深圳平安里学校初中部选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试卷(有答案解析)

一、选择题
1．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）
A ．1122a b c -+
B ．a b c +-
C ．a b c -+
D ．1122a b c -+- 2．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝12
AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( )
A ．66
B ．33
C ．63
D ．23
3．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP 与13
PP 的夹角是（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．90
4．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ，则线段1A P 长度的最小值为（ ）
A ．2
B ．322
C ．3
D ．5
5．若直线l 的方向向量,1)2(,m x -=，平面α的法向量2,2(),4n -=-，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是( )
A ．1
B ．5
C ．﹣1
D ．﹣5 6．在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=
（ ）
A ．52
B ．2
C ．32
D ．116 7．已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（ ）
A ．[]0,4
B ．[]0,2
C ．[]1,4
D ．[]1,2
8．如图，在三棱柱11ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，侧棱垂直于底面，14,6AB AA ==.若E 是棱1BB 的中点，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（ ）
A 13
B 213
C 313
D 139．棱长为1的正四面体ABCD 中，点
E ，
F 分别是线段BC ，AD 上的点，且满足
13BE BC =，14
AF AD =，则AE CF ⋅=（ ） A ．1324- B ．12- C ．12 D ．1324
10．正四面体ABCD 的棱长为2，动点P 在以BC 为直径的球面上，则AP AD ⋅的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．4311．如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若2AB =1AC =，2BD =，则CD 的长为（ ）.
A ．2
B ．3
C ．23
D ．4 12．设向量(),,0u a b =，(),,1c d υ=，其中22221a b c d +=+=，则下列判断错误的是（ ）
A ．向量υ与z 轴正方向的夹角为定值（与c 、d 之值无关）
B ．u υ⋅的最大值为2
C ．u 与υ夹角的最大值为
34π D ．ad bc -的最大值为l
13．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，1CC 的中点，则直线1A E 与平面11B D F 所成角的正弦值是（ ）
A ．155
B ．1510
C ．5
D ．30
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
参考答案
二、填空题
14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为______
15．平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知底面四边形ABCD 为正方形，且113A AB A AD π∠=∠=
，其中，设1AB AD ==，1AA c =，体对角线12AC
=，则c 的值是______.
16．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13
，则正四棱柱的高为_____．
17．设空间任意一点O 和不共线三点A B C ，，，且点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++，若,,,P A B C 四点共面，则x y z ++=______． 18．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 是面ABCD 的中心，点P 在棱11C D 上移动，则OP 的最小值时，直线OP 与对角面11A ACC 所成的线面角正切值为__________．
19．已知向量()()2,1,3,1,2,1a b =-=-，若()a a b λ⊥-，则实数λ的值为______. 20．若(2,3,1)a =-，(2,0,3)b =，(0,2,2)c =，则()a b c ⋅+=_____
21．已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当0AP BP ⋅=取最小值时，点P 的坐标为__________．
22．在空间直角坐标系中， ()()()2,1,1,3,4,,2,7,1,A B C AB CB 若λ-⊥,则λ=____ 23．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC ⊥，AC BC ⊥，2AC BC ==，160C CB ∠=︒，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，则二面角1B B E D --的正切值_______
24．如图，在棱长为2的正方体中，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上，若P 为动点，Q 为动点，则PQ 的最小值为_____.
25．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上.若二面角1D EC D --的大小为4
π，则AE =__________．
26．如图所示，P ，Q 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，M 是PQ 靠近P 的三等分点，且OM xOA yOB zOC =++，则x y z ++=__．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
利用空间向量的加法和减法法则可得出BD 关于a 、b 、c 的表达式.
【详解】
()
11112222OD OA AD OA AC OA OC OA OA OC =+=+=+-=+， 因此，11112222
BD OD OB OA OB OC a b c =-=
-+=-+. 故选：A.
【点睛】 本题考查利用基底表示空间向量，考查计算能力，属于中等题.
2．C
解析：C
【解析】
如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a ，a,0)，F(a,0,0)，AG ＝(a ，a,0)，AC ＝(0,2a,2a)，BG ＝(a ，－a ，0)，BC ＝(0,0,2a)，
设平面AGC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1,1)，
由110
{0AG n AC n ⋅=⋅=⇒⇒111
{1x y ==-⇒n 1＝(1，－1,1)．
sinθ＝1
1BG n BG n ⋅⋅＝23a ⨯63
. 3．D
解析：D
【分析】
设向量12PP 与13PP 的夹角为θ，计算出向量12PP 与13
PP 的坐标，然后由1213
1213cos PP PP PP PP θ⋅=⋅计算出cos θ的值，可得出θ的值.
【详解】
设向量12PP 与13
PP 的夹角为θ， ()()()123,1,01,1,22,2,2PP =--=-，()()()130,1,31,1,21,2,1PP =--=-， 则12131213cos 0PP PP PP PP θ⋅=
=⋅，所以，90θ=，故选D.
【点睛】
本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题. 4．B
解析：B
【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z ，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段1A P 长度取最小值.
【详解】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，
()()()()12,0,0,1,2,0,0,2,1,2,0,2A E F A ，(1,2,0),(2,2,1)AE AF =-=-， 设平面AEF 的法向量(),,n x y z =，
则20
220n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-++=⎩，取1y =，得()2,1,2n =，
设(),2,,02,02P a c a c ≤≤≤≤，则()12,2,2A P a c =--，
∵1A P 平行于平面AEF ，
∴()()1222220A P n a c ⋅=-++-=，整理得3a c +=，
∴线段1A P 长度
2
22222139||(2)2(2)(2)4(1)222A P a c a a a ⎛⎫=-++-=-++-=-+ ⎪⎝⎭， 当且仅当32a c ==
时，线段1A P 长度取最小值322
. 故选：B.
【点睛】 本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
5．C
解析：C
【分析】
根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出x 的值.
【详解】
因为直线l ⊥平面α，所以//m n ， 所以12224
x -==--，所以1x =-. 故选：C.
【点睛】
本题考查根据直线与平面的位置关系求解参数，其中涉及到空间向量的共线计算，难度一般.已知直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若//l α则有a b ⊥，若l α⊥则有//a b .
6．A
解析：A
【分析】
根据空间向量的线性运算，得出AB BC AC AC CC CC →→
→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝，结合题意，即可求出11,2
y z ==
，从而得出x y z ++的值. 【详解】 解：由空间向量的线性运算，得AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭
'''⎝， 由题可知，2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，
则1,1,21x y z ===，所以11,2
y z ==， 151122
x y z ∴++=++
=. 故选：A.
【点睛】 本题考查空间向量的基本定理的应用，以及空间向量的线性运算，属于基础题. 7．B
解析：B
【分析】
利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →
-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围.
【详解】
设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，
2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →
→→∴⋅=-， 又P 在正方体表面上移动，
∴当P 为正方体顶点时，PO →
P 为内切球与正方体的切点时，PO →
最小，最小值为1，
[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2. 故选：B .
【点睛】
本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题.
8．A
解析：A
【分析】
以{},,a b c 为基底表示出11
,A E AC ，利用向量夹角公式计算出异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值.
【详解】
设1,,AB a AC b AA c
===，则{},,a b c 构成空间的一个基底， 111112
A E A
B B E a c =+=-， 11A
C AC CC b c =+=+， 111111cos ,||||A E AC A E AC A E AC ⋅〈〉=⋅1()21||2
a c
b
c a c b c ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭=-⋅+ ()
222112212a b b c a c c a c b c ⋅-⋅+⋅-=⎛⎫-⋅+ ⎪22222144cos
600062124a a c c b b c c ⨯⨯︒-+-⨯=-⋅+⋅
+⋅+
===. 所以异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为13.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查异面直线所成角的求法，属于中档题.
9．A
解析：A
【分析】
设AB a =，AC b =，AD c =，以这3个向量为空间中的基底，将AE CF ⋅转化为基底的数量积运算，即可得答案.
【详解】
设AB a =，AC b =，AD c =， 由题意可得121()333AE AB BE a b a a b =+=+-=+，14
CF c b =-， 则211334AE CF a b c b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212116
3123a c a b b c b =⋅-⋅+⋅- 11211111316232122324
=⨯-⨯+⨯-⨯=-. 故选：A.
【点睛】
本题考查空间向量基本定理的运用、数量积运算，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意基底思想的运用.
10．C
解析：C
【分析】
建立空间坐标系，设(),,P x y z ，求出AP AD ⋅关于,,x y z 的表达式，根据球的半径得出,,x y z 的取值范围，利用简单的线性规划得出答案.
【详解】
设BC 的中点为M ，以M 为原点建立如图所示的空间坐标系，
则)
326,3,0,033A D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，
设(),,P x y z ，则326,,
AP x y z ⎛
⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，2326,0,AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 23262AP AD x z ∴⋅=-+， P 在以M 为球心，以1为半径的球面上，
2221x y z ∴++=，
01y ≤≤，2201x z ≤+≤，
23262x z m +=， 232620x z m -+-=与单位圆221x z +=相切时，截距取得最小值，
2221232633m -=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0m =或4m =
∴AP AD ⋅的最大值为4.
故选：C
【点睛】
本题考查了空间向量的数量积以及简单的线性规划，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于难题.
11．B
解析：B
【分析】
由CD CA AB BD =++，两边平方后展开整理，即可求得2CD ，则CD 的长可求．
【详解】
解：CD CA AB BD =++，
∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，
CA AB ⊥，BD AB ⊥，
∴0CA AB =，0BD AB =，
()1||||cos 1801201212
CA BD CA BD =︒-︒=⨯⨯=．
∴2124219CD =+++⨯=，
||3CD ∴=，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．B
解析：B
【分析】
在A 中，取z 轴的正方向向量(0,0,t)t =，求出n 与t 的夹角即可判断命题正确；在B 中，计算u v ac bd ⋅=+，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C 中，利用数量积求出u 与v 的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D 中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确．
【详解】
解：由向量(,,0)u a b =，(,,1)v c d =，其中22221a b c d +=+=，知：
在A 中，设z 轴正方向的方向向量(0,0,),0z t t =>，
向量v 与z 轴正方向的夹角的余弦值：
2cos 452||||z v a z v t c α︒⋅===∴=⋅⋅， ∴向量v 与z 轴正方向的夹角为定值45°（与c ，d 之值无关），故A 正确；
在B 中，22222222
1222
a c
b d a b
c
d u v ac bd +++++⋅=+≤+==， 且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号，因此u v ⋅的最大值为1，故B 错误；
在C 中，由B 可得：||1,11u v u v ⋅≤∴-≤⋅≤，
2cos ,||||2u v u v u v a ⋅∴<>==≥=-⋅+， ∴u 与v 的夹角的最大值为34
π，故C 正确； 在D 中，22222222
1222
a d
b
c a b c
d ad bc +++++-≤+==， ∴ad −bc 的最大值为1．故D 正确．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是中档题．
13．D
【分析】
设正方体棱长为2，以1,,AD AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求得
1(0,1,2)A E =-和平面11B D F 的一个法向量为(1,1,2)n =，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
设正方体棱长为2，分别以1,,AD AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
则111(0,0,2),(0,1,0),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)A E B D F ，
所以1111(0,1
,2),(2,2,0),(2,0,1)A E B D B F =-=-=-.
设平面11B D F 的法向量为(,,)n x y z =，
则1110,0,n B D n B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,20,
x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，则1,2y z ==， 即平面11B D F 的一个法向量为(1,1,2)n =.
设直线1A E 与平面11B D F 所成角为θ， 则1130sin 30
n A E n A E θ⋅=
==⋅ 故选D.
【点睛】
本题主要考查了利用空间向量求解直线与平面所成的角，根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 二、填空题
14．3【分析】以为原点以分别为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系设根据则可得从而点在底面内的轨迹为一条线段从而可得答案【详解】以为原点以分别为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系则设则由则即则当时设所以点在底面内
【分析】
以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，设(),,0P x y ，根据11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，可得220x y +-=，从而点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF ,从而可得答案.
【详解】
以D 为原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系， 则()()()112,2,2,1,2,0,0,0,2B E D ，设(),,0P x y ，则02,02x y ≤≤≤≤
()12,2,2PB x y =--，()11,2,2ED =--
由11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，即()22240x y -+⨯-+=，则220x y +-= 当0x =时，1y =,设()0,1,0F
所以点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF , 所以()()
2221224548B P x y y y =-+-+=-+，则01y ≤≤ 又二次函数2548t y y =-+的对称轴为
25，当01y ≤≤时，当1y =时，1B P 有最大值3. 故答案为：3
【点睛】
关键点睛：本题考查根据垂直关系得出动点的轨迹从而求线段的长度的最值，解答的关键是建立坐标系，利用向量根据11B P D E ⊥，则110PB ED ⋅=，可得220x y +-=，从而点P 在底面ABCD 内的轨迹为一条线段AF ，可得01y ≤≤，从而可出答案，属于中档题.
15．【分析】根据平方得到计算得到答案【详解】故解得故答案为：【点睛】本题考查了平行六面体的棱长意在考查学生的计算能力和空间想象能力 解析：13【分析】
根据1
1AC AB AD AA =+-，平方得到2224c c +-=，计算得到答案. 【详解】
1
1AC AB AD AA =+-， 故22222
1
1111222AC AB AD AA AB AD AA
AB AD AA AB AD AA =+-=++
+⋅-⋅-⋅ 2224c c =+-=，解得1c =.
1.
【点睛】
本题考查了平行六面体的棱长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 16．4【分析】以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系设求出平面的一个法向量则则可以得到答案【详解】解：以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系设则故设平面的一个法向量为则 解析：4
【分析】 以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系, 设1DD a =，求出平面1ACD 的一个法向量n ，则11cos ,3
n CC <>=
，则可以得到答案. 【详解】
解：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设1DD a =，则(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，1(0,0,)D a ，故(2,2,0)=-AC ，1(2,0,)AD a =-，1(0,0, )CC a =，
设平面1ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则122020n AC x y n AD x az ⎧⋅=-+=⎨⋅
=-+=⎩
，可取21,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝
⎭， 故1112cos ,||||n
CC n CC n CC a ⋅<>===⋅， 又直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为
13， 13=，解得4a =． 故答案为：4．
【点睛】
本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题.
17．【分析】先根据不共线三点用平面向量基底表示;再根据平面向量基本定理表示求和即得结果【详解】因为四点共面三点不共线所以因为因为是任意一点故可不共面所以故故答案为：1【点睛】本题考查用基底表示向量以及平 解析：1
【分析】
先根据不共线三点A B C ，，，用平面向量基底AB AC ，表示PA ;再根据平面向量基本定理表示,,x y z ，求和即得结果.
【详解】
因为,,,P A B C 四点共面，三点A B C ，，不共线，
所以,,,m n R PA mAB nAC ∃∈=+
()(),(1)OA OP m OB OA n OC OA OP m n OA mOB nOC -=-+-∴=++--
因为OP xOA yOB zOC =++，
因为O 是任意一点，故,,OA OB OC 可不共面，所以1,,x m n y m z n =++=-=-， 故1x y z ++=.
故答案为：1
【点睛】
本题考查用基底表示向量以及平面向量基本定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 18．【分析】由题意以为坐标原点为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系求得以当即为中点时求得和平面的一个法向量为利用向量的夹角公式即可求解【详解】由题意以为坐标原点为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系则设则所以当即 解析：13
【分析】
由题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，求得以当1x =，即P 为11C D 中点时，求得(0,1,2)OP =和平面11A ACC 的一个法
向量为BD ，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
由题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，
则()1,1,0O ，
设()(),2,202P x x ≤≤．则2222(1)(12)(02)(1)
5OP x x =-+-+-=-+， 所以当1x =，即P 为11C D 中点时，OP 取最小值5，
此时点(1,2,2)P ，所以(0,1,2)OP =,
又由BD ⊥平面11A ACC ，且(2,2,0)BD =-,
即平面11A ACC 的一个法向量为(2,2,0)BD =-，
设OP 与平面11A ACC 所成的角为θ，
由线面角的公式可得sin cos ,21010
OP BD
OP BD OP BD θ⋅====⋅, 因为(0,)2πθ∈，由三角函数的基本关系式，可得1tan 3
θ=.
【点睛】
本题主要考查了空间向量在空间角的求解中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，确定出点P 的位置，再利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19．2【分析】由题意知向量所以由空间向量的坐标运算即可求解【详解】由题意知向量所以又由解得【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算及空间向量的数量积的运算其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式准确运算 解析：2
【分析】
由题意知，向量()a a b λ⊥-，所以()
0a a b λ⋅-=，由空间向量的坐标运算，即可求
解．
【详解】
由题意知，向量()a a b λ⊥-，所以()
0a a b λ⋅-=，
又由()()()()2
22222132112311470a a b a a b λλλλ⎛⎫⎡⎤⋅-=-⋅=-++--⨯-+⨯+⨯=-= ⎪⎣⎦⎝
⎭， 解得2λ=．
【点睛】
本题主要考查了空间向量的坐标运算，及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 20．3【分析】根据向量加法以及向量数量积的坐标表示得结果【详解】【点睛】本题考查空间向量加法与数量积考查基本求解能力属于基础题
解析：3
【分析】
根据向量加法以及向量数量积的坐标表示得结果.
【详解】
()
()() 2,3,12,2,5465 3.a b c ⋅+=-⋅=-+=，
【点睛】
本题考查空间向量加法与数量积，考查基本求解能力. 属于基础题. 21．(00)【分析】设P(x00)求出·＝x(x －1)＋2＝(x －)2＋再利用二次函数求出函数的最小值和此时点P 的坐标【详解】设P(x00)则＝(x －1－20)＝(x －11)·＝x(x －1)＋2＝(x －
解析：(
12
，0,0) 【分析】 设P (x,0,0)，求出
·＝x (x －1)＋2＝(x －)2＋，再利用二次函数求出函数的最小值和此
时点P 的坐标.
【详解】
设P (x,0,0)，则＝(x －1，－2,0)，＝(x ，－1,1)， ·＝x (x －1)＋2＝(x －)2＋，
∴当x ＝时，
·取最小值，此时点P 的坐标为(，0,0)． 故答案为(
12
，0,0) 【点睛】
(1)本题主要考查空间向量的坐标表示和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 111222121212(,,),(,,),a x y z b x y z a b x x y y z z ==⋅=++. 22．【分析】利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题然后利用向量的数量积坐标运算计算的值即可【详解】又即解得故答案为
【点睛】本题主要考查空间向量的应用向量垂直的充分必要条件等知识意在考 解析：3±
【分析】
利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题，然后利用向量的数量积坐标运算计算λ的值即可.
【详解】
()()()2,1,1,3,4,,2,7,1A B C λ-， ∴AB ()1,3,1,λ=+CB ()1,3,1λ=--， 又,AB CB ⊥0AB CB ∴⋅=，
即()()()1133110λλ⨯+⨯-++-=，解得3λ=±，
故答案为3±.
【点睛】
本题主要考查空间向量的应用，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
23．【分析】根据题意先得到平面所以向量为平面的一个法向量；分别以为轴轴以垂直于平面过点的直线为轴建立空间直角坐标系根据题意求出平面的一个法向量根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值进而可求出结果【详解】
【分析】
根据题意，先得到AC ⊥平面11BCC B ，所以向量AC 为平面11BCC B 的一个法向量；分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，以垂直于平面ABC 过点C 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，根据题意求出平面1B ED 的一个法向量，根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值，进而可求出结果.
【详解】
因为AC BC ⊥，1AC CC ⊥，1BC CC C =，且1,BC CC ⊂平面11BCC B ， 所以AC ⊥平面11BCC B ，所以向量AC 为平面11BCC B 的一个法向量；
分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，以垂直于平面ABC 过点C 的直线为z 轴，
建立空间直角坐标系C xyz -，
因为2AC BC ==，160C CB ∠=︒，13CC =，所以()2,0,0A ，()0,0,0C ，()2,0,0B ，
则
13
2,,
2
D
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
，()
0,1,3
E
，1
733
0,,
2
B
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
，
所以
1
2,,
3
2
ED
⎛⎫
=--
⎪
⎪
⎝⎭
，1
5
0,,
2
3
EB
⎛⎫
= ⎪
⎪
⎝⎭
，()
2,0,0
AC=-
设平面
1
B ED的一个法向量为()
,,
m x y z
=，
则
1
m ED
m EB
⎧⊥
⎪
⎨
⊥
⎪⎩
，即
1
13
20
22
53
2
m ED x y z
m EB y z
⎧
⋅=--=
⎪⎪
⎨
⎪⋅=+=
⎪⎩
，
解
3
5
3
x z
y z
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，令5
z=，则()
3,3,5
m=-，
所以
233 cos,
4332531
AC m
AC m
AC m
⋅-
<>===-
⨯++，
由图像可得，二面角1
B B E D
--为锐角，记为θ，
所以co
3
cos
1
s,
3
AC m
θ>=
<
=，
因此
328
sin1
3131
θ=-=，
所以
sin28221
tan
cos3
3
θ
θ
θ
===.
故答案为：221. 【点睛】 本题主要考查求二面角的正切值，根据向量的方法求解即可，属于常考题型.
24．【分析】建立空间直角坐标系利用三点共线设出点P(λλ2﹣λ)0≤λ≤2以及Q(02μ)0≤μ≤2根据两点间的距离公式以及配方法即可求解【详解】建立如图所示空间直角坐标系设P(λλ2﹣λ)Q(02μ) 解析：2
【分析】
建立空间直角坐标系，利用,,A B P 三点共线设出点P (λ，λ，2﹣λ)，0≤λ≤2，以及Q (0，2，μ)，0≤μ≤2，根据两点间的距离公式，以及配方法，即可求解.
【详解】
建立如图所示空间直角坐标系，设P (λ，λ，2﹣λ)，
Q (0，2，μ)(0≤λ≤2且0≤μ≤2)，
可得PQ =22222(2)(2)2(1)(2)2λλλμλλμ+-+--=-+--+，
∵2(λ﹣1)2≥0，(2﹣λ﹣μ)2≥0，∴2(λ﹣1)2+(2﹣λ﹣μ)2+2≥2，
当且仅当λ﹣1=2﹣λ﹣μ=0时，等号成立，此时λ=μ=1，
∴当且仅当P ､Q 分别为AB ､CD 的中点时，
PQ 的最小值为2.
故答案为:2.
【点睛】
本题考查空间向量法求两点间的距离，将动点用坐标表示是解题的关键，考查配方法求最值，属于中档题.
25．【解析】分析：以D 为原点建立空间直角坐标系设再求出平面和平面的法向量利用法向量所成的角表示出二面角的平面角解方程即可得出答案详解：以D 为原点以为轴的正方向建立空间直角坐标系设平面的法向量为由题可知平 解析：23
【解析】
分析：以D 为原点，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，再求出平面AECD 和平面1D EC 的法向量，利用法向量所成的角表示出二面角的平面角，解方程即可得出答案. 详解：以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设
(02)AE λλ=≤≤，平面1D EC 的法向量为(,,)m x y z =
由题可知，1(0,0,1)D ，(0,2,0)C ，(1,,0)E λ，1
(0,2,1)DC =-，(1,2,0)CE λ=- 平面AECD 的一个法向量为z 轴，∴可取平面AECD 的法向量为(0,0,1)n = (,,)m x y z =为平面
1D EC 的法向量，
∴120(2)0
m D C y z m CE x y λ⎧⋅=-=⎨⋅=+-=⎩ 令1y =，则(2,1,2)m λ=- 二面角1D EC D --的大小为4π ∴cos 4m n
m n π
⋅=⋅，即 2222(2)12λ=-++ 解得 23λ=-，23λ=+（舍去）
∴23AE =- 故答案为23-
点睛：空间向量法求二面角
（1）如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．
(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=(或12,n n π-)．
26．【分析】用向量表示就能找到的值进而算出答案【详解】解：因为分别是四面体的边的中点是靠近的三等分点所以所以故答案为：【点睛】本题考查空间向量的表示考查空间向量加法法则等基础知识考查运算求解能力考查数形
解析：23
【分析】
用向量OA ，OB ，OC 表示OM ，就能找到x ，y ，z 的值，进而算出答案．
【详解】
解：因为P ，Q 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，M 是PQ 靠近P 的三等分点， 所以1111()2323
OM OP PM OA PQ OA PA AB BQ =+=+=+++， 1111()2322
OA OA OB OA BC =++-+， 1111(())2322
OA OA OB OA OC OB =++-+-， 111366
OA OB OC =++， 所以13x =，16
y =，16z =， 11123663
x y z ++=++=， 故答案为：
23
． 【点睛】 本题考查空间向量的表示，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．。