苏教版高中数学必修一高一上学期期末考前辅导.docx

高中数学学习材料
唐玲出品
2014-2015级高一上学期期末考前辅导
（数学） 2015.2
一．集合类：
常见考点：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 常考题型：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 注意点： ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 解题规范及技巧：__________________________________________________________________ ________________________________________________________________________
1.已知集合{}|234,A x x x =<-<≤或{}
41≤-=x x B 求：（1）R C A ；（2）B A ⋃；（3）若{}|C x x a =>，且B
C B =，求a 的范围．
解：（1）{}|234R C A x x x =-≤≤>或 ………………………… 4分 （2）{}|35B x x =-≤≤ ………………………… 6分 {}
5≤=⋃x x B A ……………………… 9分 （3）C B ⊆ ………………………… 11分
3-<a ………………………… 14分
2.已知集合2
{|-3-40}A x ax x == 。

（1）若A ≠∅，求实数a 的取值范围 ；
（2）若{}=-1,4B ，且A B ⊆，求实数a 的取值范围 。

（1）当=0a 时，4{-}3
A =≠∅ 即=0a 符合题意； ……………………… 2分 当0a ≠时，有=9+160a ∆≥，解得9
-16
a ≥ 且 0a ≠ …………… 5分 综合得：9
-
16
a ≥ ………………………………………………… 7分 （2）由{}=-1,4A B ⊆知：
当=0a 时，4{-}3
A B =⊄，不合题意舍去； ……………………………… 8分
当0a ≠时，若
（1）A =∅ =9+16<0a ∆，即9
<-
16
a 时A =∅ 符合题意；………… 10分 （2）A={-1}3241a
a ⎧
-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩=>324a a ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,a 不存在 ……………… 11分
(3)A={4}38416a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩=>38
1
4a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,a 不存在…………………………… 12分
（4）A={-1，4}3344a
a ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩
=>11a a =⎧⎨=⎩, a=1…………………………… 13分
综合以上得：9
<-
16
a 或 =1a …………………………… 14分 二．向量
常见考点：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 常考题型：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 注意点： ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 解题规范及技巧：__________________________________________________________________ ________________________________________________________________________
1已知向量)cos ,1(),2,(sin θθ=-=b a 互相垂直，其中)2
,
0(π
θ∈.
(1)求θsin 和θcos 的值；(2)若2
0,1010)sin(π
ϕθϕ<<-=-，求ϕ的值. （1）sin 2cos 0a b θθ∙=-=，)2
,0(π
θ∈255sin ,cos 55θθ∴== （2）
0,02
2
π
π
ϕθ<<-
<-<
22
ππ
ϕθ∴-
<-<
，310cos()0,cos()10ϕθϕθ∴->-=
sin sin[()]ϕϕθθ=-+=sin()cos ϕθθ-+cos()sin ϕθθ-
=
22，4
πϕ∴= 2．如图，在四边形ABCD 中，(BC AD =∈λλR)，2,23AB AD CB CD ==-=, 且 △BCD 是以BC 为斜边的直角三角形. 求：(1)λ的值； (2)CB BA ⋅的值．
(1)因为BC AD =λ，所以//BC AD ，且BC AD =λ. -----------------------2分
A
B
C
D
因为2,AB AD == 所以2BC =λ.
又23CB CD -=，所以23BD =. -----------------------5分 作AH BD ⊥于H ，则H 为BD 的中点.在Rt △AHB 中，得3cos 2BH ABH AB ∠==，于是30.ABH ∠=
所以30
ADB DBC ∠=∠=.而90
BDC ∠=，所以cos30
BD BC =，即32
322
=
λ⋅，解得
2.λ=----------------10分
(2)由(1)知，
60
ABC ∠=，4CB =，所以CB 与BA 的夹角为120.故
cos1204CB BA CB BA ⋅=⋅=-. -----------------------14分
三．三角化简，求值，三角函数的图象及性质：
常见考点：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 常考题型：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 注意点： ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 解题规范及技巧：__________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 1.已知113cos ,cos()714ααβ=-=
，且02
βαπ
<<<.(1) 求tan2α的值；⑵ 求β的值. ⑴由1cos ,072ααπ=<<，得2
2143sin 1cos 177αα⎛⎫
=-=-= ⎪⎝⎭
, …………2分
∴sin 43
tan 743cos 7ααα=
=⨯=,………………………………………………………4分 于是22
2tan 24383
tan 21tan 47
1(43)ααα⨯=
==---.…………………………………………7分 ⑵由02βαπ<<<
，得02αβπ<-<,又∵0cos()14
αβ13
<-=， ∴2
21333sin()1cos ()11414αβαβ⎛⎫
-=--=-= ⎪⎝⎭
,………………………………11分
∴cos cos[(]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-
11343331
7147142=⨯+⨯=, ∴3
βπ
=. ………………………………………………………………………………14分
2.已知函数)22
)(2
cos()sin(cos 2cos 2sin )(2π
ϕπ
ϕπϕπϕ<
<-
+---=x x x f
在6
π
=
x 时取得最大值．（Ⅰ）求ϕ的值；
（Ⅱ）将函数)(x f y =图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数)(x g y =的图象，若)0,2
(,31)(π
αα-∈=
g ，求αcos 的值．
(1) (x)sin 2xcos (1cos 2x)sin sin f ϕϕϕ=-++sin(2x )ϕ=-
6
x π
=
在取得最大值，sin(
)13
π
ϕ-=
2(k Z)3
2
k π
π
ϕπ-=
+∈，2(k Z)6
k π
ϕπ=-
+∈2
2
π
π
ϕ-
<<
，6
π
ϕ∴=-
(x)sin(2x )6
f π
∴=+
（2）g(x)sin(x )6π
=+
1g()sin()63παα=+=，02πα-<<，366
πππ
α∴-<+< 22cos()63πα+= cos cos[()]cos()cos sin()sin 666666ππππππ
αααα∴=+-=+++
22311261**32326
+=+=
四．应用题：
常见考点：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 常考题型：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 注意点： ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 解题规范及技巧：__________________________________________________________________ ________________________________________________________________________
1. 为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示． （1）求月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式； （2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润＝销售额－生产成本－员工工资－其它费用），该公司可安排员工多少人？
（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？
4 2 1 40
60
80
x （元）
（万件） y O
第8题
2． 如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道FHE Rt ∆(，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H 是AB 的中点，,E F 分别落在线段
,BC AD 上.已知20AB =米，103AD =米，记BHE θ∠=.（1）试
将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数,并写出定义域；（2）若
sin cos 2θθ+=，求此时管道的长度L ；（3）问：当θ取何值时，
污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.
解：（1）
10cos EH θ=
，10
sin FH θ=
θθcos sin 10=
EF 由于10tan 103BE θ=⋅≤，10103tan AF θ=≤
3tan 33θ≤≤，
[,]63ππθ∈101010cos sin sin cos L θθθθ=++⋅ ， [,]63ππ
θ∈. (2) 2cos sin =+θθ时，
21
cos sin ==
θθ,)12(20+=L ;
（3）
101010cos sin sin cos L θθθθ=
++⋅=sin cos 1
10()sin cos θθθθ++⋅
设sin cos t θθ+= 则
21sin cos 2t θθ-⋅=由于[,]
63ππ
θ∈， 所以
31
sin cos 2sin()[,2]42t π
θθθ+=+=+∈
20
1L t =
-在31[,2]
2+内单调递减， 于是当
312t +=
时,63ππ
θθ==时 ，L 的最大值20(31)+米.
答：当
6π
θ=
或
3π
θ=
时所铺设的管道最短，为20(31)+米.
3.一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题： （1）求棒长L 关于α的函数关系式：()αL ；
（2）求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值．
解：（1）如图，ααsin 2,cos 2==
BC AB ()αααsin 2cos 2+=+==BC AB AC L ⎪⎭
⎫
⎝⎛<<20πα
（2）()()α
ααααcos sin sin cos 2+=
L
令⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=
+=4sin 2sin cos παααt ，因为40πα<<，所以(]
2,1∈t ，
则()2
1
21cos sin cos sin 22
-=-+=t αααα
t
t t t L 1221222-=-=
，当(]
2,1∈t 时，t t 1
-随着t 的增大而增大，2
2
α
A
B
C
2
2
α
所以⎥⎦
⎤
⎝⎛∈-22,
01t
t 所以[)+∞∈,4L 所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为4 ………15分
五．函数
常见考点：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 常考题型：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 注意点： ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 解题规范及技巧：__________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 1、已知函数()2a f x x x
=+
， （1）判断()x f 的奇偶性并说明理由；
（2）当16a =时，判断()x f 在(]0,2x ∈上的单调性并用定义证明；
（3）当16a =时，若对任意(0,)x ∈+∞，不等式()19f x m m >--+恒成立，求实数m 的取值范围. 解：（1）当0=a 时，()2
,(0)f x x x =≠为偶函数； …………………2分
当0≠a 时，()11f a =+,()11f a -=-,
故()()11f f -≠且()()11f f -≠-，所以()x f 无奇偶性. 综上得：当0=a 时，()x f 为偶函数；当0≠a 时，()x f 无奇偶性. …………………5分 （2）()216f x x x
=+，
任取1202x x <<≤，则()()221212121616f x f x x x x x -=+--()12121212
16x x x x x x x x -=+-⎡⎤⎣⎦， ∵1202x x <<≤∴0,02121><-x x x x ，()121216x x x x +<，
∴()()120f x f x ->，所以()x f 在区间(]0,2上递减. …………………9分 （3）由题意得()min 19f x m m >--+，
由（2）知()x f 在区间(]0,2上是递减，同理可得()x f 在区间[)2,+∞上递增，所以()()min 212f x f ==， 所以1219m m >--+，即1120m m ----<，
令1(t 0)-=≥m t ，则2
20t t --<，解得12t -<<，故02t ≤<，即012m ≤
-<，即15m ≤<。

2、已知函数a x ax x f 21)(2++-=（a 是常数且R a ∈）
（1）若函数)(x f 的一个零点是1，求a 的值；（2）求)(x f 在][2,1上的最小值)(a g ； （3）记{}
0)(<∈=x f R x A 若φ=A ，求实数a 的取值范围.
.解(1) 由题意知3
2022)1(=∴=+-=a a a f …………………2分
（2）][2,1,12)(2∈-+-=x a x ax x f
ⅰ 当0=a 时3)2()(-==f a g ………………3分
ⅱ 当 0<a 时，对称轴为021<=a
x 36)2()(-==a f a g
ⅲ 当0a >时抛物线开口向下，对称轴为12x a
= 若
1
12a
< 即12a >时，()(1)32g a f a ==-
若1122a ≤≤即11
42
a ≤≤时，11()()2124g a f a a a ==--
若1
22a
>即104a <<时，()(2)63g a f a ==- ………………7分
综上所述： 163,4111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<⎪⎪
⎪=--≤≤⎨
⎪
⎪
->⎪⎩
……………… 8分
（3）由题意知：不等式0)(<x f 无解 即 0212
≥++-a x ax 恒成立
即2
12++≥
x x a 对任意R x ∈恒成立
令1+=x t 则)(3
22t g t t t a =+-≥
对任意R t ∈恒成立 ………………12分
ⅰ 当0=t 时
0)0(=g ……………… 13分
ⅱ 当0>t 时 4
1
3)3()(max +=
=g t g （要具体展开计算） ………………14分 ⅲ 当0<t 时
4
1
3)3()(min -=
-=g t g （要具体展开计算） ………………15分 max )(t g a ≥∴ 即
4
1
3+≥
a ………………16分 3、已知函数2
()3f x x x x a =+-，其中a R ∈，
(1)当2a =时，把函数()f x 写成分段函数的形式；(2)当2a =时，求()f x 在区间[1,3]上的最值； (3)设0a ≠，函数()f x 在(m,n)上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围（用a 表示）．
解：（1）2=a 时，⎪⎩
⎪⎨⎧<+-≥-=-+=2,622
,64|2|3)(2
2
2
x x x x x x x x x x f ……………..4分 （2）结合图像，4)1(=f ，4)2(=f ，2
9)23
(,18)3(=
=f f 所以函数在区间]3,1[上最大值为18，最小值为4（也可写出单调区间，写出可能的最值点及最值）
（3）当0>a 时，函数的图像如右，要使得在开区间),(n m 有最大值又有最小值，则最小值一定在a x =处取得，
最大值在4
3a x =处取得；2)(a a f =，在区间),(a -∞内，函数值为2
a 时2a x =，所以432a m a <≤；89)43(2a a f =，
而在区间),(+∞a 内函数值为8
92
a 时a x 8333+=，所以a n a 83
33+≤
<……..12分 当a <0时，函数的图像如右，要使得在开区间),(n m 有最大值又有最小值，
则最大值一定在a x =处取得，最小值在8
3a
x =
处取得，2)(a a f =，在),(+∞a 内，函数值为2a 时4
-a x =，所以
4
83a a n -≤<；216983a a f -=⎪⎭⎫
⎝⎛，
在),(a -∞内函数值为2
169a -
时，a x 8
636+=，所以a m a <≤+8
6
36…15分 综上所述，0>a 时，432a m a <≤，a n a 8
333+≤<；
a < 0时，a m a <≤+8
6
36，483a a n -≤<．。