重庆市涪陵区2020年高二下数学期末检测试题含解析

重庆市涪陵区2020年高二下数学期末检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．点的直角坐标为，则点的极坐标可以为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
先判断点的位置，然后根据公式：，求出
，根据点的位置，求出. 【详解】
因为点的直角坐标为，所以点在第二象限.
，因为点在第二象限，
所以，故本题选D.
【点睛】
本题考查了点的直角坐标化为极坐标，关键是要知道点的具体位置.
2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于060，反证假设正确的是( ) A ．假设三内角都大于060 B ．假设三内角都不大于060 C ．假设三内角至多有一个大于060 D ．假设三内角至多有两个大于060
【答案】B 【解析】 【分析】
反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案. 【详解】
假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于060不成立，即假设三内角都不大于060，故本题选B. 【点睛】
本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键. 3．在圆C 中，弦AB 的长为4，则AB AC ⋅=（ ） A ．8 B ．-8
C ．4
D ．-4
【答案】A 【解析】
分析：根据平面向量的数量积的定义，老鹰圆的垂径定理，即可求得答案. 详解：如图所示，在圆C 中，过点C 作CD AB ⊥于D ，则D 为AB 的中点，
在Rt ACD ∆中，122
AD AB ==
，可得
2cos AD A AC AC ==， 所以2cos 48AB AC AB AC A AC AC
⋅=⋅=⨯⨯
=，故选A.
点睛：本题主要考查了平面向量的数量积的运算，其中解答中涉及到圆的性质，直角三角形中三角函数的定义和向量的数量积的公式等知识点的综合运用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
4．已知直线2
:2
l y x =与双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>分别交于点,A B ，若,A B 两点在x 轴上
的射影恰好是双曲线E 的两个焦点，则双曲线E 的离心率为（ ） A 2B 3C ．4
D 5
【答案】A 【解析】 【分析】
由直线2
:2
l y x =与双曲线2222:1x y E a b -=联立，可知x=c ±为其根，整理可得.
【详解】
解：由22
2212x y a b y x ⎧-=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
⇒22
2212x x a b -=． A ，B 两点在x 轴上的射影恰好是双曲线E 的两个焦点，∴22
2212c c
a b
-=．
⇒2
2
2
122(1)
e e e e -=⇒=-． 故选：A ． 【点睛】
本题考查双曲线的离心率，双曲线的有关性质和双曲线定义的应用，属于中档题．
5．将曲线y=sin2x 按照伸缩变换23x x
y y '=⎧⎨'=⎩
后得到的曲线方程为（ ）
A ．3sin 2y x ''=
B ．3sin y x =''
C ．1
3sin
2
y x ='' D ．1
sin 43
y x '=
' 【答案】B 【解析】 【分析】
根据23x x y y
'=⎧⎨'=⎩反解,x y ,代入2y sin x =即可求得结果.
【详解】
由伸缩变换23x x y y '=⎧⎨'=⎩可得:12
13x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'
=⎪⎩
代入曲线2y sin x =,可得: 13y sinx ''=,即3y sinx ''=.
故选:B . 【点睛】
本题考查曲线的伸缩变换,属基础题,难度容易. 6． “ln ln x y >”是“x y >”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
ln ln 0x y x y >⇔>>，
0x y x y >>⇒>，x y >⇒0x y >>，
∴ “ln ln x y >”是“x y >”的充分不必要条件． 故选：B ．
7．将个座位连成一排，安排个人就坐，恰有两个空位相邻的不同坐法有 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
12或67为空时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空时，第三个空位有3种选择；因此空位共有
，所以不同坐法有
,选B.
8．随机变量a 服从正态分布(
)2
1,N σ
，
且()010.3000P a <<=.已知0,1a a >≠，则函数1x
y a a
=+-图象不经过第二象限的概率为( ) A ．0.3750 B ．0.3000 C ．0.2500 D ．0.2000
【答案】C 【解析】
1x y a a =+-图象不经过第二象限，11,2a a ∴-≤-∴≥，随机变量ξ服从正态分布()2
1,N σ，且
()()()()1
010.3000,120.3000,210.60000.20002
P a P a P a <<=∴<<=∴>=-=，∴函数1x y a a =+-图象不经过第二象限的概率为
0.2
0.250010.2
=-，故选C.
9．若曲线x y e =在0x =处的切线，也是ln y x b =+的切线，则b =（ ） A ．1- B ．1 C ．2
D ．e
【答案】C 【解析】 【分析】
求出x
y e =的导数，得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线ln y x b =+相切的切点为（m ，n ），得
ln y x b =+的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得m ，n ，进而得到b 的值．
【详解】
函数x
y e =的导数为y '＝e x ，曲线x
y e =在x ＝0处的切线斜率为k ＝0e =1， 则曲线x y e =在x ＝0处的切线方程为y ﹣1＝x ； 函数ln y x b =+的导数为y '＝1x ，设切点为（m ，n ），则1
m
＝1，解得m ＝1，n ＝1， 即有1＝ln1+b ，解得b ＝1． 故选A ． 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，求切线方程，属于基础题．
10．已知变量x ，y 满足约束条件5021010x y x y x +-⎧⎪
-+⎨⎪-⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
【答案】C 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可得答案． 【详解】
作出可行域如图，
联立1
50x x y =⎧⎨
+-=⎩
，解得(1,4)A ，
化目标函数2z x y =+为22
x z
y =-+， 由图可知，当直线22
x z
y =-+过A 时，z 有最大值为9，故选C ． 【点睛】
本题主要考查简单的线性规划问题的解法。

11．随机变量X 的分布列如右表，若7
()6
E X =
，则()D X =（ ） X
1
2
P
16
a
b
A ．
12
B ．
36 C ．
6 D ．
6
【答案】B 【解析】
分析：根据题目条件中给出的分布列，可以知道a b 、和
16之间的关系，根据期望为()7
6
E X =，又可以得到一组关系，这样得到方程组，解方程组得到a b 、的值. 进而求得()D X . 详解：根据题意，11,6a b ++
=()17 0122,66E X a b a b =⨯+⨯+⨯=+= 解得3121
,,6263
a b ====
则()222
17171717012.
66263636D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故选B.
点睛：本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，属基础题.
12．设2220122(1)n n
n x x a a x a x a x =+++++⋯+，若0242n S a a a a ++⋯++=，则S 的值为（ ）
A ．2n
B ．21n
+
C ．312n -
D ．312
n +
【答案】D 【解析】 【分析】
分别取1,1x x ==-代入式子，相加计算得到答案. 【详解】
取1x =得：01223n
n a a a a +⋯+=++
取1x =-得：012231n a a a a a =--++⋯+ 两式相加得到231n S =+
31
2
n S +=故答案选D 【点睛】
本题考查了二项式定理，取特殊值是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题
13．5
x
⎛ ⎝
的展开式中，2
x 的系数为__________．
（用数字作答） 【答案】1 【解析】 【分析】
写出二项展开式的通项公式，令x 的指数为2，可求得2x 项是第几项，从而求得系数． 【详解】
展开式通项为3552
15
5((3)r r
r
r r r
r T C x C x --+==-，
令3
522
r -
=，则2r ，
∴2x 的系数为22
5(3)90C -=．
故答案为1． 【点睛】
本题考查二项式定理，考查二项展开式通项公式．解题时二项展开式的通项公式，然后令x 的指数为所求项的指数，从而可求得r ，得出结论．
14．设z 是复数，()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =______. 【答案】4 【解析】 【分析】 逐个计算n i 即可. 【详解】
由题,因为2
3
4
,1,,1i i i i i i ==-=-=,故()4a i =. 故答案为：4 【点睛】
本题主要考查新定义与复数的基本运算,属于基础题型.
15．函数()1
2
f x x =
-的定义域为________. 【答案】[
)()1
?22-⋃+∞，， 【解析】
1
2y x =-的定义域是,102x x +≥⎧⎨
≠⎩ ,故得到函数定义域为12x x ≥-⎧⎨≠⎩
取交集[
)()1,22,-⋃+∞， 故答案为[
)()1,22,-⋃+∞.
16．椭圆22
194
x y +=的焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=__________．
【答案】8 【解析】
分析：根据椭圆的方程，得到c =，由120PF PF ⋅=知12F PF △为直角三角形，在12Rt F PF 中利用勾股定理得|2212||20PF PF +=．再根据椭圆的定义得到1226PF PF a +== ，两
式联解可得128PF PF ⋅= ，由此即可得到Rt△F 1PF 2的面积为S=1．
详解：∵椭圆方程为22
194
x y +=，29a ∴=且24b =，可得c ==
∵12120,,
PF PF PF PF ⋅=∴⊥1290F PF ∠︒＝ ，∴22
12||20PF PF +=…① 根据椭圆的定义，得|1226PF PF a +==， ∴2
12()36PF PF += …②
②减去①，得12216PF PF ⋅=，可得128PF PF ⋅= 即答案为：8
点睛：本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求焦点三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数2()2ln f x x x =-，2()2g x x x a =-+++. （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）若函数()f x 与()g x 在区间(1,3)内恰有两个交点，求实数a 的取值范围. 【答案】 (1)(0,1];(2)(2ln35,2ln 24)--. 【解析】
分析：（1）求函数()f x 的导数，解()'0f x >便得增区间．
（2）要使函数()f x 与()g x 在区间()1,3内恰有两个交点，也就是让函数()f x g x -（）在[1，3]() 1,3内
有两个零点，令()()()2ln 2h x f x g x x x a =-=---，下面要做的就是考查()h x 在区间()1,3内最值情况，若有最大值，则限制最大值大于0，然后两个端点值都小于0，若有最小值，情况恰好相反． 详解： （1）()(
)2
21'x f x x
-=
，∵0x >，()0,1x ∈时，()'0f x >，所以函数()f x 的单调递增区间是(]0,1.
（2）令()()()2ln 2h x f x g x x x a =-=---，则()2'x
h x x
-=， ∴()1,2x ∈时，()'0h x >，()2,3x ∈时，()'0h x <， ∴()2h 是()h x 的极大值，也是()h x 在()1,3上的最大值. ∵函数()f x 与()g x 在区间()1,3内恰有两个交点，
∴函数()h x 在区间()1,3内有两个零点，则有()20h >，()10h <，()30h <.
所以有2240302350ln a a ln a -->⎧⎪
--<⎨⎪--<⎩
.
解得2ln352ln24a -<<-，所以a 的取值范围是()2ln35,2ln24--.
点睛：利用导数求函数的单调区间，这个不难掌握，注意做第二题()20h >，()10h <，()30h <.，这几个限制条件的得出，并掌握做这类题的方法． .
18．某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为()32
0x Q x x
-=
>，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为“年生产成本的150%”与“年广告费的50%”之和，而当年产销量相等：
（1）试将年利润y （万元）表示为年广告费x （万元）的函数； （2）求当年广告费投入多少万元时，企业利润最大? 【答案】（1）3299
(0)22
x y x x =--+>；（2）当年广告费投入8万元时，企业年利润最大 【解析】 【分析】
（1）用年销售额减去广告费用和投入成本得出利润； （2）利用基本不等式求出利润最大值及其对应的x 的值． 【详解】
解：（1）(323)150%50%(323)y Q x Q x =+⋅+⋅-+-
13232322
x x x ⎡⎤-⎛⎫=
+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 3299
(0)22x x x =--+>，
即3299
(0)22
x y x x =--+>
（2）3299329999832222
22x x x x ⎛⎫-
-+=-++≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当
322x x
=时，即8x =时取等号， 答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为83
2
万元． 【点睛】
本题考查了基本不等式在求函数最值中的应用，属于中档题．
19．某手机代工厂对生产线进行升级改造评估，随机抽取了生产线改造前、后100个生产班次的产量进行对比，改造前、后手机产量（单位：百部）的频率分布直方图如下：
（1）记A 表示事件：“改造前手机产量低于5000部”，视频率为概率，求事件A 的概率；
（2）填写下面22⨯列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为手机产量与生产线升级改造有关： 手机产量5000<部 手机产量5000≥部 改造前 改造后
（3）根据手机产量的频率分布直方图，求改造后手机产量的中位数的估计值（精确到0.01）.
参考公式：随机变量2K 的观测值计算公式：2
2
()
()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
临界值表：
20()P K k ≥ 0.100
0.050 0.010 0.001
0k
2.706
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）0.1（2）有99%的把握认为手机产量与生产线升级改造有关，详见解析（3）52.35（百部） 【解析】 【分析】
（1）由改造前的频率分布直方图计算前五个小长方形的面积即可得到答案．
（2）由频率分布直方图补充表格，计算随机变量2K 的观测值与临界值表中的数据比较即可得结论． （3）先估计中位数所在区间，然后利用中位数左右两侧长方形面积相等列式计算即可． 【详解】
解：（1）改造前手机产量低于5000部的频率为(0.0400.0340.0240.0140.012)50.62++++⨯=， 因此，事件A 的概率估计值为0.1．
（2）根据手机产量的频率分布直方图得列联表： 手机产量5000<部 手机产量5000≥部 改造前 1 38 改造后
34
66
()2
22006266343815.70510010096104
K ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯
由于15.705 6.635>，
故有99%的把握认为手机产量与生产线升级改造有关． （3）因为改造后手机产量的频率分布直方图中，
手机产量低于5000部的直方图面积为()0.0040.0200.04450.340.5++⨯=<， 手机产量低于5500部的直方图面积为()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++⨯=>， 所以中位数在50005500~之间，设改造后手机产量的中位数为x ， 则()0.34500.0680.5x +-⨯= 故改造后手机产量的中位数的估计值为0.50.34
50+52.350.068
-≈（百部）．
【点睛】
本题考查由频率分布直方图计算概率与中位数，独立性检验，属于简单题．
20．某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米。

要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个桶圆形状（如图）。

（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少米？
（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小，
并求出最小土方量？（已知：椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的面积公式为S ab π=，本题结果拱高h 和拱
宽l 精确到0.01米，土方量精确到1米3）
【答案】 (1)33.26；(2) 拱高约为6.36米、拱宽约为31.11米时，土方工程量最小．最小土方量为389立方米. 【解析】 【分析】
（1）根据题意，建立坐标系，可得P 的坐标并设出椭圆的方程，将6b h ==与点P 坐标代入椭圆方程，
得447
a =，依题意，可得2l a =，计算可得答案；（2）根据题意，设椭圆方程为22
221x y a b
+=，将(11,4.5)
代入方程可得222211 4.51a b +=，结合基本不等式可得22
22
11 4.5211 4.5
a b ab
⨯⨯+，分析可得当99ab 且2l a =，h b =时，9922
ab S ππ
=，进而分析可得答案．
【详解】
（1）如图建立直角坐标系，则点(11,4.5)P ，
椭圆方程为22
221x y a b
+=．
将6b h ==与点P 坐标代入椭圆方程， 得447a =
， 此时此时887
233.26l a ==
≈ 因此隧道的拱宽约为33.26米；
（2）由椭圆方程22
221x y a b
+=，
根据题意，将(11,4.5)代入方程可得22
2211 4.51a b
+=．
因为222211 4.5211 4.5a b ab
⨯⨯+
即99ab 且2l a =，h b =， 所以992
2
ab S ππ
=
当S 取最小值时，
有222211 4.512
a b ==， 得112a =，92
b =
此时222231.11l a ==≈， 6.36h b =≈
故当拱高约为6.36米、拱宽约为31.11米时，土方工程量最小． 最小土方量为
99
25003892
π⨯≈立方米.
【点睛】
本题考查椭圆的实际运用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题． 21．已知函数()()
2
2x
f x x x e =-.
（1）求曲线()y f x =在原点处的切线方程. （2）当2x ≤时，求函数()y f x =的零点个数;
【答案】（1）2y x =-（2）函数()y f x =零点个数为两个 【解析】 【分析】
（1）根据导数的几何意义，即可求解曲线()y f x =在原点处的切线方程； （2）由（1），求得函数的单调性，分类讨论，即可求解函数的零点个数． 【详解】
（1）由题意，函数()()
2
2x
f x x x e =-，则()(
)
2
2x
f x x e '=-，则()02f '=-，
从而曲线()y f x =在原点处的切线方程为2y x =-．
（2）由（1）知()()
22x
f x x e '=-，令()0f x '=得x =或x =
从而函数()y f x =单调增区间为(
,-∞，
)+∞单调减区间为(，
当x <()()
220x
f x x x e =->恒成立，所以在(,-∞上没有零点；
当x <<(
单调递减，且()00f =，存在唯一零点；
当x >
)
+∞递增，且()20f =，存在唯一零点．
综上，当2x ≤时，函数()y f x =零点个数为两个. 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，着重考查了分类讨论思想，推理与运算能力，属于基础题．
22．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收
益P 、种黄瓜的年收益Q 与投入a(单位：万元)满足P ＝80＋1
a 4
Q =＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)． (1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
【答案】（1）；（2）甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大, 且最大收益为282万元.
【解析】
试题分析：（1）当甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，此时直接计算
1
(50)804250150120277.54
f =+⨯+⨯+=即可；（2）列出总收益的函数式得
1
()422504
f x x x =-++，令，换元将函数转换为关于t 的二次函数，由二次函数
知识可求其最大值及相应的x 值.
试题解析： （1）∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元， ∴1
(50)804250150120277.54
f =+⨯+⨯+= （2）
，
依题得，即，
故.
令，则，
当
时，即
时，
，
∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元. 考点：1.函数建模；2.二次函数.。