2006年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷

绝密★启用前
2006年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
（理工农医类）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是
（A ）0ad bc -= （B ）0ac bd -= （C ）0ac bd += （D ）0ad bc +=
（2）在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于
（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45
（3）已知3(,),sin ,25π
απα∈=则tan()4π
α+等于
（A ）17 （B ）7 （C ）1
7
- （D ）7-
（4）已知全集,U R =且{}{}
2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U
A B 等于
（A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)-
（5）已知正方体外接球的体积是
32
3
π，那么正方体的棱长等于
（A ） （B （C （D （6）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。

从中摸出3个球，
至少摸到2个黑球的概率等于
（A ）27 （B ）38 （C ）37 （D ）928
（7）对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是
（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n
（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n
（8）函数2
log (1)1
x
y x x =>-的反函数是
（A ）2(0)21x x
y x =>- （B ）2(0)21x
x y x =<-
（C ）21(0)2x x y x -=> （D ）21
(0)2
x x y x -=< （9）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最小值是2-，则ω的最小值
等于
（A ）
23 （B ）3
2
（C ）2 （D ）3 （10）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o
的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞
（11）已知1,3,.0,OA OB OAOB ===点C 在AOC ∠30o
=。

设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则
m
n
等于
（A ）
1
3
（B
）3 （C ）
3 （D
（12）对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 2121||.AB x x y y =-+-
给出下列三个命题：
①若点C 在线段AB 上，则;AC CB AB += ②在ABC ∆中，若90,o
C ∠=则2
22
;AC
CB AB +=
③在ABC ∆中，.AC CB AB +>
其中真命题的个数为
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在答题卡的相应位置。

（13）2
51()x x
-展开式中4
x 的系数是 （用数字作答）。

（14）已知直线10x y --=与抛物线2
y ax =相切，则______.a = （15）一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2。

将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 。

（16）如图，连结ABC ∆的各边中点得到一个新的111,A B C ∆又连结
111A B C ∆的各边中点得到222A B C ∆，如此无限继续下去，得到一系列三角
形：ABC ∆，111A B C ∆，222A B C ∆，...，这一系列三角形趋向于一个点M 。

已知(0,0),(3,0),A B (2,2),C 则点M 的坐标是 。

三．解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
已知函数22
()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈
（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；
（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？
（18）（本小题满分12分） 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点， （I ）求证：AO ⊥平面BCD ； （II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （III ）求点E 到平面ACD 的距离。

（19）（本小题满分12分） 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：
313
8(0120).12800080
y x x x =
-+<≤已知甲、乙两地相距100千米。

（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ （20）（本小题满分12分）
已知椭圆2
212
x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。

（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B
线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G （21）（本小题满分12分） 已知函数2
()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ （I ）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t
（II ）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交
点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

（22）（本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足*
111,21().n n a a a n N +==+∈
（I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）若数列{b n }滿足12
111
*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明：数列{b n }是等差数列；
B
E
（Ⅲ）证明：
*122311...().232
n n a a a n n
n N a a a +-<+++<∈
2006年高考(福建卷)数学理试题答案
一．选择题：本大题考查基本概念和基本运算。

每小题5分，满分60分。

（1）D （2）B （3）A （4）C （5）D （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）B （12）B 1．,,,a b c R ∈复数()()a bi c di ++=()()ac bd ad bc i -++为实数，∴0ad bc +=，选D. 2．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=∴ d=3，a 5=14，456a a a ++=3a 5=42，选B.
3．已知3(,),sin ,25π
απα∈=则3tan 4α=-，tan()4πα+=1tan 1
1tan 7
αα+=-，选A. 4
．
全
集
,
U R =且
{}|12{|1或3},A x x x x x =->=<->{}2|680{|24},B x x x x x =-+<=<<
∴ (
)U
A B =(2,3]，选C.
5．正方体外接球的体积是
32
3
π，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4，棱长等
于
3
，选D. 6．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。

从中摸出3个球，
至少摸到2个黑球的概率等于213
3533
8
C C C P C +==2
7，选A 。

7．对于平面α和共面的直线m 、,n 真命题是“若,m n αα⊂∥,则m ∥n ”，选C. 8．对于x>1，函数2
21log log (1)11x y x x ==+-->0，解得1211
y x =--，1
121
y x =+-=221y y
-，∴ 原函数的反函数是2(0)21x x y x =>-，选A. 9．函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最小值是2-，则ωx 的取值范围是,34ωπωπ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
， ∴ 3
2
ωπ
π
-
-
≤或
34
2ωππ≥
，∴ ω的最小值等于3
2
，选B. 10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o
的直线与
双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率
b
a
，∴ b a
≥3，离心率e 2=22222c a b a a +=≥4，∴ e ≥2，选C 11．已知1,3,.0,OA OB OAOB
===点C 在AB 上，且AOC ∠30o
=。

设A 点坐标为(1，0)，B 点的坐标为(0，
3)，C 点的坐标
为(x ，y)=(
3
4
，)，
(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则∴ m=
43，n=41，m
n
=3，选B. 12．对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 2121||.AB x x y y =-+-
①若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为(x 0，y 0)，x 0在x 1
、
x 2
之
间
，
y 0
在
y 1
、
y 2
之
间
，
则
01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-=2121||.x x y y AB -+-=
③在ABC ∆中，
01012020||||||||
AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+->
01200120|()()||()()|x x x x y y y y -+-+-+-
=2121||.x x y y AB -+-= ∴命题① ③成立，而命题②在ABC ∆中，若90,o
C ∠=则
222
;AC CB AB +=明显不成立，选B.
二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题4分满分16分。

（13）10 （14）
14 （15）49 （16）52
(,)33
13．251()x x -展开式中，4x 项为22324
3151()()10T C x x x
+=⋅-=，该项的系数是10.
14．已知直线10x y --=与抛物线2
y ax =相切，将y=x －1代入抛物线方程得
210ax x -+=，∴ 140a =-=，a =4
1。

15．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2。

将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为ξ=0，1，2，4，则
11111133333311
663
(0)4
C C C C C C P C C ξ++===，
11
2211
661
(1)9
C C P C C ξ===，
1111211211661(2)9C C C C P C C ξ+===，11
1111
661
(4)36
C C P C C ξ===，
∴ 124499369
E ξ=
++=. 16．如图，连结ABC ∆的各边中点得到一个新的111,A B C ∆又连结111A B C ∆的各边中点得到
222A B C ∆，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC ∆，111A B C ∆，222A B C ∆，...，
这一系列三角形趋向于一个点M 。

已知(0,0),(3,0),A B (2,2),C 则点M 的坐标是ABC ∆的重心，∴ M=52
(,)33
三．解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。

满分12分。

解：（I
）1cos 2()sin 2(1cos 2)22
x f x x x -=
+++ ()f x ∴的最小正周期2.2
T π
π=
= 由题意得222,,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤+
≤+
∈
即 ,.3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦
（II ）方法一：
先把sin 2y x =图象上所有点向左平移
12π个单位长度，得到sin(2)6
y x π
=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3
sin(2)62
y x π=++的图象。

方法二：
把sin 2y x =图象上所有的点按向量3
(,)122a π=-
平移，就得到3
sin(2)62y x π=++的图象。

（18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

满分12分。

方法一：
（I ）证明：连结OC 在AOC ∆
中，由已知可得1,AO CO ==
而2,AC = 222
,AO CO AC ∴+=
90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥
,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD
A
B
M
D
E
O
C
（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC
∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角 在OME ∆中，
OM 是直角AOC ∆斜边
AC
上的中线，1
1,2
OM AC ∴=
=
cos 4
OEM ∴∠=
∴异面直线AB 与CD
所成角的大小为arccos
4
（III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h
,
11
(33)
E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --∆∆=∴= 在ACD ∆
中，2,CA CD AD ===
122
ACD S ∆∴==
而211,2,242CDE AO S ∆==⨯⨯=
1.7CDE
ACD
AO S h S ∆∆∴=
=
= ∴点E 到平面ACD
方法二：
（I ）同方法一。

（II ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),B D -
∴异面直线AB 与CD
所成角的大小为arccos
4
（III ）解：设平面
ACD
的法向量为
(,,),
n x y z =则
.(,,).(1,0,1)0,
.(,,1)0,
n AD x y z n AC x y z ⎧=--=⎪⎨
=-=⎪⎩
令1,y =
得(3,1,n =-是平面ACD 的一个法向量。

又1(,22
EC =-
∴点E 到平面ACD 的距离 （19）本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。

满分12分。

解：（I ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了100
2.540
=小时， 要耗没313
(
40408) 2.517.512800080
⨯-⨯+⨯=（升）。

（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100
x
小时，设耗油量为()h x 升，
依题意得3213100180015
()(8).(0120),1280008012804
h x x x x x x x =-+=+-<≤
令'()0,h x =得80.x =
当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数； 当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数。

∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h =
因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。

（20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，
考查运算能力和综合解题能力。

满分12分。

解：（I ）
222,1,1,(1,0),:
a b c F l x ==∴=- 圆过点O 、F ，
∴圆心M 在直线1
2
x =-上。

设1
(,),2
M t -则圆半径
由,OM r =3,2
=
解得t =
∴所求圆的方程为2219
()(.24
x y ++±=
（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠
代入2
21,2
x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-= 直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根。

记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y
则2
122
4,21
k x x k +=-+
AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001
().y y x x k
-=--
令0,y =得
∴点G 横坐标的取值范围为1
(,0).2
-
（21）本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质 的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。

满分12分。

解：（I ）2
2
()8(4)16.f x x x x =-+=--+
当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增， 当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f ==
当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减，
综上，2267,3,
()16,34,8,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪
=≤≤⎨⎪-+>⎩
（II ）函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数
()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当1,x =或3x =时，'()0.x φ=
当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ>
∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
()70,
()6ln 3150,x m x m φφ=->⎧⎪⎨
=+-<⎪⎩
最大值最小值 即7156ln3.m <<-
所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m
的取值范围为(7,156ln 3).-
（22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。

满分14分。

（I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈
{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。

即 2*21().n a n N =-∈
（II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+
122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①
12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②
②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=
③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=
即 2120,n n n b b b ++-+=
{}n b ∴是等差数列。

证法二：同证法一，得
令1,n =得1 2.b =
设22(),b d d R =+∈下面用数学归纳法证明 2(1).n b n d =+-
（1）当1,2n =时，等式成立。

（2）假设当(2)n k k =≥时，2(1),k b k d =+-那么
这就是说，当1n k =+时，等式也成立。

根据（1）和（2），可知2(1)n b n d =+-对任何*n N ∈都成立。

{}1,n n n b b d b +-=∴是等差数列。

（III ）证明：1121211,1,2,...,,1212
2(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=--。