2023年广东省“十二校”高三第2次联考文科数学试卷

广东省“十二校”高三第2次联考文科数学试卷
1．设，若（为虚数单位）为正实数，则( ) A．2 B．1 C．0 D．
2．已知，则（）A．B．C．D．
3．下列命题中的假命题是（）
A．
B．“”是“”的充分不必要条件
C．
D．若为假命题，则、均为假命题
4．若直线不平行于平面，且，则( )
A．内的所有直线与异面B．内存在唯一的直线与平行C．内不存在与平行的直线D．内的直线都与都相交5．在等差数列中，，则的值是（）A．24 B．48 C．96 D．无法确定
6．某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的值是（）
A．63 B．31 C．27 D．15
7．动圆经过双曲线左焦点且与直线相切，则圆心的轨迹方程是（）
A．B．C．D．
8．是所在的平面内的一点，且满足，则的形状一定为（）
A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．斜三角形9．已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定，若为上的动点，点，则的最大值为 ( ) A．6 B．C．4 D．2
10．已知是函数的零点，若，则的值满足（）
A．B．
C．D．的符号不能确定
11．某单位有200名职工，现用系统抽样法，从中抽取40名职工作样本，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第9组抽出的号码应是
12．在中，、、分别是角A、B、C所对的边，，则的面积S=______．
13．已知实数，函数，若，则
的值为________.
14．已知点P是曲线为参数，上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，则点的直角坐标
为．
15．如图，和相交于两点，过作两圆的切线分别交两圆于、两点，连接、，已知，，则
．
16．已知函数．
（1）求函数的最小正周期和值域；
（2）若函数的图象过点，.求的值．
17．为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图3所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.
（1）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；
（2）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；
（3）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.
18．一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、、在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图4所示，其中，，，．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．
19．已知数列（常数），其前项和为
（）
（1）求数列的首项，并判断是否为等差数列，若是求其通项公式，不是，说明理由；
（2）令的前n项和，求证：
20．如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于两点，的周长为8，且面积最大时，为正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，证明：点在以为直径的圆上.
21．若函数在上为增函数（为常数），则称为区间上的“一阶比增函数”，为的一阶比增区间.
(1) 若是上的“一阶比增函数”，求实数的取
值范围；
(2) 若 (，为常数)，且有唯一的零点，求的“一阶比增区间”；
(3)若是上的“一阶比增函数”，求证：，
参考答案
1．B
[※解析※]
试题分析：，因为
为正实数，所以，故选B
考点：复数正实数
2．B
[※解析※]
试题分析：由交集，并集，补集的概念可得
，故选B.
考点：交集并集补集
3．D
[※解析※]
试题分析：命题A为真命题，当时，. 命题B为真命题，根据指数函数的值域可得C为真命题，排除法D为假命题.故选D
考点：特称命题全称命题逻辑连接词命题真假
4．A
[※解析※]
试题分析：A不符合，过直线l与的交点的直线与直线l相交，并不异面，B不符合，若存在直线与l平行，由于，则，这与题意矛盾，B不符合，则C就符合.故选C
考点：线面平行异面
5．B
[※解析※]
试题分析：因为为的等差中项，所以，再由等差数列的性质(下脚标之和相等，对应项数之和相等)有，故选B.
考点：等差数列及其性质
6．A
[※解析※]
试题分析：程序框图运行如下：
故选A
考点：程序框图
7．C
[※解析※]
试题分析：双曲线的焦点在x轴上且左焦点的坐标为，则圆心M满足到定点与定直线的距离相等，故满足抛物线的定义，故动圆圆心M的轨迹是以点为焦点的抛物线，故选C 考点：抛物线定义双曲线
8．C
[※解析※]
试题分析：利用向量的加法和减法可得,
,根据向量加法的平行四边形法则可得过BC边的中线,因为,所以
,即为BC边的中垂线,故A点在BC的中垂线上,即三角形ABC为等腰三角形,故选C.
考点：向量加法减法内积
9．B
[※解析※]
试题分析：根据线性规划的知识,画出可行域如下图所示:
因为Z最小值即为可行域内到点A的距离最大值, 即为可行域中的点,所以,故选B
考点：线性规划向量的模
10．C
[※解析※]
试题分析：不妨设,则,作出
图像如下:
则可以得到B点的横坐标即为的零点a,所以，则,故选C
考点：零点数形结合指对数函数
11．38
[※解析※]
试题分析：由分组可得间隔k=4,则根据系统抽样的原理可得第9组抽出的号码应为,故填38
考点：系统抽样
12．
[※解析※]
试题分析：由角A的余弦定理得
,因为,所以三角形ABC为直角三角形,则,故填.
考点：余弦定理勾股定理面积
13．
[※解析※]
试题分析：由题得,函数f(x)在区间上单调递增,在区间单调递减,因为且,所以应分别在分段函数的两段上,则当时,因为,所以
,当时,
,所以
(不符合题意),综上,故填.
考点：分段函数分类讨论
14．
[※解析※]
试题分析：不妨设点(),则由两点斜率的计算公式得,由题知(),则
,故填
考点：参数方程倾斜角
15．
[※解析※]
试题分析：由圆的切割线定理得,所以
,则有,故填.
考点：切割线定理相似三角形
16．(1)周期,值域 (2)
[※解析※]
试题分析：
(1)利用余弦的诱导公式和辅助角公式即可得到函数的最简形式得到函
数的周期,再利用任意正弦都有的范围[-1.1]得到函数的值域.
(2)把点带入函数可得,由正弦余弦的关系可得
,再利用和差角公式构造
即可得到的值.
试题解析：
(1)由题意得,
,因为
,所以函数的值域为,函数的周期为.
(2)由题得,因为函数过点,所以
,因为,所以
,而
,综上
考点：正余弦和差角公式辅助角公式周期
17．(1)320 (2)50 (3)
[※解析※]
试题分析：
(1)根据频率分布直方图可以得到第三组[16，17）的纵坐标和组距,相乘即
可得到频率,再与总数相乘即可得到该组的频数,即该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数.
(2)分别设出前三个组的频率,根据三个组的频率之比为和五个组的
频率之和为1即可得到前三个组各自的频率,再根据第二组的频率等于频数与总数之比可求的总数,即得到了随机抽取的总数.
(3)利用(1)(2)的结果可求出第一组与第五组各自的频数(即人数),编号并列
出抽取两人的所有基本事件数和符合题目要求(即两人来自不同的组)的基本事件数,根据古典概型的概率计算公式即可求出相应的概率.
试题解析：
(1)由频率分布直方图可得在抽取的样本中学生中百米成绩在[16，17）内的
频率为,则该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数为
.
(2)设前三个组的频率分别为x,y,z.则有
,所以第二组的频率为0.16,又因为第二组的频数为8,所以随机抽取的学生人数为,故随机抽取
了50名学生的百米长跑成绩.
(3)由(1)(2)可得到第一组的频数为,第五组的频
数为,分别编号为A,B,C,D,E,F,G(其中第一组为A,B,C),从这7名同学成绩中选取两人的基本事件有
(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G), (C,D),(C,E),(C,F),(C,G), (D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G)共21个,而满足两个成绩的差的绝对值大于1秒的基本事件有
(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F), (C,G)共12个,所以根据古典概型的概率计算公式得,故从第
一、五组中随机取出两个成绩，这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率为
.
考点：古典概型频率分布直方图频率
18．(1) 证明过程详见解析(2)
[※解析※]
试题分析：
(1)要证明,只需要考虑证明AC垂直于BD所在的面,即面
ABD,所以证明AC与AD,AB垂直即可,而AE与AD在同一条直线上且AE垂直于AC所在的一个面,根据线面垂直的性质,即可得到AC与AD垂直,而AC与AB垂直题目已给,所以能证明AC与面BCD垂直,进而证明AC与BD垂直.
(2)首先根据题目所给正视图与侧视图的面积,求出三角形AOE的面积,得到
AO的长,再根据OA等腰直角三颗星ABC斜边的中线,即可求出等腰直角三颗星三条边的长度,进而得到三角形的面积,根据正视图的面积为三角形AOE与矩形的面积和得到AD的长,而所求三棱锥的体积可以分为三棱与两个部分,两部分都以三角形ABC为底面,分别以
AE与AD为高,且都已知,进而可以求出三棱锥.
试题解析：
(1)证明:面(即面ABC)且面ABC
又且面ABD,
面ABD
面ABD
(2)因为正视图和侧视图的面积分别为11和12,所以,又因为AE=2,
所以OA=1,,因为正视图的面积为11,所以
,因为底面三角形ABC为等腰直角三角形且斜边的中线OA=1,所以,又因为面ABC且面ABC,所以
,综上.
考点：三视图垂直圆柱
19．(1) (2)证明过程详见解析
[※解析※]
试题分析：
(1)当n=1,利用带入即可得到的值.当时,利用
,整理可得到,再用叠乘法即可求出,即可证明是等比数列.
(2)由(2)得到,带入即可得到通项公式,考虑利用裂项求和得到(即分离分母即可得到),即可得到.再利用
,即可证明.
试题解析：
(1)当n=1时,,则……①
当时,……②,
则①-②得
,
检验n=1时也符合,故,则,所以为等差数列.综上
是等差数列且.
(2)由(1)
,
则
,
所以,因为且,所以
.
考点：等差数列前n项和裂项求和
20．(1)(2)证明过程详见解析
[※解析※]
试题分析：
的周长即为2a,则可以得到a的
(1)利用椭圆的定义,可以得到三角形ABF
2
值,由椭圆的对称性,可以得到为正三角形当且仅当A点在椭圆的短轴端点,此时,则可得到c的值,再根据a,c,b之间的关系可得到b的值,进而得到椭圆E的方程.
(2)据题意,直线l与椭圆E相切于点P.设出点P的坐标,利用直线与椭圆相
切,联立椭圆与直线的方程,判别式为0,即可用点P的坐标表示直线l的斜率,即得到直线l关于P坐标的表达式.联立直线l与直线x=4即可求出点Q 的坐标,把P,Q的坐标带入内积式,证得
即可.
试题解析：
(1)由题得,因为点A,B都在椭圆上,所以根据椭圆的定义有
且,又因为的周长为8,所以
, 因为椭圆是关于x,y,原点对称的,所以为正三角形当且仅当为椭圆的短轴定点,则,,故椭圆E的方程为.
(2)由题得,动直线l为椭圆的切线,故不妨设切点,因为直线l的
斜率是存在且为,所以,则直线,联立直线l与椭圆E的方程得,
.则直线l的方程为,联立直线l与直线得到点,则
,所以,即点M在以PQ为直径的圆上.
考点：椭圆切线内积圆
21．(1) (2)
[※解析※]
试题分析：
(1)根据新定义可得在区间上单调递增,即导函数在
区间上恒成立,则有,再利用分离参数法即可求的a的取值范围.
(2)对求导数,求单调区间,可以得到函数有最小值,又根据函数
只有一个零点,从而得到,解出的值为1,再根据的“一阶比增区间”的定义,则的单调增区间即为的“一阶比增区间”.
(3)根据是上的“一阶比增函数”的定义,可得到函数
在区间上单调递增,则由函数单调递增的定义可得到
,同理有,两不等式化解相加整
理即可得到.
试题解析：
(1)由题得,在区间上为增函数,则
在区间上恒成立,即,综上a的取值范围为.
(2)由题得,(),则
,当时,因为,所以
, .因为,所以函数在区间
上单调递减,在区间上单调递增,即
.又因为有唯一的零点,所以
(使解得带入验证),故的单调增区间为.即的“一阶比增区间”为. (3)由题得,因为函数为上的“一阶比增函数”,所以
在区间上的增函数,又因为,所以
……1,同理,
……2,则1+2得
,所以，
.
考点：单调性定义不等式导数新概念。