数学方案题

1．（长沙市）某班到毕业时共结余经费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品．已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册．
（1）求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？
（2）有几种购买文化衫和相册的方案？哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足？
2.（长沙市）小华准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有62元，从现在起每个月存12元；小华的同学小丽以前没有存过零用钱，听到小华在存零用钱，表示从现在起每个月存20元，争取超过小华．
（1）试写出小华的存款总数y1与从现在开始的月数x之间的函数关系式以及小丽存款数y2与月数x之间的函数关系式；
（2）从第几个月开始小丽的存款数可以超过小华？
3.（成都市）某校九年级三班为开展“迎2008年北京奥运会”的主题班会活动，派了小林和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品．已知该超市的锦江牌钢笔每支8元，红梅牌钢笔每支
4.8元，他们要购买这两种笔共40支．
（1）如果他们两人一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多少支？
（2）小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔的数量要少
于红梅牌钢笔的数量的，但又不少于红梅牌钢笔的数量的．如果他们买了锦江牌钢笔x 支，买这两种笔共花了y元．
①请写出y（元）关于x（支）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
②请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？
4.（怀化市）2007年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A，B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
5.（武汉市）康乐公司在A、B两地分别有同型号的机器17台和15台，现要运往甲地18台，乙地14台.从A、B两地运往甲、乙两地的费用如下表：
(1)如果从A地运往甲地x台，求完成以上调运所需总费用y(元)与x(台)的函数关系式；
(2)若康乐公司请你设计一种最佳调运方案，使总的费用最少，该公司完成以上调运方案至少需要多少费用？为什么？
6.（济南市）某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．
（1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；
（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案．
7.（江西省）2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用8000元预订10张下表中比赛项目的门票．
（1）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张？
（2）若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订下表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预订三种球类门票各多少张？
8.（绵阳市）绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．
（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？
9.（福州市）李晖到“宇泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息：
假设月销售件数为x件，月总收入为y元，销售每件奖励a元，营业员月基本工资为b 元．
（1）求a，b的值；
（2）若营业员小俐某月总收入不低于1800元，那么小俐当月至少要卖服装多少件？
10.（河北省）一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：
（1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；
（2）求出y与x之间的函数关系式；
（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．
①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；
（注：预估利润P＝预售总额-购机款-各种费用）
②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．
11.（南充市）某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：
计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161800元．
（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）
（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价）
12. 某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶．设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：
（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；
（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？
13.（重庆市）我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售.按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满.根据下表提供的信息，解答以下问题：
（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值.
14.（郴州市）在社会主义新农村建设中，李叔叔承包了家乡的50亩荒山．经过市场调查，预测水果上市后A种水果每年每亩可获利0.3万元，B种水果每年每亩可获利0.2万
元，李叔叔决定在承包的山上种植A、B两种水果．他了解到需要一次性投入的成本为：A 种水果每亩1万元，B种水果每亩0.9万元．设种植A种水果x亩，投入成本总共y万元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若李叔叔在开发时投入的资金不超过47万元，为使总利润每年不少于11．8万元，应如何安排种植面积（亩数x取整数）？请写出获利最大的种植方案．
15.（日照市）某水产品市场管理部门规划建造面积为2400m2的集贸大棚，大棚内设A 种类型和B种类型的店面共80间，每间A种类型的店面的平均面积为28m2，月租费为400元；每间B种类型的店面的平均面积为20m2，月租费为360元.全部店面的建造面积不低于大棚总面积的80%，又不能超过大棚总面积的85%.
(1)试确定A种类型店面的数量；
(2)该大棚管理部门通过了解业主的租赁意向得知， A种类型店面的出租率为75%,B种类型店面的出租率为90%.为使店面的月租费最高，应建造A种类型的店面多少间？
16.（孝感市）我市一水果销售公司，需将一批孝感杨店产鲜桃运往某地，有汽车、火车运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如下：
若这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为150元/时，那么你认为采用哪种运输工具比较好（即运输所需费用与损耗之和较少）？
17.（潍坊市）为改善办学条件，北海中学计划购买部分A品牌电脑和B品牌课桌．第一次，用9万元购买了A品牌电脑10台和B品牌课桌200张．第二次，用9万元购买了A 品牌电脑12台和B品牌课桌120张．
（1）每台A品牌电脑与每张B品牌课桌的价格各是多少元？
（2）第三次购买时，销售商对一次购买量大的客户打折销售．规定：一次购买A品牌电脑35台以上（含35台），按九折销售，一次购买B品牌课桌600张以上（含600张），按八折销售．学校准备用27万元购买电脑和课桌，其中电脑不少于35台，课桌不少于600张，问有几种购买方案？
18.（赤峰市）某私立中学准备招聘教职员工60名，所有员工的月工资情况如下：
人员结构校长副校
长
部处主任教研组长
高级教
师
中级教
师
初级教师
员工人数／
人
1 2 4 10 3
每人月工资
／元
20000 17000 2500 2300 2200 2000 900 请根据上表提供的信息，回答下列问题：
（1）如果学校准备招聘“高级教师”和“中级教师”共40名（其他员工人数不变），其中高级教师至少要招聘13人，而且学校对高级、中级教师的月支付工资不超过83000元，按学校要求，对高级、中级教师有几种招聘方案？
（2）（1）中的哪种方案对学校所支付的月工资最少？并说明理由；
（3）在学校所支付的月工资最少时，将上表补充完整，并求所有员工月工资的中位数和众数．
参考答案
1. 解：（1）设文化衫和相册的价格分别为x元和y元，则
解得
答：文化衫和相册的价格分别为35元和26元．
（2）设购买文化衫件，则购买相册(50-t)本，则
1500≤35t+26(50-t)≤1530..
解得.
∵t为正整数，∴t=23，24，25，即有三种方案．
第一种方案：购文化衫23件，相册27本，此时余下资金293元；
第二种方案：购文化衫24件，相册26本，此时余下资金284元；
第三种方案：购文化衫25件，相册25本，此时余下资金275元；
所以第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足．
2.解：（1）y1=62+12x，y2=20x.
（2）由20x>62+12x得x>7.75，
所以从第8个月开始小丽的存款数可以超过小华.
3.解：（1）设能买锦江牌钢笔x支，则能买红梅牌钢笔(40-x)支．依题意，
得8x+4.8(40-x)=240．
解得x=15．
∴40-x=40-15=25．
答：能买锦江牌钢笔15支，红梅牌钢笔25支．
（2）①依题意，得y=8x+4.8(40-x)=3.2x+192．
又由题意，有
解得．
∴y关于x的函数关系式为y=3.2x+192，自变量x的取值范围是且x为整数．②对一次函数y=3.2x+192，
∵k=3.2>0，
∴y随x的增大而增大．
∴对，当x=8时，y值最小．
此时40-x=40-8=32，y最小=3.2×8+192=217.6（元）．
答：当买锦江牌钢笔8支，红梅牌钢笔32支时，所花钱最少，为217.6元．
4.解：设搭配A种造型x个，则B种造型为(50-x)个.
依题意，得
解这个不等式组，得31≤x≤33.
∵x是整数，∴x可取31，32，33.
∴可设计三种搭配方案：
①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；
②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；
③A种园艺造型33个B种园艺造型17个．
（2）方法一：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为33×800+17×960=42720（元）.
方法二：方案①需成本：31×800+19×960=43040（元）；
方案②需成本：32×800+18×960=42880（元）；
方案③需成本：33×800+17×960=42720(元)；
∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元.
5. 解：（1）y=600x+500(17-x)+400(18-x)+800(x-3)=500x+13300.
（2）由（1）知总运费y=500x+13300.
∵∴3≤x≤17.
＝500×3＋13300＝14800（元）.
又k＞0，∴随x的增大，y也增大.∴y
最小
∴该公司完成以上调运方案至少需要14800元运费，最佳方案是由A地调3台至甲地，14台至乙地，由B地调15台至甲地.
6.解：（1）由租用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车(8-x)辆.
由题意，得
解得5≤x≤6.
即共有2种租车方案：
第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；
第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．
（2）第一种租车方案的费用为5×2000+3×1800=15400元；
第二种租车方案的费用为6×2000+2×1800=15600元.
∴第一种租车方案更省费用．
7.解：（1）设预订男篮门票x张，则乒乓球门票(10- x )张．
由题意，得100 x +500(10- x )=8000.
解得x =6．
∴10-x =4．
答：可订男篮门票6张，乒乓球门票4张．
（2）解法一：设男篮门票与足球门票都订a张，则乒乓球门票(10-2a)张．由题意，得
解得．
由a为正整数可得a=3．
答：他能预订男篮门票3张，足球门票3张，乒乓球门票3张．
解法二：设男篮门票与足球门票都订a张，则乒乓球门票(10-2 a )张．
由题意，得
解得．由a为正整数可得a =3或a =4．
当a =3时，总费用3×1000+3×800=7400（元）<8000（元）；
当a=4时，总费用4×1000+4×800+2×500=8200（元）>800（元），不合题意，舍去．答：他能预订男篮门票3张，足球门票3张，乒乓球门票4张．
8.解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8－x）辆.
依题意，得
解此不等式组，得2≤x≤4．
∵ x是正整数，∴ x可取的值为2，3，4．
因此安排甲、乙两种货车有三种方案：
甲种货车乙种货车
方案一2辆6辆
方案二3辆5辆
方案三4辆4辆
（2）方案一所需运费300×2 + 240×6 = 2040元；
方案二所需运费300×3 + 240×5 = 2100元；
方案三所需运费300×4 + 240×4 = 2160元．
所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元．
9.解：（1）依题意,得y=ax+b，则
解得a =3，b=800.
（2）依题意,得y≥ 1800, 即3x+ 800 ≥ 1800, 解得x≥ .
答：小俐当月至少要卖服装334件.
10.解：（1）60-x-y.
（2）由题意，得 900x+1200y+1100（60-x-y）= 61000，
整理得 y=2x-50．
（3）①由题意，得 P= 1200x+1600y+1300（60-x-y）- 61000-1500，
整理，得P=500x+500．
②购进C型手机部数为60-x-y =110-3x．根据题意列不等式组，得
解得29≤x≤34．
∴x范围为29≤x≤34，且x为整数．
∵P是x的一次函数，k=500＞0，∴P随x的增大而增大．
∴当x取最大值34时，P有最大值，最大值为17500元．
此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部．
11.解：（1）设商店购进电视机x台，则购进洗衣机（100－x）台，根据题意，得解不等式组，得．
即购进电视机最少34台，最多39台，商店有6种进货方案．
（2）设商店销售完毕后获利为y元，根据题意，得
y=（2000-1800）x+(1600-1500)(100-x)=100x+10000．
∵100＞0，∴当x最大时，y的值最大．
即当x＝39时，商店获利最多为13900元．
12.解：⑴ 设生产A种饮料x瓶，根据题意，得
解这个不等式组，得20≤x≤40．
因为其中正整数解共有21个，
所以符合题意的生产方案有21种．
⑵ 根据题意，得y＝2.6x+2.8(100-x)．
整理，得y＝-0.2x+280．
∵k＝-0.2＜0，
∴y随x的增大而减小．
∴当x＝40时成本总额最低．
13.解：（1）根据题意，装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，那么装运C种脐橙的车辆数为(20-x-y)，则有6x+5y+4(20-x-y)=100 .整理，得y=-2x+20.
（2）由（1）知，装运A、B、C三种脐橙的车辆数分别为x、-2x+20、x，由题意，得
解得4≤≤8.因为x为整数，所以x的值为4、5、6、7、8.所以安排方案共有5种.
方案一：装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车；
方案二：装运A种脐橙5车，B种脐橙10车，C种脐橙5车；
方案三：装运A种脐橙6车，B种脐橙8车，C种脐橙6车；
方案四：装运A种脐橙7车，B种脐橙6车，C种脐橙7车；
方案五：装运A种脐橙8车，B种脐橙4车，C种脐橙8车；
（3）设利润为W（百元），则
W=6x×12+5（-2x+20）×16+4x×10=-48x+1600.
∵k=-48<0，∴W的值随x的增大而减小.
要使利润W最大，则x=4，故选方案一.
=-48×4+1600=1408(百元)=14.08(万元)
W
最大
答：当装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车时，获利最大，最大利润为14.08万元.
14.解：（1）y=0.1x+45 .
(2)根据题意，得
解得18≤x≤20.
所以，有如下种植方案：
A种水果（亩）18 19 20
B种水果（亩）32 31 30
利润（万元）11.8 11.9 12 故获利最大的方案为种植A种水果20亩，种植种B水果30亩.
15.解：（1）设A种类型店面的数量为x间，则B种类型店面的数量为(80-x)间，根据题意，得
解之，得
∴A种类型店面的数量为40≤x≤55,且x为整数.
(2) 设应建造A种类型的店面x间，则店面的月租费为
W=400×75%·x+360×90%·(80-x)
=-24x+25920.
∵-24＜0,40≤x≤55,
∴为使店面的月租费最高，应建造A种类型的店面40间.
16.解：设运输路程为x(x>0)千米，用汽车运输所需总费用为y
1
元，用火车运输所需
总费用为y
2
元.则
y
1
=(+2) ×150+8x+1000=10x+1300，
y
2
=(+4) ×150+6x+2000=7.5x+2600.
当y
1> y
2
时，即10x+1300>7.5x+2600，∴x>520；
当y
1= y
2
时，即10x+1300=7.5x+2600，∴x=520；
当y
1< y
2
时，即10x+1300<7.5x+2600，∴x<520.
∴当两地路程大于520千米时，采用火车运输较好；当两地路程等于520千米时，两种运输工具一样；当两地路程小于520千米时，采用汽车运输较好.
17.解：（1）设每台A品牌电脑m元，每张B品牌课桌n元，则有
解得
答：每台A品牌电脑6000元，每张B品牌课桌150元.
（2）有两种方案．
设购电脑x台，课桌y张，则有解得
x=35时，y=675；x=36时，y=630．
方案①：购电脑35台，课桌675张；
方案②：购电脑36台，课桌630张．
18.解：（1）设高级教师招聘x人，则中级教师招聘(40-x)人.
依题意，得2200x+2000(40-x)≤83000.
解此不等式，得x≤15.
又∵x≥13,
∴13≤x≤15.
∵x是正整数，∴x=13,14,15.
∴学校对高级教师，中级教师有三种招聘方案.
方案一：高级教师13人，中级教师27人；
方案二：高级教师14人，中级教师26人；
方案二：高级教师15人，中级教师25人.
（2）∵2200>2000，即高级教师的月薪大于中级教师的月薪．
∴高级教师的招聘人数越小，学校所支付的月工资越少．
∵13<14<15，
∴当高级教师招聘13人，中级教师招聘27人时，学校所支付的月工资最少．。