新人教A版高一上学期数学函数的基本性质单元测试卷解析版

新人教A 版高一上学期
函数的基本性质单元测试卷 解 析 版
考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150
分,考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题（每小题5分,共40分）
1. 若全集{}4,3,2,1,0=U ,{}4,3,2=M ,{}3,2,1,0=N ,则图中阴影部分所表示的集合为 【 】
（A ）{}3,2 （B ）{}2,1,0 （C ）{}3,2,1 （D ）{}1,0 答案 【 D 】
解析 本题考查集合的基本运算.
在上面Venn 图中,阴影部分表示的集合为C N （N M ）或（C U M ）N . 方法一 ∵{}4,3,2=M ,{}3,2,1,0=N ,∴{}3,2=N M . ∴C N （N M ）{}1,0=.
方法二 ∵{}4,3,2,1,0=U ,{}4,3,2=M ,{}3,2,1,0=N ∴C U M ）{}1,0=,∴（C U M ）=N {}1,0. ∴选择答案【 D 】.
2. 已知集合{}3,2,1,0,1,2--=A ,集合⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-==24x y x B ,则=B A
【 】 （A ）[]2,2- （B ）{}1,0,1- （C ）{}2,1,0,1,2-- （D ）{}3,2,1,0 答案 【 C 】
解析 本题考查集合的基本运算.
集合B 表示的是函数24x y -=的定义域,解不等式24x -≥0得:2-≤x ≤2. ∴{}22≤≤-=x x B . ∴=B A {}2,1,0,1,2--. ∴选择答案【 C 】.
3. 已知()x f ,()x g 定义在同一区间上,()x f 是增函数,()x g 是减函数,且()0≠x g ,则 【 】 （A ）()()x g x f +为减函数 （B ）()()x g x f -为增函数 （C ）()()x g x f 是减函数 （D ）()()
x g x f 是增函数
答案 【 B 】
解析 本题考查函数单调性的运算性质.
设函数()x f ,()x g 定义在同一区间D 上,设()()()x g x f x h -=. ∵()x f 是增函数,()x g 是减函数
∴D x x ∈∀21,,且21x x <,则有()()21x f x f <,()()21x g x g >.
∴()()()()()()[]()()[]()()[]01221221121<-+-=---=-x g x g x f x f x g x f x g x f x h x h . ∴()()21x h x h <.
∴()()()x g x f x h -=在D 上为增函数. ∴选择答案【 B 】.
说明 事实上,函数()x g 与函数()x g -具有相反的单调性,因为()x f ,()x g 定义在同一区间上,()x f 是增函数,()x g 是减函数,所以函数()x g -为增函数,根据函数单调性的运算性质,则有()()()()()x g x f x g x f -+=-为增函数.
4. 函数()x f y =在R 上为减函数,且()()1023+-<a f a f ,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）()2,-∞- （B ）()+∞,0 （C ）()+∞,2 （D ）()()+∞-∞-,22, 答案 【 C 】
解析 本题考查根据函数的单调性解不等式.
∵()()1023+-<a f a f ,函数()x f y =在R 上为减函数 ∴1023+->a a ,解之得:2>a . ∴实数a 的取值范围是()+∞,2. ∴选择答案【 C 】.
5. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,21,⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k
x x N ,12,若M x ∈0,则0x 与N 的关系
是 【 】 （A ）N x ∈0 （B ）N x ∉0 （C ）N x ∈0或N x ∉0 （D ）不能确定 答案 【 A 】
解析 本题考查集合与元素、集合与集合之间的基本关系.
∵⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=
=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x Z k k x x M ,21
2,21, ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x Z k k x x N ,22
,12
∴N M ⊆.
∴M x ∈0,则N x ∈0. ∴选择答案【 A 】.
6. 已知{}42<<-∈=x Z x A ,⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≥-=112x x
B ,则 A （
C R B ）的元素个数为 【 】
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案 【 C 】
解析 本题考查集合的基本运算.
{}{}3,2,1,0,142-=<<-∈=x Z x A .
解不等式
1
2
-x ≥1得:x <1≤3. ∴{}31≤<=x x B ,∴C R B {}
31>≤=x x x 或. ∴ A （C R B ）{}1,0,1-=,共有3个元素.
∴选择答案【 C 】.
7. 已知集合{}3,1=P ,则满足{}4,3,2,1=Q P 的集合Q 的个数是 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案 【 D 】
解析 本题考查集合的基本运算和集合之间的基本关系. ∵集合{}3,1=P ,且满足{}4,3,2,1=Q P ∴{}4,3,2,1⊆Q ,且集合Q 中必含有元素2,4.
∴{}4,2=Q ,或{}4,2,1=Q ,或{}4,3,2=Q ,或{}4,3,2,1=Q ,共有4个. ∴选择答案【 D 】.
8. 如果奇函数()x f 在[]7,3上是增函数且最小值是5,那么()x f 在[]3,7--上是 【 】 （A ）减函数且最小值是5- （B ）减函数且最大值是5- （C ）增函数且最小值是5- （D ）增函数且最大值是5- 答案 【 D 】
解析 本题考查奇函数的性质.
奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.
由题意可知,函数()x f 在[]3,7--上是增函数且最大值为()()533-=-=-f f . ∴选择答案【 D 】.
9. 若关于x 的不等式()()021>--x mx 的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<21x m x ,则m 的取值范围是 【 】
（A ）()+∞,0 （B ）()2,0 （C ）⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,21 （D ）()0,∞-
答案 【 D 】
解析 本题考查根据二元一次不等式的解集确定参数的值或取值范围. 显然,0≠m .
∴不等式()()021>--x mx 可化为()021>-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-x m x m .
∵该不等式的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ,∴0<m ,且满足21
<m .
∴m 的取值范围是()0,∞-. ∴选择答案【 D 】.
Z10. 已知()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=--=323
,x y y x M ,(){}02,=++=a y ax y x N ,且∅=N M ,则=a 【 】 （A ）6-或2- （B ）6- （C ）2或6- （D ）2 答案 【 A 】
解析 本题考查集合的基本运算.先确定集合M 、N .
当2≠x 时,集合M 可化为:(){}33,-==x y y x M ,集合M 不包含点()3,2
()⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧-
-==22,a x a
y y x N . 分为两种情况:
①当直线33-=x y 和直线22a x a y --=平行时,满足∅=N M ,此时⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧-≠-
=-32
32a
a
,解之得:6-=a ; ②当直线22a x a y --
=经过点()3,2时,满足∅=N M ,此时32
=--a
a ,解之得:2-=a . 综上所述,实数a 的值为6-或2-. ∴选择答案【 A 】.
11. 设()()[]⎩
⎨⎧<+≥-=10,610
,2x x f f x x x f ,则()=5f 【 】
（A ）10 （B ）11 （C ）12 （D ）13 答案 【 B 】
解析 本题考查求分段函数的函数值.
()()[]()()()[]()()1121313215159211115=-==-===-==f f f f f f f f f .
∴选择答案【 B 】.
12. 设()x f 是R 上的偶函数,且在()+∞,0上是减函数,若01<x 且021>+x x ,则 【 】 （A ）()()21x f x f ->- （B ）()()21x f x f -=-
（C ）()()21x f x f -<- （D ）()1x f -与()2x f -的大小不确定
答案 【 A 】
解析 本题考查偶函数的性质. ∵()x f 是R 上的偶函数
∴()()11x f x f =-,()()22x f x f =-. ∵01<x ,021>+x x ,∴210x x <-<. ∵函数()x f 在()+∞,0上是减函数 ∴()()21x f x f >-,∴()()21x f x f ->-. ∴选择答案【 A 】.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题5分,共20分）
13. 已知集合{}
0822<-+=x x x A ,{}125-<<-=m x m x B ,若=U R , A （C U B ）A =,则实数m 的取值范围是__________. 答案 (]3,∞-
解析 本题考查根据集合之间的基本关系确定参数的值或取值范围.
{}
{}240822<<-=<-+=x x x x x A .
∵{}125-<<-=m x m x B ,若=U R ∴C U B {}
125-≥-≤=m x m x x 或. ∵ A （C U B ）A =,∴⊆A C U B .
当∅=B 时, C U B =R ,满足⊆A C U B ,此时m -5≥12-m ,解之得:m ≤2;
当∅≠B 时,则有⎩⎨⎧≥--<-25125m m m 或⎩
⎨⎧-≤--<-4121
25m m m ,解之得:m <2≤3.
综上所述,实数m 的取值范围是(]3,∞-.
14. 已知函数()x f 满足()x x f x f 312+⎪⎭
⎫
⎝⎛=,则()x f 的解析式为__________.
答案 ()x
x x f 2-
-=
解析 本题考查求函数的解析式.本题采用解方程组法求解.
已知中含有⎪⎭
⎫
⎝⎛x f x f 1),(或)(),(x f x f -形式的函数,求函数)(x f 的解析式,用解方程组法.
用
x 1代替等式中的x ,得到()x x f x f 321+=⎪⎭
⎫
⎝⎛.
解方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧+=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭
⎫
⎝⎛=x x f x f x x f x f 321312得:()x x x f 2--=.
15. 已知()(){}
上的增函数是+∞+-==,313322ax x x f a A ,[]⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-∈+=
=3,1,25
x x y y B ,则C R （B A ）=__________. 答案 ()()+∞∞-,41,
解析 本题考查利用函数的单调性求参数的值或取值范围以及确定函数的值域. 函数()13322+-=ax x x f 的图象开口向上,对称轴为直线4
3a x =. ∵函数()x f 在()+∞,3上是增函数
∴
4
3a
≤3,解之得:a ≤4,∴(]4,∞-=A . ∵函数2
5
+=x y 在[]3,1-上是减函数
∴[]5,1∈y ,即[]5,1=B .
∴[]4,1=B A ,∴C R （B A ）=()()+∞∞-,41, .
Z16. 设函数()12++=a ax x f ,当1-≤x ≤1时,()x f 的值有正有负,则实数a 的取值范围是__________.
答案 ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--31,1
解析 本题考查一次函数的单调性.
当0>a 时,则有()()⎩⎨⎧><-0101f f ;当0<a 时,则有()()⎩
⎨⎧<>-010
1f f .
∴()()011<⋅-f f ,∴()()01212<++++-a a a a ,解之得:3
1
1-<<-a .
∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--31,1.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）
已知集合()(
){
}
011222>++++-=a a y a a y y A ,⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤≤+-==30,25
212x x x y y B .
（1）若∅=B A ,求实数a 的取值范围;
（2）当a 取使不等式12+x ≥ax 恒成立的a 的最小值时,求（C R A ）B . 解:（1）由()()
011222>++++-a a y a a y 得:()()[]
012>+--a y a y . 解之得:12+>a y ,或a x <. ∴{}
a y a y y A <+>=或12. ∵()212
125212
2+-=+-=
x x x y ,[]3,0∈x ∴[]4,2∈y ,∴{}42≤≤=y y B . ∵∅=B A
∴⎩
⎨⎧≥+≤4122a a ,解之得:a ≤3-或3≤a ≤2.
∴实数a 的取值范围是(][]2,33,
-∞-;
（2）若不等式12+x ≥ax ,即12+-ax x ≥0恒成立,则有
42-=∆a ≤0,解之得:2-≤a ≤2.
∴a 的最小值为2-.
当2-=a 时,{}
25-<>=y y y A 或,∴C R A {}52≤≤-=y y . ∴（C R A ）B {}42≤≤=y y . 18.（本题满分12分）
已知奇函数()()
()()
⎪⎩⎪
⎨⎧<+=>+-=00,0022
2x mx x x x x x x f .
（1）求实数m 的值,并在给出的直角坐标系中画出函数()x f 的图象; （2）若函数()x f 在区间[]
2,1--a 上单调递增,试确定实数a 的取值范围.
解:（1）设0<x ,则0>-x . ∵当0>x 时,()x x x f 22+-= ∴()x x x f 22--=-.
∵()x f 为奇函数,∴()x x x f 22--=-. ∴()mx x x x x f +=+=222. ∴2=m .
函数()x f 的图象如图所示;
（2）由函数图象可知,函数()x f 的单调递增区间为[]1,1-. ∵函数()x f 在区间[]
2,1--a 上单调递增 ∴[]
[]1,12,1-⊆--a .
∴21-<-a ≤1,解之得:3-≤1-<a 或a <1≤3. ∴实数a 的取值范围是[)(]3,11,3 --. 19.（本题满分12分）
已知二次函数()x f 的最小值为1,()()320==f f . （1）求()x f 的解析式;
（2）若()x f 在区间[]1,2+a a 上不单调,求实数a 的取值范围; （3）若[]2,+∈t t x ,求函数()x f 的最小值. 解:（1）∵二次函数()x f 满足()()320==f f ∴函数()x f 的图象的对称轴为直线12
2
0=+=
x . 可设二次函数()x f 的解析式为()()112
+-=x a x f .
()32=f ,∴31=+a ,解之得:2=a .
∴()()34211222
+-=+-=x x x x f ;
（2）∵()x f 在区间[]1,2+a a 上不单调 ∴112+<<a a ,解之得:2
10<
<a . ∴实数a 的取值范围是⎪⎭
⎫
⎝⎛21,0;
（3）当2+t ≤1,即t ≤1-时,()x f 在[]2,+t t 上单调递减. ∴()()34222min ++=+=t t t f x f ;
当21+<<t t ,即11<<-t 时,()()11min ==f x f ; 当t ≥1时,()x f 在[]2,+t t 上单调递增. ∴()()3422min +-==t t t f x f .
综上所述,()⎪⎩⎪
⎨⎧≥+-<<--≤++=1
,34211,11,3422
2min
t t t t t t t x f . 20.（本题满分12分） 已知函数()a x x x f -+=2.
（1）当1=a 时,求函数()x f 的最小值; （2）试讨论函数()x f 的奇偶性,并说明理由. 解:（1）当1=a 时,()122-+=-+=x x a x x x f .
∴()⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=1,11,122x x x x x x x f ,∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1,43211,452122x x x x x f . ∵函数()x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,上单调递减,在⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,21上单调递增 ∴()4
321min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f ; （2）易知函数()x f 的定义域为R ,关于原点对称.
若函数()x f 为奇函数,则()00=-=a f ,解之得:0=a ,此时()x x x f +=2,为偶函数,不满足()x f 为奇函数;
若函数()x f 为偶函数,则()()a x x x f a x x x f -+==--+=-22,∴a x a x -=+. ∴()()2
2a x a x -=+,∴04=ax ,∴0=a ,由上面知()x f 为偶函数. ∴当0=a 上,函数()x f 为偶函数;当0≠a 时,函数()x f 为非奇非偶函数.
21.（本题满分12分）
已知函数()x f 的定义域为[]1,1-,若对于任意的[]1,1,-∈n m ,都有()()()n f m f n m f +=+,且0>x 时,有()0>x f .
（1）判断并证明函数()x f 的奇偶性;
（2）判断并证明函数()x f 的单调性.
（3）设()11=f ,若()122+-<at t x f ,对所有[]1,1-∈x ,[]1,1-∈a 恒成立,求实数t 的取值范围. 解:（1）函数()x f 为奇函数.
理由如下:由题意知函数()x f 的定义域关于原点对称.
令0==n m ,则有()()020f f =,∴()00=f .
令x n x m -==,,∵[]1,1,-∈n m ,∴[]1,1,-∈-x x .
∴()()()00=-+=x f x f f ,∴()()x f x f -=-.
∴函数()x f 为奇函数;
（2）函数()x f 是[]1,1-上的增函数.
理由如下:任取[]1,1,21-∈x x ,且21x x <,则有
()()()()()()()()()121112111212x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f -=-+-=-+-=-.
∵21x x <,∴012>-x x .
∵0>x 时,有()0>x f ,∴()012>-x x f .
∴()()()()2112,0x f x f x f x f <>-.
∴函数()x f 是[]1,1-上的增函数;
（3）∵函数()x f 是[]1,1-上的增函数
∴()()11max ==f x f .
∵()122+-<at t x f ,对所有[]1,1-∈x ,[]1,1-∈t 恒成立
∴1212+-<at t ,即022>-at t ,[]1,1-∈a 恒成立.
设()2222t at at t a g +-=-=,则有
()()⎪⎩
⎪⎨⎧>+-=>+=-02102122t t g t t g ,解之得:2-<t 或2>t . ∴实数t 的取值范围是()()+∞-∞-,22, .
22.（本题满分12分）
已知二次函数()c bx ax x f ++=2满足()20=f ,()()121-=-+x x f x f .
（1）求函数()x f 的解析式;
（2）若关于x 的不等式()0>-t x f 在[]2,1-上有解,求实数t 的取值范围;
（3）若函数()()mx x f x g -=的两个零点分别在区间()2,1-和()4,2内,求实数m 的取值范围. 解:（1）∵()20=f
∴()2,22++==bx ax x f c .
∵()()121-=-+x x f x f
∴()()12221122
-=---++++x bx ax x b x a ∴122-=++x b a ax
∴⎩⎨⎧-=+=122b a a ,解之得:⎩
⎨⎧-==21b a . ∴()222+-=x x x f ;
（2）∵()0>-t x f ,即()t x f >在[]2,1-上有解 ∴()t x f >max ,[]2,1-∈x .
∵()()11222
2+-=+-=x x x x f ,[]2,1-∈x ∴()()()511112
max =+--=-=f x f . ∴5<t .
∴实数t 的取值范围是()5,∞-;
（3）()()()222++-=-=x m x mx x f x g .
由题意可知:()()()⎪⎩
⎪⎨⎧>-=<-=>+=-0410********m g m g m g ,解之得:251<<m . ∴实数m 的取值范围是⎪⎭
⎫ ⎝⎛25,1.。