y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，
当且仅当
4y x x y
=，即24
,33x y ==时等号成立.
则的最小值为，故选D ．
11．【答案】C
【解析】根据题意，
，所以2244113c a ab b a b
ab ab b a
-+==+-≥-=， 当且仅当，即
时取等号，
所以
，
当
时取得最大值，故选C ．学 .
12．【答案】C
13．【答案】D
【解析】时，函数的值恒为，
函数的图象恒过定点，
又点在直线上，，
又，当且仅当时取“=”，
则的最小值为，故选D．
14．【答案】B
【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示：
15．【答案】1
【解析】∵x >0，∴2222
()1112
x f x x x x
=
=≤=++， 当且仅当1
x x
=，即x =1时取等号． 16．【答案】
【解析】由题意可得()()g x f x =23212x x x
++
=311122x x ++≥+
1+(当且仅当3122x x =,
即x =
).学
17．【答案】
14
【解析】2242642222244a a a a q q q q ⎛⎫+=
+=+≥⨯= ⎪⎝⎭
当且仅当时取得最小值，
则，故答案为.
18．【答案】
【解析】因为a ＞b ＞0,ab =1，所以a-b ＞0,
所以()()
2
22
22a b ab a b a b a b a b a b
-++==-+
≥---
当且仅当时取等号,故答案为.
19．【答案】5 8
【解析】每台机器运转x 年的年平均利润为
2518()y x x x
=-+，
而x >0，故
188y
x
≤-=， 当且仅当x =5时等号成立，
此时年平均利润最大，最大值为8万元．
21．【解析】(1)
时,111111
y x x x x =+
=-++--. 因为
,所以
,
所以1
11131
y x x =-++≥+=-, 当且仅当111
x x -=-,即时取等号,
所以当
时函数的最小值为3.
22．【解析】(1)因为x>0,y>0,所以由基本不等式得≥,
因为2x+y=4,所以≤2,所以xy≤2,当且仅当2x=y时,等号成立,
由
24
2
x y
x y
+=
⎧
⎨
=
⎩
,解得
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,
所以当x=1,y=2时,xy取得最大值2,
所以lg x+lg y=lg(xy)≤lg 2,
当且仅当x=1,y=2时,lg x+lg y取得最大值lg 2.
(2)因为ab-4a-b+1=0,所以b=,ab=4a+b-1.
所以
(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1=6a+×2+1=6a++1=6a+8++1=6(a-1)++15.
因为a>1,所以a-1>0.
所以原式=6(a-1)++15≥2+15=27.
当且仅当(a-1)2=1,即a=2时等号成立.学
故所求最小值为27.
23．【解析】（1）依题意由正弦定理可得：，
则
. .
又．
（2）由余弦定理知：
. （当且仅当时成立），
，又，
故的取值范围是．
1．【答案】8
【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式． 2．【答案】
【解析】由可知，且，
因为对于任意x ，恒成立，结合基本不等式的结论可得：.
当且仅当
，即
时等号成立.
综上可得的最小值为.
【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式： ①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；
②,a b +∈R ，a b +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．学 . 3．【答案】23
4．【答案】4
【解析】()()()()2
22
222222
log log 211log log 2log 2log 164,244a b a b ab +⎡⎤⋅≤===⎢⎥⎣⎦
当2a b =时取等
号,结合0,0,8,a b ab >>=可得4, 2.a b == 5．【答案】30
【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900
x x
=，即30x =时等号成立．
【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 6．【答案】9
【解析】由题意可知，
,由角平分线性质和三角形面积公式得
，化简得，
因此
当且仅当
时取等号，则
的最小值为.。