2021年辽宁省鞍山市中考数学模拟冲刺试卷(二)(附详解)

2021年辽宁省鞍山市中考数学模拟冲刺试卷（二）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.在四个数0，−2，−3，2中，最小的数是()
A. 0
B. −2
C. −3
D. 2
2.如图，已知AC//BD，∠1=30°，则∠2的度数为()
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 150°
3.下面的计算正确的是()
A. 3a−2a=1
B. a+2a2=3a3
C. −(a−b)=−a+b
D. 2(a+b)=2a+b
4.已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC=8，AB=6，
则线段CE的长度是()
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
5.某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如表：
零件个数(个)678
人数(人)152213
表中表示零件个数的数据中，众数、中位数分别是()
A. 7个，7个
B. 7个，6个
C. 22个，22个
D. 8个，6个
6.已知圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则这个圆锥的全面积是()
A. 60πcm2
B. 96πcm2
C. 132πcm2
D. 168πcm2
7.如图，菱形OABC的一条边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点
O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OA=2，∠C=120°，
则点B′的坐标为()
A. (√6,−√6)
B. (√6,√6)
C. (3,√3)
D. (3,−√3)
8.如图，边长为2的正方形ABCD中，点P从点A出发沿路线A→B→
C→D匀速运动至点D停止，已知点P的速度为1，运动时间为t，以P、
A、B为顶点的三角形面积为S，则S与t之间的函数图象可能是()
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
+√x−1的自变量x的取值范围是______．
9.函数y=1
x−3
10.如图，四边形ABCD是正方形，按如下步骤操作：①分
别以点A，D为圆心，以AD长为半径画弧，两弧交于点
P，连接AP，DP；②连接BP，CP，则∠BPC=______ ．
11.2020年12月9日世卫组织公布，全球新冠肺炎确诊病例超6810万例，请用科学记数
法表示6810万例为______ 例.
12.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥
AN于点N，且AB=10cm，MN=3cm，则AC的长为
______cm
13.若关于x的一元二次方程x2+2x−k=0有不相等实数根，则k的取值范围是
______ ．
14.如图，⊙O内切于Rt△ABC，切点分别为D、E、F，∠C=90°.已知∠AOC=120°，
则∠OAC=______°，∠B=______°.已知AC=4cm，BC=3cm，则△ABC的外接圆的半径为______cm，内切圆的半径为______cm．
15. 某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同
学共带图书27本.已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍，则第一组的人数为______ ． 16. 如图，在正方形ABCD 中，点H 为边AD 的中点，连接BH ，
作线段BH 的垂直平分线交边AB 于点E.交边BC 的延长线于点F.连接FH ，交边CD 于点G ，连接BD 交EF 于点M ，连接MG 、BG ，若CG =2，则△FGM 的周长是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分） 17. 计算题
(1)计算：(2
3)−2×3−1+(π−2018)0÷(1
3)−1 (2)先化简，再求值：(x −1−3x+1
)÷
x 2+4x+4x+1
，其中x =1
3．
18. 如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长
线于点F ．
(1)求证：△ADE≌△FCE ．
(2)若∠BAF =90°，BC =5，EF =3，求CD 的长．
19.我区的数学爱好者申请了一项省级课题--《中学学科核心素养理念下渗透数学美育
的研究》，为了了解学生对数学美的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按照“理解、了解、不太了解、不知道”四个类型，课题组绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下列问题：
(1)本次调查共抽取了多少名学生？并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，“理解”所占扇形的圆心角是多少度？
(3)我区七年级大约8000名学生，请估计“理解”和“了解”的共有学生多少名？
20.一个袋子中装有3个红球和两个黄球，它们除颜色外，其他都相同．
(1)求从袋中摸出一个球是红球的概率；
(2)将n个绿球(与红、黄球除颜色外，其他都相同)放入袋中摇均匀，从袋中随机摸
出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述的过程，共摸了500次，其中60次摸到红球．请通过计算估计n的值．
21.为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车
库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN//AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度=1：3，AD=9米，点C在DE上，CD=0.5米，CD是限高标志牌的高度(标志牌上写有：限高______米).如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？(结果精确到0.1米，参考数据：√2≈
1.41，√3≈1.73，√10≈3.16)
(m≠0)的图象交于22.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=m
x
二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−2,3)，点B的坐标为(4,n)．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不
存在，请说明理由．
23.如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径
.∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作直线l交CA
的延长线于点P，且∠ADP=∠BCD，过点A作AE⊥
CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
(1)求证：DP//AB；
(2)求证：PD是⊙O的切线；
(3)若AC=6，BC=8，求线段PD的长．
24.某水果批发商经销一种水果，进货价是12元/千克，如果销售价定为22元/千克，
每日可售出500千克；经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
(1)若要每天销售盈利恰好为6000元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为
多少元？
(2)当销售价是多少时，每天的盈利最多？最多是多少？
25.将等边三角形ABC的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点C
作CE垂直于直线BB′，垂足为E，连接CB′.取BC边的中点F，连接AF．
(1)如图1，当α=20°时，∠CB′E的度数为______ ，连接EF，可求出AB′
的值为______ ．
EF
(2)当0°<α<360°且α≠60°时，
①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不
成立，请说明理由；
②当A，E，F三点共线时，请直接写出的BB′
值.
BE
26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(4,0)，B两
点，与y轴交于点C(0,2)，对称轴x=1，与x轴交于点H．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直线y=kx+1(k≠0)与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q(点P在y轴左侧，
点Q在y轴右侧)，连接CP，CQ，若△CPQ的面积为√5，求点P，Q的坐标；
(3)在(2)的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线
段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为−3<−2<0<2，
所以在四个数0，−2，−3，2中，最小的数是−3．
故选：C．
根据有理数大小比较的规则可求解．
本题考查了有理数大小比较．根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小的原则解答．
2.【答案】C
【解析】解：∵AC//BD，
∴∠DBA=∠CAB，
∵∠2=∠1=30°，
故选：C．
首先根据两直线平行，内错角相等，即∠DBA=∠CAB，再根据相等的角的补角也相等，得出结论．
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
3.【答案】C
【解析】解：A、3a−2a=a，故A错误；
B、不是同类项不能合并，故B错误；
C、−(a−b)=−a+b，故C正确；
D、2(a+b)=2a+2b，故D错误．
故选：C．
依据合并同类项法则和去括号法则判断即可．
本题主要考查的是合并同类项法则和去括号，掌握合并同类项法则和去括号法则是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程，在Rt△CEF中，利用勾股定理找出关于a的一元二次方程是解题的关键．在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC=10，设BE=a，则CE=8−a，根据折叠的性质可得出BE=FE=a，AF=AB= 6，∠AFE=∠B=90°，进而可得出FC=4，在Rt△CEF中，利用勾股定理可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，将其代入8−a中即可得出线段CE的长度．【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴由勾股定理得：AC=10．
设BE=a，则CE=8−a，
根据翻折的性质可知，BE=FE=a，AF=AB=6，∠AFE=∠B=90°，
∴FC=10−6=4，
在Rt△CEF中，EF=a，CE=8−a，CF=4，
∴CE2=EF2+CF2，
即(8−a)2=a2+42，
解得：a=3，
∴CE=8−a=5．
故选C．
5.【答案】A
【解析】解：由表可知7个出现次数最多，所以众数为7个，
因为共有50个数据，
所以中位数为第25个和第26个数据的平均数，即中位数为7个．
故选：A．
根据众数和中位数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数．
本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6.【答案】B
×2π×6×10+π×62=60π+36π=【解析】解：根据题意，这个圆锥的全面积=1
2
96π(cm2).
故选：B．
由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可利用扇形的面积公式出圆锥的侧面积，然后把侧面积加上底面积得到它的全面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7.【答案】A
【解析】解：连接AC交OB于G，过点B作BE⊥OA于E，过点B′作B′F⊥OA于F，
∴∠BEO=∠B′FO=90°，
∵四边形OABC是菱形，
∠AOC，OG=BG，
∴OA//BC，∠AOB=1
2
∴∠AOC+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=30°，
OA=1，
∴AG=1
2
∴OG=√3AG=√3，
∴OB=2√3，
∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，
∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2√3，
∴∠B′OF =45°，
在Rt △B′OF 中，
OF =OB′⋅cos45°=2√3×
√22=√6，
∴B′F =√6，
∴点B′的坐标为：(√6,−√6).
故选：A ．
首先根据菱形的性质，即可求得∠AOB 的度数，求出OB 的长，又由将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，可求得∠B′OA 的度数，然后在Rt △B′OF 中，利用三角函数即可求得OF 与B′F 的长，则可得点B′的坐标．
此题考查了平行四边形的性质，旋转的性质以及直角三角形的性质与三角函数的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 8.【答案】C
【解析】解：①当点P 在AB 上运动时(0≤t ≤2)，
∵点P 、A 、B 在一条直线上，故S =0；
②当点P 在BC 上运动时(2<t ≤4)，见题干图，
S =12AB ×PB =12×2×(t −2)=t −2，为一次函数，
当t =4时，S =2；
③当点P 在CD 上运动时(4<t ≤6)，
同理可得：S =12×AB ×BC =12×2×2=2，为常数；
故选：C ．
分点P 在AB 上运动、点P 在BC 上运动、点P 在CD 上运动三种情况，逐次求出函数表达式，即可求解．
本题考查的是动点问题的函数图象，分类求出函数表达式是本题解题的关键． 9.【答案】x ≥1且x ≠3
【解析】解：由题意{x −3≠0x −1≥0
， ∴x ≥1且x ≠3，
故答案为∴x ≥1且x ≠3
根据分式、二次根式有意义的条件，构建不等式组即可解决问题；
本题考查函数的自变量的取值范围，解题的关键是熟练掌握分式、二次根式有意义的条件，学会根据不等式组解决问题．
10.【答案】150°
【解析】解：根据作图过程可知：
AD=AP=PD，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=∠ADP=∠APD=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB=AP，DP=DC，
∴∠ABP=∠APB=∠DPC=∠DCP=75°，
∴∠BPC=360°−60°−75°−75°=150°．
故答案为：150°．
根据作图过程可得△ADP是等边三角形，根据正方形的性质和等边三角形的性质即可求出结果．
本题考查了正方形的性质，解决本题的关键在掌握正方形的性质．
11.【答案】6.81×107
【解析】解：6810万=68100000=6.81×107．
故选：6.81×107．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】16
【解析】解：延长BN交AC于D，在△ANB和△AND中，
{∠BAN=∠DAN AN=AN
∠ANB=∠AND
，
∴△ANB≌△AND(ASA)
∴AD=AB=10，BN=ND，
∵BN=ND，BM=MC，
∴CD=2MN=6，
∴AC=AD+CD=16，
故答案为：16．
延长BN交AC于D，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质得到AD=AB=10，BN=ND，根据三角形中位线定理求出CD，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
13.【答案】k>−1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−k=0有两个不相等的实数根，
∴b2−4ac=4−4×1×(−k)
=4+4k>0，
∴k>−1．
故答案为：k>−1．
直接利用根的判别式进而得出k的取值范围．
此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
14.【答案】15605
2
1
【解析】解：∵⊙O内切于Rt△ABC，∠C=90°，
∴OC平分∠ACB，
∴∠ACO=1
2
∠ACB=45°，
∵∠AOC=120°，
∴∠OAC=180°−45°−120°=15°，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠OAC=30°，
∴∠B=90°−30°=60°；
∵AC=4cm，BC=3cm，∠C=90°，
∴AB=√AC2+BC2=√42+32=5，
∴△ABC的外接圆的半径为5
2
；
设内切圆的半径为r，
∴r=3+4−5
2
=1，
故答案为：15，60，5
2
，1．
由三角形内心的性质得到OC平分∠ACB，求得∠ACO=1
2
∠ACB=45°，根据三角形的内角和得到结论；根据勾股定理得到AB=√AC2+BC2=√42+32=5，于是得到结论．本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的内角和定理，切线的性质，三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：设第一组有x人．
根据题意，得24
x −27
1.5x
=1，
解得x=6．
经检验，x=6是原方程的解，且符合题意．
答：第一组有6人，
故答案为6．
先设第一组有x人，则第二组人数是1.5x人，根据题意可得等量关系：第一组同学共带图书24本÷第一组的人数−第二组同学共带图书27本÷第二组的人数=1，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，不要忘记检验．
16.【答案】5+5√2+5√52
【解析】解：如图，连接MH ，设正方形的边长为2a ，则AH =DH =a ，设EF 交BH 于点O ，BD 交HF 于点Q ．
∵∠A =90°，AB =2a ，
∴BH =√(2a)2+a 2=√5a ，
∴AH ：AB ：BH =1：2：√5，
∵EF 垂直平分BH ，
∴∠FOB =∠BAH =90°，
∵∠BFO =90°−∠OBF =∠HBA ，
∴△OFB∽△ABH ， BO ：FO ：BF =1：2：√5，
∵BO =HO =12BO =√52
a ， ∴FO =2BO =√5a ，HF =BF =√5BO =√5×
√52a =52a ， ∴CF =52a −2a =12a ； ∵CF//DH ，
∴△CFG∽△DHG ，
∴CG DG =CF DH =
12a a =12， ∴CG =13CD =23a =2，解得a =3，
∴DH =3，CF =12DH =32，HF =52×3=152，BO =HO =√52×3=3√52，FO =2BO =6√52， ∵∠GCF =90°，
∴FG =√22+(32)2=52，GH =15
2−5
2=5． ∵BM =HM ，
∴∠MHB =∠MBH ，
∵∠FHB =∠FBH ，
∴∠MHG =∠MBC =∠MDG =45°；
∵∠HQM =∠DQG ，
∴△HQM∽∠DQG ，
∴HQ DQ =
MQ GQ ， ∴HQ MQ =DQ GQ ，
∵∠HQD =∠MQG ，
∴△HQD∽△MQG ，
∴∠MGH =∠MDH =45°，
∴∠HMG =90°，MG =MH =√22GH =√22×5=5√22
； ∵∠HOM =90°，
∴MO =(
5√22)(3√52)=√52， ∴FM =6√52−√52=5√52
， ∴FG +MG +FM =52+5√2
2+5√52=5+5√2+5√52． 故符案为：5+5√2+5√52
． 连接MH ，由正方形的性质和线段的垂直平分线的性质证得△MGH 是等腰直角三角形，以便于求MG 的长；用到的相似三角形中，最主要的是与△ABH 相似的三角形，其三边的比是1：2：√5；为方便计算，设正方形的边长为2a ，导出已知线段CG 与a 的关系，求出a 的值，再由此求△FGM 每条边的长．
此题重点考查相似三角形的判定与性质，解题过程中又用到正方形的性质、勾股定理、二次根式的化简等知识，正确作出辅助线是解题的关键．是很好的几何综合题．
17.【答案】解：(1)原式=94×13+1÷3
=34+13 =1312；
(2)原式=(x+1)(x−1)−3
x+1⋅x+1
(x+2)2
=
(x +2)(x −2)x +1⋅x +1(x +2)2 =x−2x+2，
当x =13时，原式=
13−213+2=−57． 【解析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，实数的混合运算和分式的混合运算和求值等知识点，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键．
(1)先根据负整数指数幂，零指数幂进行计算，再算乘除，最后算加法即可；
(2)先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可．
18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD//BC ，
∴∠DAE =∠F ，∠D =∠ECF ，
∵E 是▱ABCD 的边CD 的中点，
∴DE =CE ，
在△ADE 和△FCE 中，
{∠DAE =∠F ∠D =∠ECF DE =CE
，
∴△ADE≌△FCE(AAS)；
(2)∵△ADE≌△FCE ，
∴AE =EF =3，
∵AB//CD ，
∴∠AED =∠BAF =90°，
在△ADE 中，AD =BC =5，
∴DE =√AD 2−AE 2=√52−32=4，
∴CD =2DE =8．
【解析】(1)由平行四边形的性质得出AD//BC ，得出∠DAE =∠F ，∠D =∠ECF ，由AAS 证明△ADE≌△FCE 即可；
(2)由全等三角形的性质得出AE =EF =3，由平行线的性质证出∠AED =∠BAF =90°，求出DE ，即可得出CD 的长．
此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边
形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)本次调查共抽取学生为：20
5%
=400(名)，
∴不太了解的学生为：400−120−160−20=100(名)，
补全条形统计图如下：
(2)“理解”所占扇形的圆心角是：120
400
×360°=108°；
(3)8000×(40%+120
400
)=5600(名)，
所以“理解”和“了解”的共有学生5600名．
【解析】(1)根据统计图中的数据可以求得本次抽取的学生数；补全条形统计图即可；
(2)根据统计图中的数据可以求得“理解”所占扇形的圆心角为120
400
×360°=108°；
(3)由8000×(40%+120
400
)=5600(名)即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】解：(1)从袋中摸出一个球是红球的概率=3
5
；
(2)根据题意得3
n+5=60
500
∴解得：n=20
∴n的值为20．
【解析】(1)直接利用概率的公式求解即可；
(2)红球的概率可利用已知条件求出，再利用概率公式求出总球数，从而求得n的值．本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可
.关键是根据红球的频能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=m
n
率得到相应的等量关系．
21.【答案】2.4
【解析】
【分析】
，即可得出tanA，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求得DE，进据题意得出tanABN=1
3
而得CE，再利用同角的余角相等可得出∠ECF的正切值，再在Rt△CEF中，设EF=x，利用勾股定理列方程，即可求出x，从而得出CF=3x的长．
本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值．
【解答】
解：据题意得tanB=1
，
3
∵MN//AD，
∴∠A=∠ABN，
∴tanA=1
，
3
∵DE⊥AD，
∴在Rt△ADE中，tanA=DE
，
AD
∵AD=9，∴DE=3，
又∵DC=0.5，
∴CE=2.5，
∵CF⊥AB，
∴∠FCE+∠CEF=90°，
∵DE⊥AD，
∴∠A+∠CEF=90°，
∴∠A=∠FCE，
∴tan∠FCE=1
，
3
在Rt△CEF中，CE2=EF2+CF2，
设EF=x，则CF=3x(x>0)，CE=2.5，
代入得(52)2=x 2+(3x)2 解得x =√104(如果前面没有“设x >0”，则此处应“x =±√104，舍负”)， ∴CF =3x =3√10
4≈3×3.16
4=2.37≈2.4，
∴该停车库限高2.4米．
故答案为2.4．
22.【答案】解：(1)将点A 的坐标代入y =m
x (m ≠0)得：m =−2×3=−6， 则反比例函数的表达式为：y =−6x ，
将点B 的坐标代入上式并解得：n =−32，故点B(4,−32)，
将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式y =kx +b 得：{−2k +b =34k +b =−32，解得：{k =−34b =32， 故一次函数的表达式为：y =−34x +3
2；
(2)y =−34x +32
，令y =0，则x =2，故点C(2,0)， ①当∠APC 为直角时，
则点P(−2,0)；
②当∠P′AC 为直角时，
由点A 、C 的坐标知，PC =4，AP =3，则AC =5，
cos∠ACP =PC AC =45=AC CP′=5CP′，解得：CP′=
254， 则OP′=25
4−2=17
4，
故点P 的坐标为：(−2,0)或(−
17
4,0)．
【解析】(1)将点A的坐标代入y=m
x
(m≠0)得：m=−2×3=−6，则反比例函数的表
达式为：y=−6
x ，将点B的坐标代入上式并解得：n=−3
2
，故点B(4,−3
2
)，即可求解；
(2)分∠APC为直角、∠P′AC为直角两种情况，分别求解即可．
本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．
23.【答案】(1)证明：∵∠ADP=∠BCD，∠BCD=∠BAD，
∴∠ADP=∠BAD，
∴DP//AB；
(2)证明：连接OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠ABD=45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，
∵OA=OB，
∴OD⊥AB，
∵DP//AB，
∴OD⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
(3)解：在Rt△ACB中，AB=√AC2+BC2=√62+82=10，
∵△DAB为等腰直角三角形，
∴AD=√2
2
AB=5√2，
∵AE⊥CD，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AE=CE=√2
2
AC=3√2，
在Rt△AED中，DE=√AD2−AE2=√(5√2)2−(3√2)2=4√2，
∴CD=CE+DE=3√2+4√2=7√2，
∵∠PDA=∠PCD，∠P=∠P，
∴△PDA∽△PCD，
∴PD
PC =PA
PD
=AD
CD
=√2
7√2
=5
7
，
∴PA=5
7PD，PC=7
5
PD，
∵PC=PA+AC，
∴5
7PD+6=7
5
PD，
解得：PD=35
4
．
【解析】(1)由圆周角定理得∠BCD=∠BAD，证出∠ADP=∠BAD，即可得出结论；(2)连接OD，先证△DAB是等腰直角三角形，得OD⊥AB，再由DP//AB，得OD⊥PD，即可得出结论；
(3)先由勾股定理计算出AB=10，再由等腰直角三角形的性质求出AD、AE、CE得的长，然后由勾股定理求出DE的长，最后证△PDA∽△PCD，即可解决问题．
本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设每千克应涨价为x元，由题意得：
(22−12+x)(500−20x)=6000，
整理得：x2−15x+50=0，
解得：x1=5，x2=10．
∵要使顾客得到实惠，
∴x=5．
∴每千克应涨价5元．
(2)设销售价为a元时，每天的盈利为w，由题意得：
w=(a−12)[500−20(a−22)]
=−20a2+1180a−11280
=−20(a−59
2
)2+6125，
∵二次项系数为负，抛物线开口向下，
∴当a=59
2
时，w有最大值为6125．
∴当销售价是59
时，每天的盈利最多，最多是6125元．
2
【解析】(1)设每千克应涨价为x元，根据(售价−进价+涨价额)×销售量=6000，可得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据要使顾客得到实惠，可得答案；
(2)设销售价为a元时，每天的盈利为w，由题意得w关于a的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
本题考查了一元二次方程与二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25.【答案】30°2
【解析】解：(1)由旋转的性质，可知AB′=AB，∠BAB′=20°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
(180°−∠BAB′)=80°，
∴∠ABB′=1
2
∴∠CBB′=∠ABB′−∠ABC=20°，
同理可得，∠BCB′=10°，
∴∠CB′E=∠CBB′+∠BCB′=30°，
连接EF，
∵F是BC的中点，CE⊥BB′，
∴EF是Rt△CBE的斜边BC上的中线，
∴BC=2EF，
∴AB′=2EF，
=2，
∴AB′
EF
故答案为：30°；2；
(2)①仍然成立，理由如下：
由旋转的性质，可知，AB′=AB，∠BAB′=α，
∴∠AB′B=180°−α
2=90°−α
2
，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∴∠CAB′=α−60°，
同理可得，∠AB′C=1
2(180°−∠CAB′)=180°−(α−60°)
2
=120°−α
2
，
∴∠CB′E=∠AB′C−∠AB′B=120°−α
2−(90°−α
2
)=30°，
连接EF，
∵F是BC的中点，CE⊥BB′，
∴EF是Rt△CBE的斜边BC上的中线，
∴BC=2EF，
∴AB′=2EF，
∴AB′
EF
=2；
②当A，E，F三点共线时，分以下两种情况讨论，(Ⅰ)当点E在线段AF上时，如图3，
由①可知，∠CB′E=30°，BC=2EF，
∵CE⊥BB′，
∴∠CEB′=∠CEB=90°，
设BF=x，则EF=CF=x，
在Rt△BEF中，BE=√2BF=√2x，
∴CE=BE=√2x，
在Rt△CB′E中，B′E=CE
tan∠CB′E =CE
tan30∘
=√6x，
∴BB′
BE =B′E+BE
BE
=√6x+√2x
√2x
=√3+1，
(Ⅱ)当点E在线段AF的延长线上时，如图4，同(Ⅰ)，可得，BE=√2x，B′E=√6x，
∴BB′
BE =B′E−BE
BE
=√6x−√2x
√2x
=√3−1，
综上所述，BB′
BE
的值为√3+1或√3−1．
(1)根据旋转的性质和等边三角形的性质以及直角三角形的性质解答即可；
(2)①根据旋转的性质和等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；
②当A，E，F三点共线时，分两种情况讨论，利用三角函数解答即可．
本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
26.【答案】解：(1)对称轴x=1，则点B(−2,0)，
则抛物线的表达式为：y=a(x+2)(x−4)=a(x2−2x−8)，即−8a=2，解得：a=−1
4
，
故抛物线的表达式为：y=−1
4x2+1
2
x+2；
(2)设直线PQ交y轴于点E(0,1)，点P、Q横坐标分别为m，n，
△CPQ的面积=1
2
×CE×(n−m)=√5，即n−m=2√5，
联立抛物线与直线PQ 的表达式并整理得：−14x 2+(12−k)x +1=0…①， m +n =2−4k ，mn =−4，
n −m =2√5=√(m +n)2−4mn =√(2−4k)2+16，
解得：k =0(舍去)或1；
将k =1代入①式并解得：x =−1±√5，
故点P 、Q 的坐标分别为：(−1+√5,√5)、(−1−√5,−√5)；
(3)设点K(1,m)，
联立PQ 和AC 的表达式并解得：x =23，故点G(23,53)
过点G 作x 轴的平行线交函数对称轴于点M ，交过点R 与y 轴的平行线于点N ，
则△KMG≌△GNR(AAS)，
GM =1−23=13=NR ，MK =|5
3−m|， 故点R 的纵坐标为：43，则点R(m −1,4
3)
将该坐标代入抛物线表达式解得：x =1±√333
， 故m =2±√333， 故点K(1,2±√33
3
).
【解析】(1)对称轴x =1，则点B(−2,0)，则抛物线的表达式为：y =a(x +2)(x −4)=a(x 2−2x −8)，即可求解；
(2)△CPQ 的面积=12×CE ×(n −m)=√5，即n −m =2√5，联立抛物线与直线PQ 的表达式并整理得−14x 2+(12−k)x +1=0…①，
根据题意可得m+n=2−4k，mn=−4，n−m=2√5=√(m+n)2−4mn=
√(2−4k)2+16，即可求解；
(3)待定系数法求得AC的解析式，联立PQ和AC解析式可得G点坐标，再证明△KMG≌△
GNR(AAS)，可得GM=1−2
3=1
3
=NR，MK=|5
3
−m|，则点R(m−1,4
3
)，将该坐标代
入抛物线表达式，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等和相似、韦达定理的运用等，综合性强，难度较大．。