高考数学(理)大一轮复习习题：不等式的性质及一元二次不等式 word版含答案

课时达标检测（三十三） 不等式的性质及一元二次不等式
1．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1b
B ．|a |>|b |
C ．a ＋b <2ab
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭
⎪⎫12b 解析：选C ∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a
<⎝ ⎛⎭
⎪⎫12b .故C 项不成立．
2．函数f (x )＝ 1－x
x ＋2
的定义域为( ) A ． B ．(－2,1]
C ．∪．
3．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xz
D ．x |y |>z |y |
解析：选C 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，又y >z ，所以
xy >xz ，故选C.
4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－4x ＋3<0，
2x 2
－7x ＋6>0
的解集是( )
A ．(2,3) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32∪(2,3)
C.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析：选B ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2
－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0，∴x <
32
或x >2，∴原不等式组的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32∪(2,3)． 5．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为－13，12，则不等式－cx 2
＋2x －a >0的解
集为________．
解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧
－13＋12＝－2a
，－13×12＝c
a ，
∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2
＋2x
－a >0，即为－2x 2
＋2x ＋12>0，即x 2
－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．
答案：(－2,3)
一、选择题
1．设集合A ＝{x |x 2
＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1
x －1
的定义域，则A ∩B 等于( )
A ．(1,2)
B ．
C ．
解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．
2．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2
>bc 2
B.a c >b
c
⇒a >b
C.
⎭⎪⎬⎪⎫a >b ab <0⇒1a >1
b
D.
⎭⎪⎬⎪⎫a >b ab >0⇒1a >1
b
解析：选C 当c ＝0时，ac 2
＝0，bc 2
＝0，故由a >b 不能得到ac 2
>bc 2
，故A 错误；当
c <0时，a c >b c ⇒a <b ，故B 错误；因为1a －1b ＝b －a
ab >0⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
ab >0，a <b 或⎩
⎪⎨
⎪⎧
ab <0，
a >
b ，故选项D 错误，
C 正确．故选C.
3．已知a >0，且a ≠1，m ＝a a 2＋1
，n ＝a a ＋1
，则( )
A ．m ≥n
B ．m >n
C ．m <n
D ．m ≤n
解析：选B 由题易知m >0，n >0，两式作商，得m n
＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)
，当a >1时，a (a
－1)>0，所以a
a (a －1)
>a 0＝1，即m >n ；当0<a <1时，a (a －1)<0，所以a
a (a －1)
>a 0
＝1，即m >n .
综上，对任意的a >0，a ≠1，都有m >n .
4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x －3≤0，
x 2
＋4x －1＋a
≤0
的解集不是空集，则实数a 的取值范围是
( )
A ．(－∞，－4]
B ．
D ．，假设⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x －3≤0，
x 2
＋4x －a ＋1≤0
的解集为空集，则不等式x 2
＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2
＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0，
即a <－4，则使⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
－2x －3≤0，x 2
＋4x －1＋a
≤0
的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4.
5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间上有解，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
23
5，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－
23
5，1
C ．(1，＋∞)
D.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－235 解析：选A 由Δ＝a 2
＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－23
5
，
故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
23
5，＋∞. 6．在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎫a c b d ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛⎭⎫
x －1a ＋1 a －2x ≥1对任意实数x 恒成
立，则实数a 的最大值为( )
A ．－12
B ．－32 C.12 D.32
解析：选D 由定义知，不等式⎝⎛
⎭⎫x －1a ＋1
a －2x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2
－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴a 2
－a ≤34，解得－
12≤a ≤32，则实数a 的最大值为3
2
.
二、填空题
7．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题： ①若1a <1b ，则c a <c b ；②若a c 2<b
c
2，则a <b ；
③若a >b ，则a ·2c
>b ·2c
.
其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)． 解析：①若c ≤0，则命题不成立．②由a c 2<b c 2得a －b
c 2
<0，于是a <b ，所以命题正确．③中由2c
>0知命题正确．
答案：②③
8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1a >0的解集是________．
解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a
.
答案：⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
a <x <
1
a 9．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋ax ，x ≥0，
bx 2
－3x ，x ＜0为奇函数，则不等式f (x )＜4的解集为
________．
解析：若x >0，则－x <0，则f (－x )＝bx 2
＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，
即bx 2＋3x ＝－x 2
－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－3x ，x ≥0，－x 2
－3x ，x ＜0.当x ≥0时，
由x 2
－3x ＜4解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2
－3x ＜4解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)．
答案：(－∞，4)
10．(2016·西安一模)若关于x 的二次不等式x 2
＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．
解析：不等式x 2
＋mx ＋1≥0的解集为R ，相当于二次函数y ＝x 2
＋mx ＋1的最小值非负，即方程x 2
＋mx ＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m 2
－4≤0，解得－2≤m ≤2.
答案： 三、解答题
11．已知f (x )＝－3x 2
＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；
(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2
＋6a ＋3>0， 即a 2
－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，
∴方程－3x 2
＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋3＝
a 6－a
3
，－1×3＝－6－b
3
，解得⎩⎨
⎧
a ＝3±3，
b ＝－3.
故a 的值为3＋3或3－3，b 的值为－3.
12．已知函数f (x )＝x 2
－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝
f x
x
(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．
解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1
x
－4.
因为x >0，所以x ＋1
x
≥2.
当且仅当x ＝1
x
时，
即x ＝1时，等号成立． 所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝
f x
x
的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2
－2ax －1，
所以要使得“对任意的x ∈，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2
－2ax －1≤0在恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2
－2ax －1， 则只要g (x )≤0在上恒成立即可．
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
g 0≤0，
g 2
≤0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
0－0－1≤0，
4－4a －1≤0，
解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。