教学设计1：直接证明与间接证明

7.5 直接证明与间接证明
课前 考点引领
考情分析 考点新知 了解分析法、综合法、反证法，会用这些方法处理一些简单命题． ① 了解直接证明的两种基本方法：分
析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. ② 了解间接证明的一种基本方法——
反证法；了解反证法的思考过程、特点. 知识清单
1. 直接证明
(1) 定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法．
(2) 一般形式
⎭⎪⎬⎪⎫本题条件
已知定义已知公理已知定理A B C …本题结论．
(3) 综合法
① 定义：从 出发，以已知的 、 、 为依据，逐步 ，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．
② 推证过程
已知条件
……结论
(4) 分析法
① 定义：从 出发，追溯导致结论成立的条件，逐步 ，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法称为分析法．
② 推证过程
结论
……已知条件 2. 间接证明
(1) 常用的间接证明方法有 、 等．
(2) 反证法的基本步骤
① ——假设命题的 不成立，即假定原结论的反面为真．
② ——从 和 出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出 结果． ——由 结果，断定 不真，从而肯定原结论成立．
课中 技巧点拨
题型精选
题型1 直接证明(综合法和分析法)
例1 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝
n ＋2n S n
(n ＝1，2，3，…)，证明： (1) 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2) S n ＋1＝4a n .
例2 设a 、b 、c 均为大于1的正数，且ab ＝10，求证：log a c ＋log b c ≥4lg c .
变式训练
设首项为a 1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，q 为非零常数，已知对任意正整数n 、m ，S n ＋m ＝S m ＋q m S n 总成立．求证：数列{a n }是等比数列．
题型2 间接证明(反证法)
例3 证明：2，3，5不能为同一等差数列中的三项．
备选变式（教师专享）
已知下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0，其中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．
疑难指津
1. 分析法的特点是从未知看已知，逐步靠拢已知，综合法的特点是从已知看未知，逐步推出未知．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较烦；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考，实际证明时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
2. 反证法是从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，说明结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法．适宜用反证法证明的数学命题：①结论本身是以否定形式出现的一类命题；②关于唯一性、存在性的命题；③结论以“至多”“至少”等形式出现的命题；④结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题．
答案
知识清单
1.
(3)①已知条件 定义、公理、定理 下推
(4)①问题的结论 上溯
2. (1)反证法 正难则反
(2)① 反设 结论 ② 归谬 反设 已知 矛盾
存真 矛盾 反设
例1
证明：(1) ∵ a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n
(n ＝1，2，3，…)， ∴ (n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，
整理得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，∴ S n ＋1n ＋1
＝2·S n n ， 即S n ＋1
n ＋1S n n
＝2，∴ 数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 是等比数列． (2) 由(1)知：S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，于是S n ＋1＝4·(n ＋1)·S n －1n －1
＝4a n (n ≥2)．又a 2＝3S 1＝3，∴ S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4a 1，
∴ 对一切n ∈N *，都有S n ＋1＝4a n .
例2
证明：(分析法)由于a >1，b >1，c >1，故要证明log a c ＋log b c ≥4lg c ，只要证明lgc lga ＋lgc lgb
≥4lg c ，即lga ＋lgb lga·lgb ≥4，因为ab ＝10，故lg a ＋lg b ＝1.只要证明1lgalgb
≥4，由于a >1，b >1，故lg a >0，lg b >0，所以0<lg a lg b ≤⎝⎛
⎭⎫lga ＋lgb 22＝⎝⎛⎭⎫122＝14，即1lgalgb ≥4成立．所以原不等式成立． 变式训练
证明：因为对任意正整数n 、m ，S n ＋m ＝S m ＋q m S n 总成立，令n ＝m ＝1，得S 2＝S 1＋qS 1，则a 2＝qa 1.令m ＝1，得S n ＋1＝S 1＋qS n ①， 从而S n ＋2＝S 1＋qS n ＋1 ②，②－①得a n ＋2＝qa n ＋1(n ≥1)，综上得a n ＋1＝qa n (n ≥1)，所以数列{a n }是等比数列．
例3
证明：假设2，3，5为同一等差数列的三项，则存在整数m 、n 满足⎩⎨⎧3＝2＋md ①，5＝2＋nd ②， ①×n －②×m 得3n －5m ＝2(n －m )，两边平方得3n 2＋5m 2－215mn ＝2(n －m )2，左
边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数，故假设不正确，即2，3，5不能为同一等差数列的三项．
备选变式（教师专享）
解：若方程没有一个实数根，则
⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－4（3－4a ）<0，（a －1）2－4a 2<0，4a 2＋8a<0，
解之得－32<a <－1. 故三个方程至少有一个方程有实数根的a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a≥－1或a≤32.。