2019-2020学年山东省临沂市蒙阴县实验中学高二上学期期中考试数学试题

蒙阴县实验中学2019-2020学年度上学期期中考试 高二数学试题 ★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“存在实数x ,，使1x >”的否定是（ ）
A ．对任意实数x , 都有1x >
B ．不存在实数x ，使1x ≤
C ．存在实数x ，使1x ≤
D ．对任意实数x , 都有1x ≤
2．数列1，23，35，47，59
，…的一个通项公式n a 是( ) A.n 2n ＋1 B.n 2n －1 C.n 2n －3 D.n 2n ＋3
3.已知双曲线2221x y a -= (a >0)的离心率是,则a = ( )
A. B.4 C.2 D.1
2
4．设数列{a n }的前n 项和S n =n 2
，则a 8的值为（ ）
A ．15
B ．16
C ．49
D ．64
5．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是( )
A ．{x |x ≤－1或x ≥5}
B ．{x |x <－1或x >5}
C ．{x |1<x <5}
D ．{x |－1≤x ≤5}
6．过椭圆x 26＋y 25＝1内一点P (2，－1)的弦恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( ) A ．5x －3y ＋13＝0 B ．5x ＋3y ＋13＝0
C ．5x －3y －13＝0
D ．5x ＋3y －13＝0
7．已知x ＞，则函数y=4x+取最小值为（ ）
A ．﹣3
B ．2
C ．5
D ．7
8．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A ．5 km 处
B ．4 km 处
C ．3 km 处
D ．2 km 处
9．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.x 2
5＋y 2＝1 B.x 24＋y 2
5＝1
C.x 25＋y 2＝1或x 24＋y 2
5＝1 D ．以上答案都不对
10. 已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p 是q 的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 11．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，记P=
，
Q=，则P 与Q 的大小关系是（ ） A ．P ＜Q B ．P ＞Q C ．P=Q D ．无法确定
12．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的
方程为( )
A.x 216－y 29＝1
B.x 23－y 24＝1
C.x 29－y 216＝1
D.x 24－y 2
3＝1 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

请把正确的答案填在题中的横线上。

13. 若方程4x 2+kx 2=1表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，求k 的取值范围________.
14．关于x 的不等式ax 2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x ＜}，则a+b= ________．
15.古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？_______.
16.已知双曲线C :22221x y a b -=(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1
的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若
=,·=0,则C 的离心率为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(10分)指出下列命题中，p 是q 的什么条件？
(1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}；
(2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数；
18．(12分)求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3，2)；
(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
19．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为
． （1）求{a n }的通项公式；
（2）设b n =
，求数列{b n }的前n 项和T n ．
20.(12分)已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
21.(12分)已知数列{}n a 满足)(12,111*+∈+==N n a a a n n
（1）求证：数列}1{+n a 是等比数列；
（2）求通项公式n a ;
(3)设n n =b ，求{}n n b a 的前n 项和n T .
22.(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为22
，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；
(2)当△AMN 的面积为103
时，求k 的值．
蒙阴实验中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1-6 DBDABC 7-12 DACBBC
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请把正确的答案填在题中的横线上。

13. 0<k<4 14.-14 15.3 16.2
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.【解答】解：(1)因为{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，
所以{x|x>－2或x<3}⇒/{x|－2<x<3}，
而{x|－2<x<3}⇒{x|x>－2或x<3}．
所以p是q的必要不充分条件．
(2)因为a，b都是奇数⇒a＋b为偶数，而a＋b为偶数⇒/a，b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件．
18.(1)由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．
由椭圆的定义知，
2a＝32＋（2＋2）2＋32＋（2－2）2＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为y2
16＋x2
12＝1.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13，所以c＝5，
所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定， 所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1. 19.【解答】解：（1）当n=1时，a 1=S 1=1，
当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=
﹣= a 1=1适合上式，
． （2）∵b n ===﹣，
∴T n =2（1﹣+﹣+…+﹣
）=2（1﹣）=． 20.解 p ：x 2－8x －20≤0⇔－2≤x ≤10，
q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0⇔1－a ≤x ≤1＋a .
∵p ⇒q ，q p ，
∴{x |－2≤x ≤10}⊄{x |1－a ≤x ≤1＋a }．
故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤－2，1＋a ≥10，
a >0，且两个等号不同时成立，解得a ≥9.
因此，所求实数a 的取值范围是[9，＋∞)．
21. 解：（1）Θ)(121*
+∈+=N n a a n n
得 ))(1(211*+∈+=+N n a a n
n ∴)(2111*+∈=++N n a a n n ……………2分 ∴数列}1{+n a 成等比数列. ……………3分
(2)由（1）知，}1{+n a 是以11+a =2为首项，以2为公比的等比数列
∴n n a 22211-n =⋅=+
∴12-=n n
a ……………6分 （3）Θ
n n =b ∴)12(-=⋅n n n
n b a ∴n n b a b a b a b a T Λ+++=332211n
)12()12(3)12(2)12(1321-+-+-+-=n n Λ……………8分 =
)321()2n 232221321n n
++++-⋅+⋅+⋅+⋅ΛΛ（ 令n S 2n 232221321n ⋅+⋅+⋅+⋅=Λ 1432n 2n 2322212+⋅+⋅+⋅+⋅=n S Λ……………10分
两式相减1321n
222221+⋅-+++⋅=-n n n S Λ 2)1(21+-=+n S n n ∴2
)1(2)1(21+-+-=+n n n T n n ……………12分 22.【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2
， 解得b ＝2，
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2＝1.
(2)由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 22＝1，
得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，
设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则
y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，
x 1＋x 2＝4k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2
， 所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2 ＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k
2， 又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的距离
d ＝|k |1＋k 2
， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2
， 由|k |4＋6k 21＋2k 2
＝103， 化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.。