2020-2021学年福建省漳州市漳浦县九年级(上)期中数学试卷

2020-2021学年福建省漳州市漳浦县九年级（上）期中数
学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.在平行四边形ABCD中，若∠A=50°，则∠C=()
A. 130°
B. 50°
C. 40°
D. 60°
2.下列选项中，矩形具有的性质是()
A. 四边相等
B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等
D. 每条对角线平分一组对角
3.若3x=2y(y≠0)，则下列比例式正确的是()
A. x
3=y
2
B. x
y
=3
2
C. x
2
=3
y
D. x
2
=y
3
4.用配方法将方程x2−4x−1=0变形为(x−2)2=m，则m的值是()
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
5.一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，小
亮通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中黄球可能有()
A. 14个
B. 16个
C. 18个
D. 20个
6.如图，正方形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，AE=BF，
下列结论错误的是()
A. BE=CF
B. ∠AEB+∠BFC=180°
C. ∠DAE=∠BFC
D. AE⊥BF
7.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为一元二次方程(x−2)(x−5)=0的
一个根，则菱形ABCD的周长为()
A. 8
B. 20
C. 8或20
D. 10
8.如图，矩形ABCD中，点E是BC上一动点，连接AE、
DE，以AE、DE为边作▱AEDF，当点E从点B运动到点
C的过程中，▱AEDF的面积()
A. 先变小后变大
B. 先变大后变小
C. 保持不变
D. 一直变大
9. 若关于x 的一元二次方程ax 2+bx −1=0(a ≠0)的一个解为x =−1，则2021−
a +
b 的值是( )
A. 2018
B. 2019
C. 2020
D. 2021
10. 已知线段AB =1，点C 1是线段AB 的黄金分割点(AC 1<BC 1)，点C 2是线段AC 1的黄
金分割点(AC 2<C 1C 2)，点C 3是线段AC 2的黄金分割点(AC 3<C 2C 3)…以此类推，则线段AC 2020的长为( )
A. (12)2020
B. (√5−1)2020
C. (√5−12)2020
D. (3−√52
)2020 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 若a b =53，则a+b
b =______．
12. 把▱ABCD 放入平面直角坐标系中，若对角线的交点为原点，且A(3,−2)，则点C
的坐标为______ ．
13. 三张完全相同的卡片上分别印有平行四边形、菱形、矩形的图案，现将印有图案的
一面朝下，洗匀后从中随机抽取一张，记下图案后放回，再从中随机抽取一张，则两次抽到的卡片印有的图案都是轴对称图形的概率为______ ．
14. 如图，在△ABC 中，DE//BC ，BF 平分∠ABC ，交DE 的延长线于点F ，若AD =2，
BD =4，BC =9.则EF 的长为______ ．
15. 关于x 的一元二次方程kx 2−2(k −1)x +k =0有两个不相等的实数根，则k 的取
值范围为______ ．
16. 如图，矩形ABCD 中，
AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，DF ⊥AE 交AB 于点F ，交AC 于点G ，若EG//AB ，
且BF =1，则AF = ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）
17.解方程：
(1)x2+2x−1=0
(2)x(x−3)=x−3．
18.已知：如图，在四边形ABCD中，AD//BC，DE⊥AC，
BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，求证：四边
形ABCD是平行四边形．
19.证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．(要求画图并写出已知、求证以
及证明过程)
20.如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，点D在边AB上，AD=4，AE平分∠BAC，
交BC于点E，交CD于点F．
(1)求证：△ACD∽△ABC；
(2)求AF
的值．
AE
21.从−2、−1、1、2四张卡片中同时任意抽出两张，并将它们的数分别记为a、b．
(1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果；
(2)现制定这样一个游戏规则：若选出的a、b能使得关于x的一元二次方程ax2+
bx+1=0有两个不相等的实数根，则甲获胜，否则乙获胜，这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．
22.“疫情”期间，小颖在家制作一种工艺品，并通过网络进行线上销售.经过一段时
间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件.若每件工艺品需要19元成本，设该工艺品的售价为x元/件(19≤
x≤40)．
(1)请用含x的代数式表示：
①销售每件工艺品的利润：______ 元；
②每天能售出该工艺品的件数：______ ；
(2)为了支持“抗疫”行动，小颖决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向
医疗基金会捐款1元，若每天销售该工艺品的纯利润为900元，求该工艺品的售价．
23.已知：线段AB、BC，如图1．
(1)求作：四边形ABCD，使得CD=AB，CD//AB；(尺规作图，保留作图痕迹，
不写作法)
(2)在(1)中的四边形ABCD中，如图2，若E是AB的中点，F是CD的中点，AC
与BD相交于点O，求证：点E、F、O在同一条直线上．
24.△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．
(1)若∠ACB=90°，且存在关于x的一元二次方程ax2+√2cx+b=0，如图1．
①当AC≠BC时，求证：该方程有两个不相等的实数根；
②若该方程有一根为x=−1，且△ABC的面积为3，求c的值；
(2)若∠ACB为任意角，如图2，点D、E分别是BC、AB上的点，∠1=∠2=∠3，
若k=BD
a +CD
b
，求k的最大值．
25.如图1，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB边上的动点，BF⊥CE
于点F，连接OF．
(1)求证：∠OBF=∠OCF；
(2)试探究：∠OFC的度数是否为定值？请说明理由；
(3)如图2，将△COF沿CE翻折得到△CGF，连接BG，若BC=2√5，且△BFG是
等腰直角三角形，求OF的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵在平行四边形ABCD中，∠A=50°，
∴∠C=∠A=50°．
故选：B．
由在平行四边形ABCD中，若∠A=50°，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等定理的应用．
2.【答案】C
【解析】解：∵矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等，
∴选项C正确
故选：C．
根据矩形的性质可判断．
本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、由x
3=y
2
得，2x=3y，故本选项比例式不成立；
B、由x
y =3
2
得，2x=3y，故本选项比例式不成立；
C、由x
2=3
y
得，xy=6，故本选项比例式不成立；
D、由x
2=y
3
得，3x=2y，故本选项比例式成立．
故选：D．
根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：x2−4x−1=0，
移项得：x2−4x=1，
配方得：x2−4x+4=5，即(x−2)2=5，
所以m=5．
故选：B．
将方程的常数项移到右边，两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程−配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：
(1)形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．(2)形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
5.【答案】A
【解析】解：设袋子中黄球有x个，
=0.35，
根据题意，得：x
40
解得：x=14，
即布袋中黄球可能有14个，
故选：A．
利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.35，然后根据概率公式计算即可．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6.【答案】B
【解析】解：∵正方形ABCD中，
∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，
在Rt△ABE与△Rt△BCF中，
{AB=BC
AE=BF，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)，
∴BE=CF，∠AEB=∠BFC，
∵∠AEB=∠DAE，
∵∠DAE+∠BAE=90°，∠BFC+∠FBC=90°，
∴∠DAE=∠BFC；
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∠BAE=∠CBF，
∠CBF+∠ABF=90°
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∴AE⊥BF，
故A、C、D正确；
故选：B．
根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质进行判断即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质进行判断．7.【答案】B
【解析】解：∵(x−2)(x−5)=0，
∴x−2=0或x−5=0，
∴x1=2，x2=5，
∵菱形ABCD的一条对角线长为6，
∴AB的长为5，
∴菱形ABCD的周长=4×5=20．
故选：B．
先利用因式分解法解方程得到x1=2，x2=5，再利用菱形的性质确定AB的长为5，从而得到菱形ABCD的周长．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质．8.【答案】C
【解析】解：过点E作EG⊥AD于G，如图所示：
则∠AGE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，
∴四边形ABEG是矩形，
∴EG=AB，
∵四边形AEDF是平行四边形，
AD×EG=AD×AB=矩形ABCD ∴平行四边形AEDF的面积=2△ADE的面积=2×1
2
的面积，
即▱AEDF的面积保持不变；
故选：C．
过点E作EG⊥AD于G，证四边形ABEG是矩形，得出EG=AB，平行四边形AEDF的
AD×EG=AD×AB=矩形ABCD的面积，即可得出结论．面积=2△ADE的面积=2×1
2
本题考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质，证出▱AEDF的面积=矩形ABCD的面积是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：令x=−1代入ax2+bx−1=0(a≠0)，
∴a−b−1=0，
∴原式=2021−(a−b)=2021−1=2020，
故选：C．
令x=−1代入原方程即可求出原式的值．
本题考查一元二次方程的解，解题关键是熟练运用一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
10.【答案】D
【解析】解：∵线段AB=1，点C1是线段AB的黄金分割点(AC1<BC1)，
∴BC1=√5−1
2AB=√5−1
2
AB，
∴AC1=AB−BC1=AB−√5−1
2AB=3−√5
2
AB=3−√5
2
，
同理：AC2=3−√5
2AC1=(3−√5
2
)2，AC3=3−√5
2
AC2=(3−√5
2
)3，…，
∴线段AC2020的长为(3−√5
2
)2020，故选：D．
先由黄金分割点的定义得BC1=√5−1
2AB=√5−1
2
AB，则AC1=3−√5
2
AB=3−√5
2
，同理
AC2=3−√5
2AC1=(3−√5
2
)2，AC3=3−√5
2
AC2=(3−√5
2
)3，…，再由规律即可得出结论．
本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和
整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的√5−1
2
倍，那么这个点就是这条线段的黄金分割点，得出规律是解题的关键．
11.【答案】8
3
【解析】解：∵a
b =5
3
，
∴a+b
b =5+3
3
=8
3
．
故答案为：8
3
．
由a
b =5
3
，根据比例的性质，即可求得a+b
b
的值．
此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是熟练掌握比例的性质与比例变形．12.【答案】(−3,2)
【解析】解：∵平行四边形是中心对称图形，
所以当其对角线的交点为原点时，则A点与C点关于原点对称，
∵A(3,−2)，
∴C(−3,2)．
故答案为：(−3,2)．
因为平行四边形是中心对称图形，若对角线的交点为原点时，则A点与C点关于原点对称，从而根据A点坐标可求C点坐标．
本题主要考查了平行四边形的性质，以及坐标与图形的性质，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
13.【答案】4
9
【解析】解：分别用A、B、C表示平行四边形、菱形、矩形，
画树状图得：
共有9种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的有4种情况，
∴两次抽到的卡片印有的图案都是轴对称图形的概率为4
9
，
故答案为：4
9
．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】1
【解析】解：∵AD=2，BD=4，
∴AB=6，
∵DE//BC，BC=9，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE
BC =AD
AB
，
即DE
9=2
6
，
解得，DE=3，
∵DE//BC，
∴∠DFB=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，BD=4，
∴∠DBF=∠FBC，
∴∠DBF=∠DFB，
∴DB=DF=4，
∴EF=DF−DE=4−3=1，
故答案为：1．
根据三角形的相似，可以求得DE的长，再根据BF平分∠ABC和BD的长，即可求得EF的长．
本题考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】k<1
且k≠0
2
【解析】解：根据题意得k≠0且△=[−2(k−1)]2−4k⋅k>0，
且k≠0．
解得：k<1
2
且k≠0．
所以k的取值范围是：k<1
2
且k≠0．
故答案为k<1
2
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△>0，解得即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
16.【答案】1+√5
2
【解析】解：设AE与FG交于点O，如图：
∵AE平分∠BAC，
∴∠FAE=∠GAE；
∵DF⊥AE，
∴∠AOF=∠AOG=90°，
∴∠AFO=∠AGO，
∴AF=AG；
∵EG//AB，
∴∠GEA=∠FAE，
∵∠FAE=∠GAE，
∴∠GEA=∠GAE，
∴AG=EG，
又∵AF=AG，
∴AF=EG，
∴四边形AFEG为菱形，
∴AG=EG=AF=EF，EF//AC．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠AFO=∠CDG，
∵∠AFO=∠AGO，∠CGD=∠AGO，
∴∠CDG=∠CGD，
∴CD=CG=AB，
设AG=EG=AF=EF=x(x>0)，
∵BF=1，
∴CD=CG=AB=x+1，
∵EF//AC，
∴△BFE∽△BAC，
∴BF：BA=EF：AC，
∴1：(x+1)=x：(x+x+1)∴x(x+1)=2x+1，
解得：x1=1−√5
2(舍)，x2=1+√5
2
．
故答案为：1+√5
2
．
设AE与FG交于点O，先由AE平分∠BAC，DF⊥AE，可得出条件证得AF=AG；再判定四边形AFEG为菱形；由矩形的性质可证得CD=CG=AB；设AG=EG=AF= EF=x(x>0)，则CD=CG=AB=x+1，由EF//AC，可得△BFE∽△BAC，由相似三角形的性质可得比例式，解方程求得x的值并作出取舍即可．
本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质及角平分线的定义等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
17.【答案】解：(1)x2+2x−1=0，
x2+2x=1，
x2+2x+1=1+1，
(x+1)2=2，
x+1=±√2，
x1=−1+√2，x2=−1−√2；
(2)x(x−3)=x−3，
x(x−3)−(x−3)=0，
(x−3)(x−1)=0，
x−3=0或x−1=0，
x1=3，x2=1．
【解析】(1)移项后配方，即可得出两个一元一次方程，然后用开方法求出方程的解即可；
(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
18.【答案】证明：∵AD//BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED=∠CFB=90°，在△AED和△CFB中，
{∠AED=∠CFB ∠DAE=∠BCF DE=BF
，
∴△AED≌△CFB(AAS)，
∴AD=BC，
又∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】先证△AED≌△CFB(AAS)，得AD=BC，又由AD//BC，即可得出四边形ABCD 是平行四边形．
此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
19.【答案】已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD
是斜边AB上的中线，
求证：CD=1
2
AB；
证明：如图，延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=BD，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形AEBC是矩形，
∴AD=BD=CD=DE，
∴CD=1
2
AB．
【解析】作出图形，然后写出已知，求证，延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形AEBC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AEBC是矩形，然后根据矩形的对角线
互相平分且相等可得CD=1
2
AB．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质证明，作辅助线，构造出矩形是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AB=9，AC=6，AD=4，
∴AD
AC =4
6
=2
3
，AC
AB
=6
9
=2
3
，
∴AD
AC =AC
AB
，
又∵∠DAC=∠CAB，
∴△ACD∽△ABC；
(2)解：∵△ACD∽△ABC，
而AE平分∠BAC，
即AF为∠DAC的平分线，AE为∠CAD的平分线，
∴AF
AE =AD
AC
=2
3
．
【解析】(1)先通过计算得到AD
AC =AC
AB
=2
3
，然后根据相似三角形的判定方法可得到结论；
(2)直接利用相似三角形对应角平分线的比等于相似比求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，利用相似比进行几何计算．
21.【答案】解：(1)列表如下：
(2)这个游戏规则对双方公平，理由如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中能使得关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根的结果共有6种，
∴甲和乙获胜的概率都是6
12=1
2
，
∴这个游戏规则对双方公平．
【解析】(1)利用列表法可得所有等可能结果；
(2)从所有等可能结果中找到使一元二次方程ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根
的结果数，从而求出甲、乙获胜的概率，据此可得答案．
本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法的运用．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
22.【答案】(x−19)(180−3x)件
【解析】解：(1)①∵每件工艺品需要19元成本，该工艺品的售价为x元/件，
∴销售每件工艺品的利润为(x−19)元．
故答案为：(x−19)．
②∵当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，该工艺品的售价为x元/件，
∴每天能售出该工艺品60+3(40−x)=(180−3x)件．
故答案为：(180−3x)件．
(2)依题意得：(x−19−1)(180−3x)=900，
整理得：x2−80x+1500=0，
解得：x1=30，x2=50．
又∵19≤x≤40，
∴x2=50不符合题意，舍去．
答：该工艺品的售价为30元/件．
(1)①根据利润=售价−成本价，即可含x的代数式表示出销售每件工艺品的利润；
②根据每天售出该工艺品的件数=60+3×降低的价格，即可用含x的代数式表示出每天能售出该工艺品的件数；
(2)根据总利润=销售每件工艺品的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合条件的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各量；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】解：(1)如图1，四边形ABCD为所作；
(2)连接OE、OF，如图2，
∵CD=AB，CD//AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵CF=DF，BE=AE，
∴OF为△BCD的中位线，OE为△ABC的中位线，
∴OF//BC，OE//BC，
∴点E、F、O在同一条直线上．
【解析】(1)分别以C点、A点为圆心，AB、BC为半径画弧，两弧相交于点D，然后连接CD、AD即可；
(2)连接OE、OF，如图2，先判断四边形ABCD为平行四边形，则OA=OC，OB=OD，再证明OF为△BCD的中位线，OE为△ABC的中位线，所以OF//BC，OE//BC，然后
根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行可判断点E、F、O在同一条直线上．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．
24.【答案】解：(1)①当∠ACB=90°时，c2=a2+b2，
∵AC≠BC，
∴a≠b，
∵△=(√2c)2−4ab=2c2−4ab=2a2+2b2−4ab=2(a−b)2>0，
∴该方程有两个不相等的实数根；
②∵△ABC的面积为3，
∴1
2
ab=3，
∴ab=6，
∵方程有一根为x=−1，
∴a−√2c+b=0，
∴a+b=√2c，
∴(a+b)2=2c2，
∴a2+b2+2ab=2c2，
又∵c2=a2+b2，
∴c2=a2+b2=12，
∴c=2√3；
(2)∵∠1=∠3，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，
∴CD
b =b
a
，
∴CD=b2
a
，
∴BD=BC−CD=a−b2
a =a2−b2
a
，
∴k=BD
a +CD
b
=a2−b2
a2
+b
a
，
∴(b
a )2−(b
a
)+k−1=0，
∵b
a
为实数，
∴△=(−1)2−4(k−1)≥0，
解得k≤5
4
，
∴k的最大值为5
4
．
【解析】(1)①由勾股定理可得c2=a2+b2，即可求△=2(a−b)2>0，则可得结论；
②由面积公式可得ab=6，将x=−1代入可得a+b=√2c，利用勾股定理可求解；
(2)通过证明△ACD∽△BCA，可得CD=b2
a ，可求BD=a2−b2
a
，由一元二次方程根的判别
式可求解．
本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
25.【答案】解：(1)设OB交BE于点H，则∠BHF=∠CHO，
∵BF⊥CE，
∴∠BFH=90°，
∵AC⊥BD，
∴∠COH=90°，
∴∠BFH=∠COH，
在△BFH中，∠OBH+∠BFH+∠BHF=180°，
在△OCH中，∠OCF+∠COH+∠CHO=180°，
∴∠OBF=∠OCF；
(2)是定值，理由：
如图2，∵四边形ABCD为正方形，则BC=√2OC，
∵∠CFB=∠CBE，∠BCF=∠ECB，
∴△BCF∽△ECB，
∴CB
CE =CF
BC
，即BC2=CE⋅CF，
∴CO
CE =CF
2CO
，即CO
CE
=CF
AC
，
∵∠OCF=∠ECA，
∴△COF∽△CEA，
∴∠COF=∠CEA=45°，
即∠OFC的度数为定值；
(3)如图，过点O作OH⊥BF交BF的延长线于点H，
由(2)知△COF∽△CEA，
∴∠CFO=∠CAE=45°，
∴△OHF为等腰直角三角形，
设OH=x，则FG=OF=√2x，
∵BF=2√5，
∴OB=√2
BC=√10，
2
∵△BFG为等腰直角三角形，∠BFG≠90°，
故共有2种情况，
①当∠BGF=90°时，
则BF=√2FG=2x，
在Rt△BOH中，OH2+BH2=OB2，则x2+(3x)2=(√10)2，解得x=1，则OF=√2x=√2；
②当∠FBG=90°时，如图3，
BF=√2
FG=x，HF=OH=x，
2
在Rt△BHO中，OH2+BH2=OB2，则x2+(2x)2=(√10)2，解得x=√2，则OF=√2x=2；
综上，OF的长为√2或2．
【解析】(1)证明∠BFH=∠COH，在△BFH中，∠OBH+∠BFH+∠BHF=180°，在△OCH中，∠OCF+∠COH+∠CHO=180°，即可求解；
(2)证明△BCF∽△ECB，则BC2=CE⋅CF，即CO
CE =CF
AC
，而∠OCF=∠ECA，故△COF∽△
CEA，即可求解；
(3)当∠BGF=90°时，则BF=√2FG=2x，在Rt△BOH中，OH2+BH2=OB2，则x2+ (3x)2=(√10)2，解得x=1，即可求解；当∠FBG=90°时，如图3，BF=√2
2
FG=x，HF=OH=x，在Rt△BHO中，OH2+BH2=OB2，则x2+(2x)2=(√10)2，解得x=√2，即可求解．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、三角形相似、解直角三角形、等腰直角三角形的性质等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．。