中考数学专题03代数之方程组问题含解析试题

专题03 代数之方程〔组〕问题
单位：乙州丁厂七市润芝学校
时间：2022年4月12日
创编者：阳芡明
中考压轴题中方程〔组〕问题，包括方程〔组〕的应用问题，一元二次方程根的判别式和根与系数关系的应用问题，分式方程的增根问题，不定方程的应用问题。

一、方程〔组〕的应用问题：方程〔组〕的应用表现为列方程〔组〕，〔解应用题〕，中考压轴题中主要出如今选择和填空题中，它的重点和难点在于找出等量关系，列出方程求解。

1. 某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％〔即每100千克花生可加工成花生油50千克〕．如今种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的2
1．那么新品种花生亩产量的增长率为 A 、20％ B 、30% C 、50% D 、120%
【答案】A
【解析】
2. 在新农村建立中，某乡镇决定对一段长6000米的公路进展修建改造。

根据需要，该工程在实际施工时增加了施工人员，每天修建的公路比原方案增加了50%，结果提早4天完成任务。

设如今每天修建x 米，
那么下面所列方程中正确的选项是【 】。

A. ()6000150%60004x x +-= B. ()600060004x 150%x
-=+ C. ()600060004150%x x
-=- D. ()6000150%60004x x --= 【答案】A 。

【考点】方程的应用〔工程问题〕。

【分析】列方程式解题关键是找出等量关系，此题等量关系为：
3. “某幼儿园给小朋友分苹果，假设每个小朋友分3个那么剩1个；假设每个小朋友分4个那么少2个，问苹果有多少个？〞 假设设一共有x 个苹果，那么列出的方程是〔 〕
〔A 〕
〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕 【答案】C
2413-=+x x 2413+=-x x 4
231+=-x x 4231-=+x x
二、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用问题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用在中考压轴题中较多出现，特别与二次函数结合命题，这在后面专题中再详细表达，这里主要对根的判别式和根与系数的关系的直接应用进展命题。

4. 关于x 的方程()2m 1 x 4x 10+--=有实数根，那么m 的取值范围是【 】
A. m >–5
B. m ≥–5且m ≠–1
C. m >–5且m ≠–1
D. m ≥–5
【答案】D 。

【考点】一元二次方程根的判别式，分类思想的应用。

【分析】当m 1=-时，方程4x 10--=为一元一次方程，有一个实数根。

当m 1≠-时，方程()2m 1 x 4x 10+--=为一元二次方程，
∴()()()2=44m 110m 5∆--⋅+⋅-≥⇒≥-。

综上所述，关于x 的方程()2m 1 x 4x 10+--=有实数根，那么m 的取值范围是m 5≥-。

应选D 。

5. x 1、x 2是一元二次方程24mx 4mx m 10-++=的两个实数根。

〔1〕求m 的取值范围；
〔2〕是否存在实数m ，使()()12122x x x 2x 0--=成立？假设存在，求出m 的值；假设不存在，请说明理由。

【答案】〔1〕∵x 1、x 2是一元二次方程24mx 4mx m 10-++=的两个实数根， ∴224m 0m <0b 4ac 16m 44m m 116m 0≠⎧⇒⎨∆=-=-⨯+=-≥⎩
（）。

〔2〕∵x 1、x 2是一元二次方程24mx 4mx m 10-++=的两个实数根， ∴1212m 1x x 1x x 4m ++==
，。

∴()()()2222121211212212129m 1m 12x x x 2x 2x 4x x x x 2x 2x x 9x x 21924m 4m
++--=--+=+-=⋅-⋅=-（）。

假设()
9m 1204m +-=成立，解这个方程得，m 9=-。

∵9<0-，
∴存在实数m 9=-，使()()12122x x x 2x 0--=成立。

【考点】一元二次方程定义，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解分式方程，分类思想的应用。

三、分式方程的增根问题：分式方程的增根问题也是中考压轴题中常见的问题。

6. 关于x 的分式方程有增根，那么a= 。

【答案】1。

【解析】方程两边都乘以最简公分母〔x ＋2〕，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的最简公分母等于0求出方程有增根，然后代入求解即可得到a 的值：
方程两边都乘以〔x ＋2〕得，a －1=x ＋2。

∵分式方程有增根，∴x ＋2=0，即a －1=0，解得a=1。

四、不定方程的应用问题：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，就称这样的方程为不定方程。

a 1=1x 2-+
如x－y＝9就是不定方程。

这种方程的解是不确定的。

假如不加限制的话，它的解有无数个；假如附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。

中考压轴题中往往是附加一些限制条件的不定方程问题。

7.假期到了，组织19名女老师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供安排，假设每个房间都要住满，一共有几种安排方案〔〕
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
【答案】C。

【考点】二元一次方程的应用。

【分析】设住3人间的需要有x间，住2人间的需要有y间，那么根据题意得，3x+2y=19，∵2y是偶数，19是奇数，∴3x只能是奇数，即x必须是奇数。

间住2人间，第三种是：5间3人间，2间2人间。

应选C。

8.某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批价格分别为80元、60元的篮球和足球。

该校打算用1000元购置篮球和足球，问恰好用完1000元，并且篮球、足球都买有的购置方案有哪几种？
【答案】设恰好用完1000元，可购置篮球m个和购置足球n个，
【考点】二元一次方程的应用。