桃城区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

桃城区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4=5S 2
，则的值为（ ）
A ．﹣2或﹣1
B ．1或2
C ．±2或﹣1
D ．±1或2
2． 将函数)63sin(
2)(π+=x x f 的图象向左平移4
π
个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象， 则)(x g 的解析式为（ ）
A ．3)43sin(
2)(--=πx x g B ．3)43sin(2)(++=π
x x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)12
3sin(2)(--=π
x x g
【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 3． 如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个 圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．
π
1
B ．
π21 C ．π121- D ．π
21
41- 【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．
4． 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为 1的半圆，则其侧视图的面积是（ ）
D
A
B
C
O
A ．
B ．
C ．1
D ．
5． 如图，在正四棱锥S ﹣ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP ∥BD ；②EP ⊥AC ；③EP ⊥面SAC ；④EP ∥面SBD 中恒成立的为（ ）
A ．②④
B ．③④
C ．①②
D ．①③
6． 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． =0.08x+1.23
7． 已知命题p 和命题，若p q ∧为真命题，则下面结论正确的是（ ）
A ．p ⌝是真命题
B ．q ⌝是真命题
C ．p q ∨是真命题
D ．()()p q ⌝∨⌝是真命题
8． 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F 1MF 2=，则椭圆和双曲线的离
心率的倒数之和的最大值为（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．4
9． 若函数y=x 2+bx+3在[0，+∞）上是单调函数，则有（ ）
A ．b ≥0
B ．b ≤0
C ．b ＞0
D ．b ＜0
10．lgx ，lgy ，lgz 成等差数列是由y 2=zx 成立的（ ） A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．对于复数
,若集合具有性质“对任意,必有”,则当
时,等于 ( )
A1
B-1 C0 D
12．有以下四个命题：
①若=，则x=y ． ②若lgx 有意义，则x ＞0．
③若x=y ，则
=
．
④若x ＞y ，则 x 2＜y 2． 则是真命题的序号为（ ） A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
二、填空题
13．已知()f x 是定义在R 上函数，()f x '是()f x 的导数，给出结论如下： ①若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()x f x e -<的解集为(0,)+∞； ②若()()0f x f x '->，则(2015)(2014)f ef >； ③若()2()0xf x f x '+>，则1(2)4(2),n n f f n N +*<∈；
④若()
()0f x f x x
'+
>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ⑤若()()x
e x
f x f x x
'+=，且(1)f e =，则函数()f x 在(0,)+∞上递增．
其中所有正确结论的序号是 ．
14．若P （1，4）为抛物线C ：y 2=mx 上一点，则P 点到该抛物线的焦点F 的距离为|PF|= ． 15．若直线x ﹣y=1与直线（m+3）x+my ﹣8=0平行，则m= ． 16．曲线y=x 2与直线y=x 所围成图形的面积为 ．
17．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 1+3a 2，则公比q= ．
18．已知α为钝角，sin （+α）=，则sin （
﹣α）= ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、 2PF 构成等差数列． （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设经过2F 的直线m 与曲线C 交于P Q 、两点，若2
2
2
11PQ F P F Q =+，求直线m 的方程．
20．已知函数()x f x e x a =-+，21
()x g x x a e
=++，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，求的取值范围； （3）设1x ，2x 是函数()f x 的两个不同零点，求证：12
1x x e +<．
21．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，过点A 作⊙O 的切钱EP 交CB 的延长线于P ，己知∠PAB=25°． （1）若BC 是⊙O 的直径，求∠D 的大小；
（2）若∠DAE=25°，求证：DA 2
=DC •BP ．
22．求下列曲线的标准方程：
（1）与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为一条渐近线．求双曲线C的方程．
（2）焦点在直线3x﹣4y﹣12=0 的抛物线的标准方程．
23．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。

规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。

学生甲三轮考试通
过的概率分别为2
3，3
4
，4
5
，且各轮考核通过与否相互独立。

（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；
（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。

记学生甲得到教育基金的金额为X，求X的分布列和数学期望。

24．如图，在四棱锥中，等边所在的平面与正方形所在的平面互相垂直,为的中点，为的中点，且
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使线段与所在平面成角．若存在，求出的长,若不存在，请说明理由．
桃城区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：由题设知a1≠0，当q=1时，S4=4a1≠10a1=5S2；q=1不成立．
当q≠1时，S n
=，
由S4=5S2得1﹣q4=5（1﹣q2），（q2﹣4）（q2﹣1）=0，（q﹣2）（q+2）（q﹣1）（q+1）=0，解得q=﹣1或q=﹣2，或q=2．
==q，
∴=﹣1
或=±2．
故选：C．
【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用，利用条件求出等比数列的通项公式，以及对数的运算法则是解决本题的关键．
2．【答案】B
【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将)(x
f的图象向左平移
4
π
个单位得到函数)
4
(
π
+
x
f的图
象，再将)
4
(
π
+
x
f的图象向上平移3个单位得到函数3
)
4
(+
+
π
x
f的图象，因此=
)
(x
g3
)
4
(+
+
π
x
f
3
)
4
3
sin(
2
3
]
6
)
4
(
3
1
sin[
2+
+
=
+
+
+
=
π
π
πx
x.
3．【答案】C
【解析】设圆O的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC中研究问题，过两个半圆的交点分别
向OA，OC作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为1
2
-
π
，扇形
OAC的面积为π，所求概率为
π
π
π
1
2
1
1
2-
=
-
=
P．
4．【答案】B
【解析】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，
又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，
∴半圆锥的底面半径为1，高为，
即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，
故侧视图的面积是，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
5．【答案】A
【解析】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
在①中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，
不可能EP∥BD，因此不正确；
在②中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，
∴SO⊥AC．
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，
∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=M，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．
在③中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，
若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，
因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．
在④中：由②可知平面EMN∥平面SBD，
∴EP∥平面SBD，因此正确．
故选：A．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
6． 【答案】C
【解析】解：法一：
由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D 由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5）， 将x=4分别代入A 、B 、C ，其值依次为8.92、9.92、5，排除A 、B
法二：
因为回归直线方程一定过样本中心点，
将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C 满足，
故选C
【点评】本题提供的两种方法，其实原理都是一样的，都是运用了样本中心点的坐标满足回归直线方程．
7． 【答案】C 【解析】]
试题分析：由p q ∧为真命题得,p q 都是真命题．所以p ⌝是假命题；q ⌝是假命题；p q ∨是真命题；
()()p q ⌝∨⌝是假命题．故选C.
考点：命题真假判断． 8． 【答案】 C
【解析】解：设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|MF 1|=r 1，|MF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2 ∵∠F 1MF 2=
，
∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2
﹣2r 1r 2cos ，①
在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2
﹣3r 1r 2，
即=﹣1，②
在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12
+r 1r 2，
即=1﹣，③
联立②③得，
+
=4，
由柯西不等式得（1+）（+）≥（1×+×）2，
即（+）2≤×4=，
即+≤，
当且仅当e
1
=，e2=时取等号．即取得最大值且为．
故选C．
【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．9．【答案】A
【解析】解：抛物线f（x）=x2+bx+3开口向上，
以直线x=﹣为对称轴，
若函数y=x2+bx+3在[0，+∞）上单调递增函数，
则﹣≤0，解得：b≥0，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
10．【答案】A
【解析】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy=lgx•lgz，即y2=zx，∴充分性成立，
因为y2=zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，
故选：A．
【点评】本题主要考查了等差数列和函数的基本性质，以及充分必要行得证明，是高考的常考类型，同学们要加强练习，属于基础题．
11．【答案】B
【解析】由题意，可取，所以
12．【答案】A
【解析】解：①若=，则，则x=y，即①对；
②若lgx有意义，则x＞0，即②对；
③若x=y＞0，则=，若x=y＜0，则不成立，即③错；
④若x ＞y ＞0，则 x 2＞y 2，即④错． 故真命题的序号为①② 故选：A ．
二、填空题
13．【答案】②④⑤
【解析】解析：构造函数()()x g x e f x =，()[()()]0x g x e f x f x ''=+>，()g x 在R 上递增， ∴()x f x e -<()1x e f x ⇔<()(0)g x g ⇔<0x ⇔<，∴①错误；
构造函数()()x f x g x e =
，()()
()0x
f x f x
g x e
'-'=>，()g x 在R 上递增，∴(2015)(2014)g g >， ∴(2015)(2014)f ef >∴②正确；
构造函数2()()g x x f x =，2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+，当0x >时，()0g x '>，∴
1(2)(2)n n g g +>，∴1(2)4(2)n n f f +>，∴③错误；
由()()0f x f x x '+>得()()0xf x f x x '+>，即()()0xf x x
'>，∴函数()xf x 在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递
减，∴函数()xf x 的极小值为0(0)0f ⋅=，∴④正确；
由()()x e xf x f x x '+=得2
()()x e xf x f x x
-'=，设()()x
g x e xf x =-，则()()()x
g x e f x xf x ''=--(1)x x x e e e x x x
=-=-，当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，∴当
0x >时，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，∴⑤正确．
14．【答案】 5 ．
【解析】解：P （1，4）为抛物线C ：y 2
=mx 上一点，
即有42
=m ，即m=16， 抛物线的方程为y 2
=16x ，
焦点为（4，0）， 即有
|PF|==5．
故答案为：5．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查两点的距离公式，及运算能力，属于基础题．
15．【答案】
．
【解析】解：直线x﹣y=1的斜率为1，（m+3）x+my﹣8=0斜率为
两直线平行，则=1解得m=﹣．
故应填﹣．
16．【答案】．
【解析】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0 直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx
而∫01（x﹣x2）dx=（﹣）|01=﹣=
∴曲边梯形的面积是
故答案为：．
17．【答案】2．
【解析】解：设等比数列的公比为q，
由S3=a1+3a2，
当q=1时，上式显然不成立；
当q≠1时，得，
即q2﹣3q+2=0，解得：q=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了等比数列的前n项和，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．
18．【答案】﹣．
【解析】解：∵sin（+α）=，
∴cos（﹣α）=cos[﹣（+α）]
=sin（+α）=，
∵α为钝角，即＜α＜π，
∴＜﹣，
∴sin（﹣α）＜0，
∴sin（﹣α）=﹣
=﹣
=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值，注意不同角之间的关系，正确选择公式，运用平方关系时，必须注意角的范围，以确定函数值的符号．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力．
（II ）①若m 为直线1=x ，代入
13
42
2=+y x 得23±=y ，即)23 , 1(P ，)23 , 1(-Q
直接计算知29PQ =，2
25||||2121=+Q F P F ，222
11PQ F P
F Q ?，1=x 不符合题意 ； ②若直线m 的斜率为k ，直线m 的方程为(1)y k x =-
由⎪⎩
⎪⎨⎧-==+
)1(1342
2x k y y x 得0)124(8)43(2222=-+-+k x k x k 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2221438k k x x +=+，2
2214312
4k k x x +-=⋅
由222
11PQ F P F Q =+得，11
0F P FQ ? 即0)1)(1(2121=+++y y x x ，0)1()1()1)(1(2121=-⋅-+++x k x k x x
0)1())(1()1(2212212=+++-++k x x k x x k
代入得0438)1()143124)(1(2
22222=+⋅-+++-+k k k k k k ，即0972
=-k 解得773±=k ，直线m 的方程为)1(7
7
3-±=x y
20．【答案】（１）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；（２）1a >或0a <；（３）
证明见解析． 【解析】
试
题解析： （1）'()1x f x e =-．
令'()0f x >，得0x >，则()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；] 令'()0f x <，得0x <，则()f x 的单调递减区间为(,0)-∞． （2）记()()()F x f x g x =-，则2
1()2x
x F x e x a a e
=-
-+-， 1
'()2x x
F x e e =+
-．
∵1220x x e e +-≥=，∴'()0F x ≥， ∴函数()F x 为(,)-∞+∞上的增函数， ∴当[]0,2x ∈时，()F x 的最小值为2(0)F a a =-．
∵存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，
∴()F x 的最小值小于0，即2
0a a -<，解得1a >或0a <．1
（3）由（1）知，0x =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点，即最小值为(0)1f a =+， 则只有1a <-时，函数()f x 由两个零点，不妨设12x x <， 易知10x <，20x >，
∴1222()()()()f x f x f x f x -=--22
22()()x
x e x a e x a -=-+-++2222x x e e x -=--，
令()2x
x
h x e e
x -=--（0x ≥），
考点：导数与函数的单调性；转化与化归思想．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵EP与⊙O相切于点A，∴∠ACB=∠PAB=25°，又BC是⊙O的直径，∴∠ABC=65°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠D=180°，
∴∠D=115°．
证明：（2）∵∠DAE=25°，∴∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，
∴△ADC∽△PBA，∴，
又DA=BA，∴DA2=DC•BP．
22．【答案】
【解析】解：（1）由椭圆
+
=1，得a 2=8，b 2=4，
∴c 2=a 2﹣b 2
=4，则焦点坐标为F （2，0），
∵直线y=x 为双曲线的一条渐近线，
∴设双曲线方程为（λ＞0），
即
，则λ+3λ=4，λ=1．
∴双曲线方程为：；
（2）由3x ﹣4y ﹣12=0，得
，
∴直线在两坐标轴上的截距分别为（4，0），（0，﹣3）， ∴分别以（4，0），（0，﹣3）为焦点的抛物线方程为：
y 2=16x 或x 2=﹣12y ．
【点评】本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，对于（1）的求解，设出以直线为一条渐近线的双
曲线方程是关键，是中档题．
23．【答案】（1）2
5
（2）X 的分布列为
数学期望为11124700()0100020003000361053
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=-- 解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A ，则P （A ）＝2342
3455
⨯⨯= 所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为
2
5
-------------4分 （2）X 的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分
21(0)133P X ==-
=，231(1000)(1)346P X ==⨯-=，2341(2000)(1)34510P X ==⨯⨯-= 2342
(3000)3455P X ==⨯⨯=------------------9分
所以，X的分布列为
数学期望为11124700
E X=⨯+⨯+⨯+⨯=---------------------12分
()0100020003000
361053
24．【答案】
【解析】【知识点】空间的角利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直
【试题解析】（Ⅰ）是等边三角形，为的中点，
平面平面，是交线，平面
平面．
（Ⅱ）取的中点，底面是正方形，，两两垂直．分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
，，
设平面的法向量为，，
，，
平面的法向量即为平面的法向量．
由图形可知所求二面角为锐角，
(Ⅲ)设在线段上存在点，，
使线段与所在平面成角，
平面的法向量为，，
，解得，适合
在线段上存在点，当线段时，与所在平面成角．。