二阶矩过程的均方微积分

a 2 E X n X 2 b 2 E Yn Y 2
2 a
1
b E2
Xn
X
2
1
E2
Yn Y 2
0 (n )
（2） 0 E( X mYn ) E(XY )
E( X mYn XY )
E[( X m X )Yn ( X m X )Y ( X m X )Y X (Yn Y )]
mn ,m n
lim
m
E[
X
m
X
n
]不存在
n
不收敛
n i 1
Xi
2
E
1 n
n
(Xi
i 1
2
)
E
1 n
n
(Xi
i 1
2
EXi )
1 n2
1 n2
E(
E
n
(X
i1n
((
i 1
i
Xi
n
EXi ) ( X k
k 1 n
EXi )
k 1
EXk
(Xk
)
EX
k
))
1 n2
n i 1
n
E(( Xi
k 1
EX i )( X k
EX k ))
E[XmXm] E[XmXn] E[XnXm] E[XnXn]
0(m,n )
由Cauchy准则,{Xn,n=1,2…}均方收敛
定理（均方大数定理）
设{X n , n 1, 2,L } H 是相互独立同分布的随机变量序列,且
EX n , n 1, 2,L ,则
证明：E
1 n
如果lim E X (t) X 2 0, tt0
则称当t t0时，{X (t),t T}收敛于X .
或称X为当t t0时，{X (t),t T}的均方极限.
记为 l.i.m X (t) X tt0
说明 ：
二阶矩过程均方极限的性质与 二阶矩变量序列均方极限的性质 完全类似．
二阶矩过程均方收敛准则
E aX bY 2
即 aX bY H.
1．均方极限的定义
定义 设 X , X n H , n 1, 2,L 如果
则称{Xn,n=1,2,…}均方收敛于X, 或称 X 为{Xn,n=1,2,…}的均方极限，记为
2．均方极限的性质
定理（均方极限的唯一性） 设{X n , n 1, 2,L } H , X H , 则X 在概率1下是唯一的．
1
2E2
Xm
X
2
1
E2Xn X 2来自0 (m, n )定理（Loeve准则）
设{X n, n 1, 2,L } H ,
则{Xn}均方收敛的充要条件是
lim
n,m
E[
X
m
X
n
]
c
c ，是常数
必要性由均方极限的运算性直接可证明。 仅证充分性
设
lim
n,m
E[
X
m
X
n
]
c
E Xm -Xn 2 E（Xm -Xn）（ Xm -Xn）
为二阶矩变量空间．
Schwarz不等式
引理 设
则对 任意的复数a,b有
证明 E aX bY 2 E(aX bY )(aX bY )
E(aX bY )(aX bY ) E( aX 2 bY 2 aXbY aX bY )
E a 2 X 2 E b 2 Y 2 E2 Re(aXbY )
{Yn , n 1, 2,L }, 均方收敛．
mn
解 E[YmYn ] E[
akal X k X l ]
mn
k 1 l1
mn
akal E[ X k X l ]
akalR X (k, l)
k 1 l1
k 1 l 1
mn
即要求级数
akalR X (k, l)收敛.
k 1 l1
二阶矩过程均方极限定义 设{X (t),t T}是二阶矩过程，X H ,t0 T ,
E[(X m X )(Yn Y ) E[(X m X )Y ] E[X (Yn Y )]
推论 设{X n , n 1, 2,L } H , X H ,且
(4) 若Xn和X都是实r.v.,则
lim E(e jtXn ) E(e jtX )
n
即Xn (u) X (u)
3．均方收敛判定准则
证明 设
则
0 E X Y 2 E X Xn Xn Y 2
E
Xn
X
2
E
Xn
Y
2
2(E
Xn
X
2
)
1 2
(E
Xn
Y
)2 1 2
0
于是 E X Y 2 0
从而
0 D(X Y ) E X Y 2 E(X Y ) 2 E(X Y ) 2 0
故
D(X Y ) 0 于是 P(X Y c) 1
1 n2
n i 1
n
COV ( X i，X k）
k 1
1 n DX1
0（n 0）
例 设有一二阶矩随机变量序列，{X n , n 1, 2,L }, 其相关函数 RX (m, n) E[X mXn],{an, n 1, 2,L } 是一
n
常数序列,令 Yn ak Xk , n 1, 2,L , 问在何条件下， k 1
重点 均方极限,均方连续,均方可导 以及均方可积的概念和准则．
要求 掌握均方极限,均方连续,均方可导
以及均方可积的的概念以及相应准则.
熟悉一阶线性随机微分方程及其解. 熟悉正态过程的随机分析的一些结果.
一 随机变量序列的均方极限
预备知识 定义 称定义在概率空间 (, F, P)上的具有 二阶矩的随机变量的全体所组成的集合
定理（Cauchy准则）设 {X n , n 1, 2,L } H ,
则{Xn}均方收敛的充要条件是
lim E
n,m
Xm
Xn
2
0
充分性要用到测度论知识，
仅证必要性．
即由l.i. m n
X
n
X
lim E n,m
Xm
Xn
2
0
0 E Xm-Xn 2 E Xm-X+X-Xn 2
E Xm X 2 E Xn X 2
从而 X Y 以概率1等于常数c,也就是
E X Y 2 c 2 g1 0 即 c 0 故 X Y 以概率1等于常数0,也就是
P(X Y ) 1
定理（均方极限的运算性）
设{Xn, n 1, 2,L },{Yn, N 1, 2L } H, X,Y H,
证明 (1)目标：
0 E aXn bYn aX bY 2 E a( Xn X ) b(Yn Y ) 2
设{X (t),t T}是二阶矩过程，t0 T ,则当t t0时
{X (t),t T}均方收敛的充要条件是
本节举例
设{X n, n 1, 2,...}是相互独立的随机变量序列，
且有分布律
Xn
0
n
1
1
P
1 n2
n2
讨论X
的均方收敛性
n
解
E[Xm Xn ]
EX
2 n
1
EX mEX n
, 1 mn