一元二次方程(知识点+考点+题型总结)(K12教育文档)

一元二次方程(知识点+考点+题型总结)(word版可编辑修改)
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一元二次方程专题复习
考点一、概念
（1）定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．
就是一元二次方程。

(2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax
⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2"：
①该项系数不为“0”；
②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ )
A ()()12132+=+x x
B 02112=-+x x
C 02=++c bx ax
D 1222+=+x x x
变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 .
针对练习：
★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 .
★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程,
⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。

★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 . ★★★4、若方程nx m +x n —2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ) A.m=n=2 B 。

m=2，n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1
考点二、方程的解
⑴概念：使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解.
⑵应用:利用根的概念求代数式的值;
典型例题：
例1、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 . 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根,c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，
则m 的值为 。

针对练习：
★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 .
★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程31
1=-+x x 的解相同。

⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。

★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。

★★4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

★★5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）
A 1-
B 1
C c b -
D a -
★★★6、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。

考点三、解法
⑴方法：①直接开方法;②因式分解法；③配方法；④公式法
⑵关键点：降次
类型一、直接开方法：()m x m m x ±=⇒≥=,02
※※对于()m a x =+2，()()2
2n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法
典型例题:
例1、解方程:();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132=--x
例2、若()()2
221619+=-x x ,则x 的值为 .
针对练习：下列方程无解的是( ）
A 。

12322-=+x x B.()022=-x C 。

x x -=+132 D.092=+x
类型二、因式分解法:()()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或
※方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0"，
※方程形式：如()()2
2n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ，0222=++a ax x
典型例题:
例1、()()3532-=-x x x 的根为（ ）
A 25=x
B 3=x
C 3,2521==x x
D 5
2=x 例2、若()()044342=-+++y x y x ,则4x+y 的值为 。

变式1：()()=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。

变式2:若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。

变式3：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为 。

例3、方程062=-+x x 的解为（ ）
A.2321=-=，x x
B.2321-==，x
x C.3321-==，x x D 。

2221-==，x x
例4、解方程： ()04321322=++++x x
例5、已知023222=--y xy x ，则y
x y x -+的值为 。

变式：已知023222=--y xy x ，且0,0>>y x ,则y
x y x -+的值为 。

针对练习：
★1、下列说法中:
①方程02=++q px x 的二根为1x ，2x ，则))((212x x x x q px x --=++
② )4)(2(862--=-+-x x x x 。

③)3)(2(6522--=+-a a b ab a
④ ))()((22y x y x y x y x -++=-
⑤方程07)13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-+++x x
正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
★2、以71+与71-为根的一元二次方程是（）
A ．0622=--x x
B ．0622=+-x x
C ．0622=-+y y
D ．0622=++y y ★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：
★★4、若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ）
A 、—1或-2
B 、—1或2
C 、1或—2
D 、1或2
5、方程:2122=+x
x 的解是 . ★★★6、已知06622=--y xy x ，且0>x ,0>y ，求y
x y x --362的值。

★★★7、方程()012000199819992
=-⨯-x x 的较大根为r ，方程01200820072=+-x x 的较小根为s ，则s-r 的值为 。

类型三、配方法()002≠=++a c bx ax 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⇒ ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题:
例1、 试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

例2、
已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值.
例3、
已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。

例4、
分解因式:31242++x x
针对练习:
★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。

★★2、已知041122=---+x x x
x ，则=+x x 1 . ★★★3、若912322-+--=x x t ,则t 的最大值为 ,最小值为 。

★★★4、如果4122411-++-=--++b a c b a ，那么c b a 32-+的值为 。

类型四、公式法
⑴条件：()04,02≥-≠ac b a 且
⑵公式： a
ac b b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且 典型例题:
例1、选择适当方法解下列方程:
⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x
⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x
例2、在实数范围内分解因式:
（1）3222--x x ； （2）1842-+-x x 。

⑶22542y xy x --
说明：①对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，
一般情况要用求根公式,这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成
c bx ax ++2=))((21x x x x a --。

②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去。

类型五、 “降次思想"的应用
⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组.
典型例题：
例1、 已知0232=+-x x ，求代数式()1
1123-+--x x x 的值。

例2、如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。

例3、已知a 是一元二次方程0132=+-x x 的一根，求1
152223++--a a a a 的值。

例4、用两种不同的方法解方程组
⎩
⎨⎧=+-=-)2(.065)1(,6222y xy x y x 说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再
消元。

但都体现了一种共同的数学思想——化归思想,即把新问题转化归结为我们已 知的问题。

考点四、根的判别式ac b 42-
根的判别式的作用：
①定根的个数；
②求待定系数的值；
③应用于其它。

典型例题：
例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

例2、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是（ )
A.10≠≥且m m B 。

0≥m C 。

1≠m D.1>m
例3、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x
(1）求证：无论k 取何值时,方程总有实数根；
（2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长.
例4、已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.
例5、m 为何值时，方程组⎩
⎨⎧=+=+.3,6222y mx y x 有两个不同的实数解?有两个相同的实数解？
针对练习：
★1、当k 时,关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。

★2、当k 取何值时,多项式k x x 2432+-是一个完全平方式?这个完全平方式是什么？
★3、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 。

★★4、k 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+--+=.
0124,22y x y kx y
(1)有两组相等的实数解，并求此解；
（2）有两组不相等的实数解；
（3）没有实数解。

★
★★5、当k 取何值时,方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数？ 考点五、方程类问题中的“分类讨论"
典型例题：
例1、关于x 的方程()03212=-++mx x m
⑴有两个实数根,则m 为 ,
⑵只有一个根,则m 为 .
例2、 不解方程，判断关于x 的方程()3222-=+--k k x x 根的情况。

例3、如果关于x 的方程022=++kx x 及方程022=--k x x 均有实数根,问这两方程
是否有相同的根？若有,请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。

考点六、应用解答题
⑴“握手”问题；⑵“利率"问题；⑶“几何"问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表"类问题 典型例题：
1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？
2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人?
3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，
根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少31，第三年比第二年减少2
1，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利3
1，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少?(结果精确到0.1，61.313≈)
4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克,销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克，针对此回答：
（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润.
（2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，
销售单价应定为多少?
5、将一条长20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？
（2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不
能，请说明理由。

（3)两个正方形的面积之和最小为多少?
6、A 、B 两地间的路程为36千米.甲从A 地，乙从B 地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B 地，乙再走1小时36分到达A 地，求两人的速度.
考点七、根与系数的关系
⑴前提：对于02=++c bx ax 而言,当满足①0≠a 、②0≥∆时，才能用韦达定理。

⑵主要内容：a
c x x a b x x =-=+2121, ⑶应用：整体代入求值。

典型例题：
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ） A.3 B 。

3 C 。

6 D.6
例2、已知关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，
（1)求k 的取值范围;
（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在,求出k 的值；若不存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。

你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？
例4、已知b a ≠,0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a
变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则a
b b a +的值为 . 例5、已知βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .
针对练习：
1、解方程组⎩⎨⎧=+=+)
2(5)1(,322y x y x 2．已知472-=-a a ,472-=-b b )(b a ≠，求b
a a
b +的值。

3、已知21,x x 是方程092=--x x 的两实数根,求663722
231-++x x x 的值。