2021届高三总复习数学每日拔高练 第20练

2021届高三总复习数学每日拔高练 第20练
重难点剖析：
利用基本不等式求最值的方法：
利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形方法有拆、并、配.
（1）拆（裂项拆项）对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件.
（2）并（分组并项）目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值.
（3）配（配式配系数）有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值. 1.若3
3
1
(2)1log log a b ab +=+，则2a b +的最小值为( )
A.6
B.83
C.3
D.
163
2.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱,AB BC 的中点，则点1C 到平面1B EF 的距离等于( )
A.23
B.
22
3
23
D.
43
3.5
121x x ⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭的展开式中常数项为_______________.
4.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：
(1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95％的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
(3)以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？ 附：
2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
5.已知函数2
()ln (1)2
a f x x x a x =+
-+. (1)当0a >时，求()f x 在区间(0,1]上的最大值；
(2)若函数()()g x f x x =+有两个极值点()1212,x x x x <，求证：()()12ln 2
a
g x g x a -<
-.
答案及解析
1.答案：C
解析：3333log (2)1log (2)1log log (3)a b a b ab ab +=++=+=，23a b ab ∴+=，
且
120,0,3a b a b >>∴+=.1121222(2)1433b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫
∴+=++=+
++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
525233333b a a b ⎛⎫++≥+⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当b a
a b =，且123a b +=，即1a b ==时，等号成
立. 2.答案：D
解析：以1B 为坐标原点，分别以11111,,B C B A B B 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(2,0,0),(0,1,2),(1,0,2)B C E F . 设平面1B EF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，
则110,0,B E B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,
20.y z x z +=⎧⎨+=⎩
令1z =，得(2,2,1)=--n .
又
11(2,0,0)B C =，
∴点1C 到平面1B EF 的距离114
||
3
B C d ⋅=
=
n n ，故选D. 3.答案：161-
解析：5
121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示五个121x x ⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一
种是从五个121x x ⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭中分别抽取112,2,,,1x x x x -，则此时的常数项为
22
253C C 2(1)120⋅⋅⋅-=-；第二种情况是从五个121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭中都抽取1-，则此时的常数项为
5(1)1-=-；第三种情况是从五个121x x ⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭中分别抽取12,,1,1,1x x ---，则此时的常数项
为1113
54C C 2(1)40⋅⋅⋅-=-，故展开式中的常数项为120140161---=-.
4.答案：(1) ()1
18532055310725091301115135 5.41000
x =
⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=天 (2)根据题意，补充完整的列联表如下：
则()
2
2
65455535200
25
2.08312080100100
12
K ⨯-⨯⨯=
=
≈⨯⨯⨯， 经查表，得2 2.083 3.841K ≈<，所以没有 95% 的把握认为潜伏期与年龄有关. (3)由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为4002
10005
= 设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X 则()202022320,,555k k
k X
B P X k
C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，0,1,2,,20k =⋅⋅⋅
由()()()()11P X k P X k P X k P X k =≥=+⎧⎪⎨=≥=-⎪⎩得201191202020121120202323555523235555k k k k
k k k k k k
k k C C C C -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎩， 化简得()()()312202213k k k k +≥-⎧⎪⎨-≥⎪⎩
，解得374255k ≤≤，
又N k ∈，所以8k =，即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人. 5.答案：(1)由已知得()f x 的定义域为(0,)+∞， 1(1)(1)
()(1)'ax x f x ax a x x
--=
+-+=
， 当01a <≤时，
1
1,()f x a
≥在(0,1]上单调递增，()f x 的最大值为(1)12a f =--.
当1a >时，11,()f x a <在10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，在1,1a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，
()f x ∴的最大值为11ln 12f a a a ⎛⎫
=--- ⎪⎝⎭
.
综上，当01a <≤时，()f x 在区间(0,1]上的最大值为12
a
--， 当1a >时，()f x 在区间(0,1]上的最大值为1
ln 12a a
---. (2)2
()()ln ,()2
a g x f x x x x ax g x =+=+
-的定义域为(0,)+∞， 21'1
()ax ax g x ax a x x
-+=+-=
.
若()g x 有两个极值点()1212,x x x x <，则方程210ax ax -+=的根的判别式240a a ∆=->，且12121
1,0,4x x x x a a
+==
>∴>. 又2
121121
,x x x x x a <∴<=，即10x <<()()()2212111222111ln ln ln ln 222
a a a g x g x x x ax x x ax x ax ax -=+
---+=++-， 设()ln ln()
2a
h t t at at =++
-，其中1t x ⎛=∈ ⎝
，
2'()h t a t =
-，令)'(0h t =得2
t a
=.20a a
-=<， ()h t ∴在20,
a ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，在2a ⎛ ⎝上单调递减，
()h t ∴的最大值为22ln 2ln 2ln 22a a h a a a ⎛⎫
=-+-<- ⎪⎝⎭
，
从而()()12ln 2
a
g x g x a -<-成立.。