襄汾县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

襄汾县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）
2．已知双曲线C：
22
22
1
x y
a b
-=（0
a>，0
b>），以双曲线C的一个顶点为圆心，为半径的圆
被双曲线C截得劣弧长为2
3a
π
，则双曲线C的离心率为（）
A．6
5
B
C
．
5
D
3．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（）
A．
y=B．y=﹣
x+
C．y=﹣x|x| D．
y=
4．
若椭圆
+=1的离心率
e=，则m的值为（）
A．1 B
．
或C
．D．3
或
5．已知M是△ABC
内的一点，且
=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB
的面积分别为，x，y
，则
+的最小值是（）
A．20 B．18 C．16 D．9
6．已知点P是双曲线C：
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>左支上一点，
1
F，
2
F是双曲线的左、右两个焦点，且12
PF PF
⊥，
2
PF与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段
2
PF，则双曲线的离心率是（）
A.5
B.2
D.2
【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力.
7．若直线l
的方向向量为=（1，0，2），平面α
的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（）A．l∥αB．l⊥α
C．l⊂αD．l与α相交但不垂直
班
级
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座
号
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姓
名
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分
数
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8． 设D 为△ABC
所在平面内一点，，则（ ）
A
． B
． C
．
D
．
9． 已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则
实数m 的取值范围是（ ）
A ．1-<m
B ．10<<m
C ．1>m
D ．1≥m
【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等. 10．A={x|x ＜1}，B={x|x ＜﹣2或x ＞0}，则A ∩B=（ ）
A ．（0，1）
B ．（﹣∞，﹣2）
C ．（﹣2，0）
D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）
11．如果对定义在R 上的函数)(x f ，对任意n m ≠，均有0)()()()(>--+m nf n mf n nf m mf 成立，则称 函数)(x f 为“H 函数”.给出下列函数： ①
()ln25x f x =-；②34)(3++-=x x x f ；③)cos (sin 222)(x x x x f --=；④
⎩⎨
⎧=≠=0
,00
|,|ln )(x x x x f ．其中函数是“H 函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4
【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大． 12．圆C 1：（x+2）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=16的位置关系是（ ） A ．外离 B ．相交 C ．内切 D ．外切
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，(1,1)=-a ，(1,2)=b ，记{}
(,)|M O M λμλμΩ==+a b ，其中O 为坐标原点，给出结论如下：
①若(1,4)(,)λμ-∈Ω，则1λμ==；
②对平面任意一点M ，都存在,λμ使得(,)M λμ∈Ω； ③若1λ=，则(,)λμΩ表示一条直线； ④{}(1,)
(,2)(1,5)μλΩΩ=；
⑤若0λ≥，0μ≥，且2λμ+=，则(,)λμΩ
表示的一条线段且长度为 其中所有正确结论的序号是 ． 14．抛物线y=4x 2的焦点坐标是 ．
15．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且，则= ．
16．命题p ：∀x ∈R ，函数
的否定为 ．
17．已知抛物线1C ：x y 42
=的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，且3||=PF ，双曲线2C ：122
22=-b
y a x
（0>a ，0>b ）的渐近线恰好过P 点，则双曲线2C 的离心率为 .
【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.
18．当0,1x ∈（）时，函数()e 1x f x =-的图象不在函数2()g x x ax =-的下方，则实数a 的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
三、解答题
19．（本小题12分）在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 与CDEF 是边长均为a 正方形，CF ⊥平面
ABCD ，BG ⊥平面ABCD ，且24AB BG BH ==．
（1）求证：平面AGH ⊥平面EFG ； （2）若4a =，求三棱锥G ADE -的体积．
【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，间在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．
20．已知不等式ax 2﹣3x+6＞4的解集为{x|x ＜1或x ＞b}，
（1）求a ，b ；
（2）解不等式ax 2
﹣（ac+b ）x+bc ＜0．
21．已知函数f（x）=lnx﹣ax﹣b（a，b∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值1，求a，b的值
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性
（Ⅲ）对于函数f（x）图象上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），不等式f′（x0）＜k恒成立，其中k为直线AB的斜率，x0=λx1+（1﹣λ）x2，0＜λ＜1，求λ的取值范围．
22．如图，在四棱柱中，底面，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若，判断直线与平面是否垂直？并说明理由．
23．已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，满足4S n=（a n+1）2．
（Ⅰ）求数列{a n}通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=（n∈N*），求证：b1+b2+…+b n＜．
24．设F是抛物线G：x2=4y的焦点．
（1）过点P（0，﹣4）作抛物线G的切线，求切线方程；
（2）设A，B为抛物线上异于原点的两点，且满足FA⊥FB，延长AF，BF分别交抛物线G于点C，D，求四边形ABCD面积的最小值．
襄汾县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：
g′（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，
即当x＞0时，g′（x）＜0，
∴当x＞0时，函数g（x）为减函数，
又∵g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
∴x＜0时，函数g（x）是增函数，
又∵g（﹣2）==0=g（2），
∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（2），解得：0＜x＜2，
x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（﹣2），解得：x＜﹣2，
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
故选：A．
2．【答案】B
考点：双曲线的性质．
3．【答案】C
【解析】解：A.在定义域内没有单调性，∴该选项错误；
B.时，y=，x=1时，y=0；
∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；
C．y=﹣x|x|的定义域为R，且﹣（﹣x）|﹣x|=x|x|=﹣（﹣x|x|）；
∴该函数为奇函数；
；
∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是减函数，且﹣02=02；
∴该函数在定义域R上为减函数，∴该选项正确；
D.；
∵﹣0+1＞﹣0﹣1；
∴该函数在定义域R上不是减函数，∴该选项错误．
故选：C．
【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性．
4．【答案】D
【解析】解：当椭圆+=1的焦点在x轴上时，a=，b=，c=
由e=，得=，即m=3
当椭圆+=1的焦点在y轴上时，a=，b=，c=
由e=，得=，
即m=．
故选D
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．解题时要对椭圆的焦点在x轴和y轴进行分类讨论．
5．【答案】B
【解析】解：由已知得=bccos∠BAC=2⇒bc=4，
故S△ABC=x+y+=bcsinA=1⇒x+y=，
而+=2（+）×（x+y）
=2（5++）≥2（5+2）=18，
故选B ．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+的形式．
6． 【答案】A. 【
解
析
】
7． 【答案】B
【解析】解：∵ =（1，0，2），=（﹣2，0，4），
∴=﹣2，
∴∥， 因此l ⊥α． 故选：B ．
8． 【答案】A
【解析】解：由已知得到如图
由=
=
=；
故选：A ．
【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量
表示为．
9． 【答案】C
【解析】画出可行域如图所示，)3,1(A ，要使目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则需
直线l 过点A 时截距最大，即z 最大，此时1>l k 即可.
10．【答案】D
【解析】解：∵A=（﹣∞，1），B=（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞），
∴A∩B=（﹣∞，﹣2）∪（0，1），
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
11．【答案】B
第12．【答案】D
【解析】解：由圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16得：
圆C1：圆心坐标为（﹣2，2），半径r=1；圆C2：圆心坐标为（2，5），半径R=4．
两个圆心之间的距离d==5，而d=R+r，所以两圆的位置关系是外切．
故选D
二、填空题
13．【答案】②③④
【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力．
由(1,4)λμ+=-a b 得1
24
λμλμ-+=-⎧⎨
+=⎩，∴21λμ=⎧⎨=⎩，①错误；
a 与
b 不共线，由平面向量基本定理可得，②正确；
记OA =a ，由OM μ=+a b 得AM μ=b ，∴点M 在过A 点与b 平行的直线上，③正确；
由2μλ+=+a b a b 得，(1)(2)λμ-+-=0a b ，∵a 与b 不共线，∴1
2λμ=⎧⎨=⎩
，∴2(1,5)μλ+=+=a b a b ，
∴④正确；
设(,)M x y ，则有2x y λμλμ=-+⎧⎨=+⎩，∴2133
1133x y x y λμ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，∴200x y x y -≤⎧⎨+≥⎩且260x y -+=，∴(,)λμΩ表示的一
条线段且线段的两个端点分别为(2,4)、(2,2)-
，其长度为
14．【答案】
．
【解析】
解：由题意可知∴
p= ∴
焦点坐标为
故答案为
【点评】本题主要考查抛物线的性质．属基础题．
15．【答案】
．
【解析】解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n
，且， ∴S 4=5S 2，又S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4成等比数列，
∴（S 4﹣S 2）2
=S 2（S 6﹣S 4）， ∴（5S 2﹣S 2）2
=S 2（S 6﹣5S 2），
解得S 6=21S 2，
∴
=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查等比数列的求和公式和等比数列的性质，用S 2表示S 4和S 6是解决问题的关键，属中档题．
16．
【答案】 ∃x 0∈R ，函数f （x 0）=2cos 2x 0+sin2x 0＞3 ．
【解析】解：全称命题的否定是特称命题，即为∃x
0∈R ，函数f （x 0）=2cos 2
x 0+sin2x 0＞3，
故答案为：∃x
0∈R ，函数f （x 0）=2cos 2
x 0+sin2x 0＞3，
17．【答案】3
18．【答案】[2e,)-+∞
【解析】由题意，知当0,1x ∈（）时，不等式2
e 1x
x ax -≥-，即21e x x a x +-≥恒成立．令()21e x
x h x x
+-=，
()()()2
11e 'x x x h x x
-+-=．令()1e x k x x =+-，()'1e x k x =-．∵()0,1x ∈，∴()'1e 0,x
k x =-<∴()k x 在()0,1x ∈为递减，∴()()00k x k <=，∴()()()
2
11e '0x x x h x x
-+-=
>，∴()h x 在()0,1x ∈为递增，∴
()()12e h x h <=-，则2e a ≥-． 三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）连接FH ，由题意，知CD BC ⊥，CD CF ⊥，∴CD ⊥平面BCFG ． 又∵GH ⊂平面BCFG ，∴CD ⊥GH ． 又∵EF
CD ，∴EF GH ⊥……………………………2分
由题意，得14BH a =，34CH a =，12BG a =，∴222
2516
GH BG BH a =+=
， 22225()4FG CF BG BC a =-+=，2222
2516
FH CF CH a =+=，
则222
FH FG GH =+，∴GH FG ⊥．……………………………4分
又∵EF
FG F =，GH ⊥平面EFG ．……………………………5分
∵GH ⊂平面AGH ，∴平面AGH ⊥平面EFG ．……………………………6分
20．【答案】 【解析】解：（1）因为不等式ax 2﹣3x+6＞4的解集为{x|x ＜1或x ＞b}，所以x 1=1与x 2=b 是方程ax 2
﹣3x+2=0
的两个实数根，
且b ＞1．由根与系的关系得
，解得
，所以得
． （2）由于a=1且 b=2，所以不等式ax 2
﹣（ac+b ）x+bc ＜0，
即x 2
﹣（2+c ）x+2c ＜0，即（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0．
①当c ＞2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x|2＜x ＜c}； ②当c ＜2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}； ③当c=2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为∅．
综上所述：当c ＞2时，不等式ax 2
﹣（ac+b ）x+bc ＜0的解集为{x|2＜x ＜c}；
当c ＜2时，不等式ax 2
﹣（ac+b ）x+bc ＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}；
当c=2时，不等式ax 2
﹣（ac+b ）x+bc ＜0的解集为∅．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f （x ）的导数为f ′（x ）=﹣a ， 由题意可得f ′（1）=0，且f （1）=1， 即为1﹣a=0，且﹣a ﹣b=1，
解得a=1．b=﹣2，经检验符合题意． 故a=1，b=﹣2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f ′（x ）=﹣a ，x ＞1，0＜＜1， ①若a ≤0，f ′（x ）＞0，f （x ）在（1，+∞）递增；
②0＜a ＜1，x ∈（1，），f ′（x ）＞0，x ∈（，+∞），f ′（x ）＜0；
③a≥1，f′（x）＜0．f（x）在（1，+∞）递减．
综上可得，a≤0，f（x）在（1，+∞）递增；
0＜a＜1，f（x）在（1，）递增，在（，+∞）递减；
a≥1，f（x）在（1，+∞）递减．
（Ⅲ）f′（x0）=﹣a=﹣a，
直线AB的斜率为k===﹣a，
f′（x0）＜k⇔＜，
即x2﹣x1＜ln[λx1+（1﹣λ）x2]，
即为﹣1＜ln[λ+（1﹣λ）]，
令t=＞1，t﹣1＜lnt[λ+（1﹣λ）t]，
即t﹣1﹣tlnt+λ（tlnt﹣lnt）＜0恒成立，
令函数g（t）=t﹣1﹣tlnt+λ（tlnt﹣lnt），t＞1，
①当0＜λ时，g′（t）=﹣lnt+λ（lnt+1﹣）=，
令φ（t）=﹣tlnt+λ（tlnt+t﹣1），t＞1，
φ′（t）=﹣1﹣lnt+λ（2+lnt）=（λ﹣1）lnt+2λ﹣1，
当0＜λ≤时，φ′（t）＜0，φ（t）在（1，+∞）递减，则φ（t）＜φ（1）=0，
故当t＞1时，g′（t）＜0，
则g（t）在（1，+∞）递减，g（t）＜g（1）=0符合题意；
②当＜λ＜1时，φ′（t）=（λ﹣1）lnt+2λ﹣1＞0，
解得1＜t＜，
当t∈（1，），φ′（t）＞0，φ（t）在（1，）递增，φ（t）＞φ（1）=0；
当t∈（1，），g′（t）＞0，g（t）在（1，）递增，g（t）＞g（1）=0，
则有当t∈（1，），g（t）＞0不合题意．
即有0＜λ≤．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用，不等式恒成立思想的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
22．【答案】
【解析】【知识点】垂直平行
【试题解析】（Ⅰ）证明：因为，平面，平面，所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面．
又因为，
所以平面平面．
又因为平面，
所以平面．
（Ⅱ）证明：因为底面，底面，
所以．
又因为，，
所以平面．
又因为底面，
所以．
（Ⅲ）结论：直线与平面不垂直．
证明：假设平面，
由平面，得．
由棱柱中，底面，
可得，，
又因为，
所以平面，
所以．
又因为，
所以平面，
所以．
这与四边形为矩形，且矛盾，
故直线与平面不垂直．
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：由4S n=（a n+1）2，
令n=1，得，即a1=1，
又4S n+1=（a n+1+1）2，
∴，整理得：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）=0．∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，则{a n}是等差数列，
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，b n==，
则b1+b2+…+b n=
=
=．
24．【答案】
【解析】解：（1）设切点．
由，知抛物线在Q点处的切线斜率为，
故所求切线方程为．
即y=x0x﹣x02．
因为点P（0，﹣4）在切线上．
所以，，解得x0=±4．
所求切线方程为y=±2x﹣4．
（2）设A（x1，y1），C（x2，y2）．
由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0．
因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1．
点A，C的坐标满足方程组，
得x2﹣4kx﹣4=0，
由根与系数的关系知，
|AC|==4（1+k2），
因为AC⊥BD，所以BD的斜率为﹣，从而BD的方程为y=﹣x+1．
同理可求得|BD|=4（1+），
S ABCD=|AC||BD|==8（2+k2+）≥32．
当k=1时，等号成立．
所以，四边形ABCD面积的最小值为32．
【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线相切的条件，以及直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查基本不等式的运用，属于中档题．。