8.7方向导数与梯度

对于三元函数u=f(x, y, z), 它在空间一点P(x, y, z) 沿着方向L的方向导数, 可定义为:
f lim f ( x x, y y, z z) f ( x, y, z) ,
l 0
其中
(x)2 (y)2 (z)2
设方向L的方向角为, , , 则 x cos, y cos , z cos ,
所得曲线
zz
f c
(
x,
y)
在xoy面上的投影曲线称为等高
线, 如图.
y f ( x, y) c2
等高线的方程为f(x, y)=c,
gradf ( x, y)
则其切线斜率为:
P
dy f f . dx x y 所以, 梯度为等高线上的 o 法向量.
f (x, y) c f ( x, y) c1 等高线
0,
解得
dy b2 x dx a2 y
故, 切线斜率为:
dy dx
(
a, 2
b) 2
b a
从而, 法线斜率为: tan a .
b
内法线方向的方向余弦为:
cos b
cos a
a2 b2
a2 b2
而由
z
1
(
x2 a2
y2 b2
)
得:
z x
2x a2
,
z y
2y b2
.
z x
( a,b ) 22
x
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数u=f(x, y, z)在空间区域G内具有一阶连续
偏导数, 则对于每一点P(x, y, z)G, 都可定义一个向量
(称为梯度): gradf
(
x,
y,
z)
f
i
f
j
f
k.
x y z
类似于二元函数, 此梯度也是一个向量, 其方向与
取得最大方向导数的方向一致, 其模为方向导数的最
记为 设
e
gradf ( x,
cos i sin
y)
f
i
x
j 是方向
f
j.
y
l上的单位向量,
由方
向导数公式知:
f f cos f sin (f , f ) (cos ,sin )
l
x gradf
(
x,
y y)
e
|
x gradf
y ( x,
y)
|
cos
,
其中 (gradf ( x, y),e)
梯度的方向是函数f(x, y)在该点增长最快的方向.
思考题
讨论函数 z f ( x, y) x2 y2 在点(0, 0)处的偏导 数是否存在? 方向导数是否存在?
思考题解答
z x
(0,0)
lim
x0
f (x,0) x
f (0,0)
lim | x |. x0 x
同理:
z y
(0,0)
lim | y |.
6; 14
u y P z
8y 6x2 8y2 P
8; 14
u z P
6x2 8y2 z2
14.
P
故 u (u cos u cos u cos )
n P x
y
z
P
6 2 8 3 14 1 11.
14 14 14 14 14 14 7
例3: 求函数f(x, y)=x2–xy+y2在点(1, 1)沿与x轴方 向夹角为的方向射线 l 的方向导数. 并问在怎样的方
向上此方向导数有(1)最大值; (2)最小值; (3)等于零？
解: 由方向导数的计算公式知:
f l
|(1,1)
fx (1, 1)cos
f y (1, 1)sin
(2 x y) (1,1) cos (2 y x) (1,1) sin
cos sin 2 sin( ),
4
故:
(1)
当
4
到点Q(2, –1)的方向的方向导数.
转角解 :这里.方向 l 即为PQ=(1, –1),故x轴到方向 l 的
而
z x
4 |(1,0)
e2y
|(1,0)
1;
z y
|(1,0)
2 xe2 y
|(1,0)
2,
所求方向导数 z cos( ) 2sin( ) 2 .
l
4
4
2
推广可得三元函数方向导数的定义
l ( x0 , y0 ) t0
t
依定 义, 函数z=f(x, y)在点P沿着x轴正向i =(1, 0), y
轴正向 j=(0, 1)的方向导数分别为 fx, fy. 沿着x轴负向,
y轴负向的方向导数分别为–fx, –fy.
定理: 如果函数z=f(x, y)在点P(x, y)是可微分的,那
么函数在该点沿任意方向 l 的方向导数都存在, 且有,
2, a
z y
( a,b ) 22
2. b
z z cos z cos
l x
y
2 ( b ) ( 2)(
a
a2 b2
b
1 2(a2 b2 ) ab
a) a2 b2
三、小结 的区别.
2. 梯度的概念
注意梯度是一个向量.
3.方向导数与梯度的关系
f f cos f sin
l x
y
其中为x轴到方向 l 的转角.
证明: 由于函数z=f(x, y)在点P(x, y)可微, 则函数
z=f(x, y)在点P(x, y)处沿 l 方向的增量可表示为:
f ( x t cos , y t sin ) f ( x, y) f t cos f t sin o( )
| PP | (t cos )2 (t sin )2 t.
且 z f ( x t cos , y t sin ) f ( x, y),
考虑 z , 当P沿着 l 趋于P 时,
t lim
f(x
t cos ,
y
t sin )
f (x,
y)
t 0
t
是否存在?
定义: 如果函数z=f(x, y)在点P(x0, y0)处的增量
f(x0+tcos, y0+tsin)–f(x0, y0) 与P到P(x0+tcos, y0+tsin)的距离 t 之比, 当P沿着 l
趋向与P(即 t →0+)时的极限存在, 则称此极限为函数
z=f(x, y)在点P(x0, y0)处沿方向 l 的方向导数. 记为:
f
lim f ( x0 t cos , y0 t sin ) f ( x0, y0 ) .
在
P0
(
3 2
,
1 2
,0)
处梯度为0.
例5:
求函数
z
1
(
x2 a2
y2 b2
) 在点(
a, 2
b )处沿曲线 2
x2 a2
y2 b2
1
的内法线方向的方向导数.
解:
首先, 要求出从 x 轴正向沿逆
时针转到内法线方向的转角. 在 x2 y2 1两边对x求导, 得
a2 b2
2x a2
2y b2
dy dx
函数z=f(x, y)在点P(x0, y0)的某一邻 y
l
域U(P)内有定义, 自点P引射线 l. 设x轴
P
正向到射线l 的转角为, 则 l 的参数方
t sin
程为:
l
:
x y
x0 y0
t t
cos sin
(t 0)
P t cos
o
x
并设P(x0+tcos, y0+tsin)为 l 上的另一点, 且PU(P).
大值.
例4: 求函数 u=x2+2y2+3z2+3x–2y 在点(1, 1, 2)处
的梯度,并问在 哪些点处梯度为零?
gr解ad:u由( x梯, y度, z)计算u公i 式 得u
j
u
k
x y z
(2x 3)i (4 y 2) j 6z k,
故
gradu(1, 1, 2) 5i 2 j 12k.
同理: 当函数在此点可微时, 那末函数在该点沿任 意方向L的方向导数都存在, 且有:
f f cos f cos f cos .
l x
y
z
例2: 设n是曲面 2x2+3y2+z2=6 在点P(1, 1, 1)处的
指向外侧的法向量,
求函数
u
1
(6 x 2
8
y2
1
)2
在此处沿
方向n 的方向导数.
y0
y
故两个偏导数均不存在.
沿任意方向 l ( x, y, z) 的方向导数,
z l
(0,0)
lim
0
f
(x,y)
f (0,0)
lim (x)2 (y)2 1 0 (x)2 (y)2
故, 沿任意方向的方向导数均存在且相等.
x
y
两边同除以 (即t ), 得到
f ( x t cos , y t sin ) f ( x, y) f cos f sin o( )
t
x
y
t
故有方向导数为:
f lim f ( x t cos , y t sin ) f ( x, y)
l t0
t
f cos f sin .
x
y
例1: 求函数 z = xe2y 在点P(1, 0)处沿从点P(1, 0)
当cos =1时, f 有最大值.
l
函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与
取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数
的最大值. 梯度的模为: | gradf ( x, y) | (f )2 (f )2 x y
当f 0 时, x轴到梯度的转角 的正切为:
x
tan f f .
y x
在几何上z=f(x, y)表示一个曲面, 被平面 z=c 所截,
z
解: 令 F(x, y, z)=2x2+3y2+z2–6, 则
故
Fx
P
4
x 4,
P n
(Fx
,
Fy Fy
P
,
6y Fz)
6,
P
Fz
(4, 6, 2),
P
2z
P
2,
n
42 62 22 2 14,
方向余弦为:
cos
2
,
cos 3 ,
cos 1 .
14
14
14
而
u x P z
6x 6x2 8y2 P
时,
方向导数达到最大值
2;
(2) 当 5 时, 方向导数达到最小值 2;
4
(3) 当 3 和 7 时, 方向导数等于0.
4
4
二、梯度的概念
问题: 函数在点P沿哪一方向增加的速度最快? 定义: 设函数z=f(x, y)在平面区域D内具有一阶连 续fx偏i 导数fy ,j ,则该对向于量每称一为点函P数(xz,=yf)(x,Dy,)都在可点定P(x出, y一)的个梯向度量,