高二数学下学期期中试题 7

咸祥中学2021-2021学年高二数学下学期期中试题
单位：乙州丁厂七市润芝学校 时间：2022年4月12日 创编者：阳芡明
本试题卷分选择题和非选择题两局部.满分是150分，考试时间是是120分钟.
选择题局部〔一共72分〕
一、选择题：本大题一一共18小题，每一小题4分，一共72分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 1.集合{}1,0,1M =-，{}0,1,3N =，那么M
N =〔 〕
.A {}0,1 .B {}1,0,3- .C {}1,0,1,3- .D {}1,0,1-
2.直线经过点()0,2和点()3,0，那么它的斜率为〔 〕
.
A 23 .
B 32 .
C 23- .
D 32
- 3.一条弦的长度等于圆的半径，那么这条弦所对的圆心角的弧度数是〔 〕
.
A 3π .
B 6
π
.C 1 .D π 4.假设等比数列{}n a 中，55a =，那么28a a ⋅等于〔 〕
.A 5 .B 10 .C 25 .D 50
4的大小关系是〔 〕
.A 4> .B 4 .C 4= .D 不能比拟大
小
6.函数2
4x y a
-=+〔0a >且1a ≠〕的图象必经过点〔 〕
.A ()0,1 .B ()1,1 .C ()2,4 .D ()2,5
7.ABC ∆中，4a =，5b =，45A ︒
=，那么此三角形的解有〔 〕
.A 一解 .B 两解 .C 一解或者两解 .D 无解
8.以下命题中成立的是〔 〕
.A 直线l 平行于平面α内的无数条直线，那么l ∥α； .B 假设直线a 在平面α外，那么a ∥α； .C 假设直线a ∥b ，直线b α⊂，那么a ∥α；
.D 假设直线a ∥b ，直线b α⊂，那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线.
9.两个圆22
1:2220C x y x y +++-=与圆222:4240C x y x y +---=的公切线有且仅有
〔 〕
.A 1条 .B 2条 .C 3条 .D 4条
10.sin14cos16sin 76cos74︒
︒
︒
︒
+的值是〔 〕
.
A .
B 12 .
C .
D 12
- 11.平面向量a 与b 的夹角为60︒
，()2,0a =，1b =，那么a b +=〔 〕
.A .B .C 4 .D 12
12.古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数.比方：
图1
10631 14916
图2
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数可以表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.以下数中既是三角形数又是正方形数的是〔 〕
.A 25 .B 36 .C 81 .D 91
13.椭圆的一个焦点为()1,0F ，离心率1
3
e =
，那么椭圆的HY 方程为〔 〕
.A 22123x y += .B 22132x y += .C 22198x y += .D 22
189
x y += 14. 设x R ∈，那么“0x <〞是“2x ≠〞的〔 〕
.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条
件
15. 一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔 〕
.
A 18+ .
B 20.
C 20+.
D 18+(第15题图)
1
1
12
俯视图
侧视图
正视图
2
16. 双曲线22
221y x a b
-=〔0a >，0b >〕，A ，B 是双曲线的两个顶点，P 是双曲线上的
一点，且与点B 在双曲线的同一支上，P 关于y 轴的对称点是Q ，假设直线AP ，BQ 的斜率分别是1k ，2k ，且124
3
k k ⋅=-
，那么双曲线的离心率是〔 〕 .
A .
B 94 .
C 3
2
.
D
17.函数()()2
2,2,
2,2,
x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩函数()()2g x b f x =--，其中b R ∈.假设函数()()y f x g x =-恰有4个零点，那么b 的取值范围是〔 〕
.A 7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ .B 7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ .C 70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ .D 7,24⎛⎫
⎪⎝⎭
18. 在三棱锥P ABC -中，90ABC ︒∠=，3BC AB =， P 在平面ABC 的射影O 为BC 的
中
点，D 是AC 上的动点，M ，N 是PC 的两个三等分点，COD θ∠=〔0θπ<<〕，记二面角N OD C --，M BD C --的平面角分别为α，β.假设αβ≤，那么θ的最大值为〔 〕
.
A 56π .
B 34π .
C 23π .
D 2
π
非选择题局部〔一共78分〕
二、填空题：本大题一一共4小题，每空5分，一共25分。

19.在等比数列{}n a 中，假设11
2
a =，44a =-，那么公比q = ；12345a a a a a ++++= ．
20.设02
π
θ<<
，向量()sin 2,cos a θθ=，(1,1)b =-，假设a b ⊥，那么tan θ= ．
21.椭圆2
214
x y +=，1F ，2F 分别为左、右焦点，A 为椭圆上一动点，以2AF 为直径
作圆Q ，圆Q 与圆2
2
4x y +=的位置关系为 ．
())
2ln
f x x x =，假设对任意x R ∈，不等式()()11f ax x f x x --≥--
恒成立，那么实数a 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题一一共3小题，一共53分。

解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
23.〔此题满分是18分〕函数()()
sin cos f x x x x =⋅.求
〔Ⅰ〕6f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； 〔Ⅱ〕函数()f x 的最小正周期；
〔Ⅲ〕()f x 在0,
4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的取值范围. 24.〔此题满分是17分〕抛物线2C y x =：的焦点是F ，直线l 的方程为1x =-，点(1,0)D .
〔Ⅰ〕写出点F 的坐标和准线的方程；
〔Ⅱ〕(4,2)P ，假设过D 的直线交抛物线C 于不同两点A ，B ，〔均与P 不重合〕，直线
PA ，PB 分别交直线l 于点M ，N .设DM ,DN 的斜率分别为1k ，2k .求证：12k k ⋅为定
值.
l
(第24题图)
N
M
P
D B
A
O
x
y
25. 〔此题满分是18分〕函数()12
-+=x ax x f ，其中a R ∈.
〔Ⅰ〕当0a =时，写出函数()f x 的单调区间；〔直接写出答案，不必写出证明过程〕 〔Ⅱ〕当1a =-时，求函数()f x 的零点；
〔Ⅲ〕当()4,0∈a 时，求函数()x f 在[]2,0上的最小值.
咸祥中学高二年级数学学科期中考试试卷答案
一、选择题: 本大题一一共18小题，每一小题4分，一共72分.在每一小题给出的四个选
项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
二、填空题：本大题一一共4小题，每空5分，一共25分。

19．___2
-______，___
31
2
______ 20．_____ 21．___相切______
22．__3
a≥或者1
a≤-_______
三、解答题：本大题一一共3小题，一共53分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
23.〔此题满分是18分〕解：〔Ⅰ〕由题意得
1
sin cos0
6666222
f
ππππ⎛
⎛⎫⎛⎫
=⋅-=⋅-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
；
〔Ⅱ〕因为()()2
sin cos sin cos
f x x x x x x x
=⋅=
11cos21
sin2sin2cos2sin2
2222232
x
x x x x
π
-⎛⎫
==+-=+-
⎪
⎝⎭
，所以函数()
f x的最小正周期为Tπ
=；
2021学年
第二学期
〔Ⅲ〕当0,
4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,132x π⎛
⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，那么 (
)12f x ⎡∈⎢⎣⎦，故()f x 在0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的取值范围是12⎡⎢⎣⎦.
24. 〔此题满分是17分〕解：〔Ⅰ〕由题意可得1,04F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，准线方程14x =-.
〔Ⅱ〕设),(11y x A ，),(22y x B 〔12y ≠±且22)y ≠±，
AB 的直线方程为1x my =+〔m 是实数〕
联立方程21
y x
x my ⎧=⎨=+⎩，得210y my --=，由韦达定理得：12y y m +=，121y y ⋅=-.
1211
21
42PA y k y y -=
=-+，直线PA
方程为112(4)2+y x y -=- 令1-=x ，得1121
(1)2y M y --+，
，同理2221(1)2y N y --+， 1212121212122121
2242()111
224(2)(2)4
D N
D M D M D N
y y y y y y y y y y y y k k x x x x y y ---
-
--++-++⋅=
⋅=
⋅=⋅=---++
25. 〔此题满分是18分〕解：〔Ⅰ〕当0a =时，()1f x x =-，易知函数()f x 的单调递增区间为[)1,+∞，单调递减区间为(),1-∞.
1
O
x
y
〔Ⅱ〕当1a =-时，()221,1
1,1
x x x f x x x x ⎧-+-≥⎪=⎨--+<⎪⎩，
〔ⅰ〕当1x ≥时，令()0f x =，即210x x -+-=，此方程0∆<，无实数解. 〔ⅱ〕当1x <时，令()0f x =，即210x x --+=
，解得12
x -±=
； 由〔ⅰ〕〔ⅱ〕，得()f x
的零点为
12-
，12
-. -1
1
O
x
y
〔Ⅲ〕()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<-+⎪⎭⎫ ⎝⎛
-≥--⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=-+=1,411211,411211,11,112
2
22
2x a a x a x a a x a x x ax x x ax x ax x f ①当121≥a ，即2
10≤<a 时，函数()x f y =在[)1,0上单调递减，在[]2,1上单调递增，所以
当1=x 时，函数()x f 取到最小值，且()a f x f ==)1(min .
②当1210<<
a ，即421<<a 时，函数()x f y =在⎥⎦⎤ ⎝⎛a 21,0上单调递减，在⎥⎦
⎤
⎝⎛2,21a 上单调
递增，故当a x 21=
时，函数()x f 取到最小值，且()a
a f x f 411)21(min -==. 综上所述，()min
1,02111,442
a a f x a a ⎧
<≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩.。