中考数学一轮复习知识讲解例题解析强化训练：分式方程试题

2021年中考数学一轮复习
知识讲解+例题解析+强化训练：分式方程
◆知识讲解
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程．
2．解分式方程的根本思想方法
分式方程−−−→去分母换元
整式方程． 3．解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验
4．列分式方程解应用题的步骤和考前须知
列分式方程解应用题的一般步骤为：
①设未知数：假设把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，那么称为直接设未知数，否那么称间接设未知数；
②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或者列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；
③列出方程：根据题目中明显的或者者隐含的相等关系列出方程；
④解方程并检验；
⑤写出答案．
注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进展检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去．
◆例题解析
例1 〔2021，〕解方程：2x x ++22x x +-=284
x -．
【分析】由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是──去分母法，并且在解此方程时必须验根．
【解答】去分母，得x〔x－2〕+〔x+2〕=8．
x2－2x+x2+4x+4=8
整理，得x2+x－2=0．
解得x1=－2，x2=1．
经检验，x1=1为原方程的根，x2=－2是增根．
∴原方程的根是x=1．
【点评】去分母法解分式方程的详细做法是：把方程的分母分解因式后，找出分母的最简公分母；然后将方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程．注意去分母时，不要漏乘；最后还要注意解分式方程必须验根，并掌握验根的方法．
例2 〔2021，旅顺口区〕关于x的方程2x2－kx+1=0的一个解与方程21
1
x
x
+
-
=4的解
一样．
〔1〕求k的值；
〔2〕求方程2x2－kx+1=0的另一个解．
【分析】解分式方程必验根．
【解答】〔1〕∵21
1
x
x
+
-
=4，
∴2x+1=4－4x，
∴x=1
2
．
经检验x=1
2
是原方程的解．把x=
1
2
代入方程2x2－kx+1=0，解得k=3．
〔2〕解2x2－3x+1=0，得x1=1
2
，x2=1．
∴方程2x2－kx+1=0的另一个解为x=1．
【点评】分式方程与一元二次方程“珠联壁合〞，旨在通过分式方程的解来确定一元二次方程的待定系数，起到通过一题考察多个知识点的目的．
例3 〔2021，〕某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲，乙两个工程队竞标，•竞标资料上显示：•假设由两队合做，•6•天可以完成，•一共需工程费用10200元；假设单独完成此项工程，甲队比乙队少用5天，•但甲队每天的工程费用比乙队多300元，工程指挥部决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，•假设从节资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？为什么？
【分析】解答此题的关键是先求出每个工程队单独完成此项工程用的天数和每天的费用，并弄清以下关系：①甲队6天完成的工程+乙队6天完成的工程=1；•②甲队6天的费用+乙队6天的费用=10200元；③乙队单独完成的天数=甲队单独完成的天数+•5天；④乙队每天的工程费用=甲队每天的工程费用－300元．
【解答】设甲工程队单独完成需x天，每天需费用m元，•那么乙工程队单独完成需〔x+5〕天，每天需费用〔m－300〕元．
根据题意，得6
x
+
6
5
x
=1，整理得x2－7x－30=0．
解得x1=10，x2=－3，经检验：x1=10，x2=－3都是原方程的解，但x2=－3不合题意，∴x=10．•
又6〔m+n－300〕=10200，解得m=1000，
∴甲工程队单独完成需费用10×1000=10000〔元〕，
乙工程队单独完成需费用15×700=10500〔元〕．
答：假设由一个队单独完成，从节约资金的角度考虑，应由甲工程队单独完成．
【点评】分式方程的应用，解题时要检验，先检验所求x•的值是否是方程的解，再检验是否符合题意．
◆强化训练
一、填空题
1．方程
3x =470x
-的解为_____． 2．方程72x -=5x
的解为______． 3．方程34x x --+14x
-=1的解为______． 4．方程2211113
x x -=--的解为______． 5．某同学解分式方程||11x x --=0，得出原方程的解为x=1或者x=－1，你认为他的解答对吗？请你作出判断，并说明理由________．
6．假如方程
211x k x x x
++--=2有增根x=1，那么k=______． 7．用换元法解分式方程21x x -－21x x -=2时，假如设21x x -=y ，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是________．
8．2004年4月18日零时起，全国铁路第五次大提速，•其中进出疆列车提速幅度最大的是至的1084次列车，全程缩短了9h ．至的行程为3405km ，提速前的平均速度约为52km/h ，求提速后的平均速度．•设提速后平均速度为xkm/h ，那么可列出方程________．
9．〔2021，〕为了帮助地震灾区重建家园，某号召师生自愿捐款．•第一次捐款总额为20000元，第二次捐款总额为56000元．第二次捐款人数是第一次的2倍，而且人均捐款额比第一次多20元．求第一次捐款的人数是多少？假设设第一次捐款的人数为x ，那么根据题意可列方程为______．
二、选择题
10．将方程243211
x x x -=-++=2－去分母并化简后，得到的方程是〔 〕 A ．x 2－2x －3=0 B ．x 2－2x －5=0 C ．x 2=0 D ．x 2－5=0
11．方程
31
(3)3
x x x
+
++
=1的根是〔〕
A．x1=1，x2=－3 B．x1=－1，x2=3 C．x=1 D．x=－3
12．用换元法解方程〔x2+x〕2+〔x2+x〕=6时，假如设x2+x=y，那么原方程可变形为〔〕A．y2+y－6=0 B．y2－y－6=0 C．y2－y+6=0 D．y2+y+6=0
13．用换元法解方程x2－2x+
27 2
x x
-
=8．假设设x－2x=y，那么原方程化为关于y的整式方程是〔〕
A．y2+8y－7=0 B．y2－8y－7=0 C．y2+8y+7=0 D．y2－8y+7=0
14．用换元法解分式方程
2
2
2(1)6
1
x x
x x
+
+
+
=7时，假如设y=，那么将原方程化为关于y的
一元二次方程的一般形式是〔〕
A．2y2－7y+6=0 B．2y2+7y+6=0 C．y2－7y+6=0 D．y2+7y+6=0
15．x为实数，且
23 3
x x
+
－〔x2+3x〕=2，那么x+3x的值是〔〕A．1 B．－3或者1 C．3 D．－1或者3
16．方程x+1
x
=a+
1
a
的两根分别为a，
1
a
，那么方程x+
1
1
x-
=a+
1
1
a-
的根是〔〕
A．a，
1
1
a-
B．
1
1
a-
，a－1 C．
1
a
，a－1 D．a，
1
a
a-
17．某为处理污水，需要铺设一条长为4000m的管道．为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原方案多铺设10m，结果提早20天完成任务．设原方案每天铺设管道xm，那么可得方程〔〕
A．4000
10
x-
－
4000
x
=20 B．
4000
x
－
4000
10
x-
=20
C．4000
10
x+
－
4000
x
=20 D．
4000
x
－
4000
10
x+
=20
三、解方程
18．解方程
〔1〕
1312x x ++-=0； 〔2〕2212
x x x x +--=2；
〔3〕222121x x x x -+-=2； 〔4〕2193113193113x x x x x
+-+=--+．
19．〔2021，〕假如关于x 的方程1+2224x m x x =--的解也是不等式组1222(3)8
x x x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的一个解，求m 的取值范围．
20．〔2021，〕在“汶川地震〞捐款活动中，某同学对甲，乙两班捐款情况进展了统计：甲班捐款人数比乙班捐款人数多3•人，•甲班一共捐款2400•元，•乙班一共捐款1800元，
乙班平均每人捐款的钱数是甲班平均每人捐款钱数的4
5
，求甲，•乙两班各有多少人捐
款？
21．〔2021，〕在抗震救灾活动中，某厂接到一份订单，要求消费7200顶帐篷支援灾区，
后来由于情况紧急，接收到上级指示，要求消费总量比原方案增加20%，•且必须提早4天完成消费任务，该厂迅速加派人次组织消费，•实际每天比原方案每天多消费720顶，请问该厂实际每天消费多少顶帐篷？
22．〔2021，〕注意：为了使同学们更好地解答此题，我们提供了一种解题思路，你可以按照这个思路，填写上表格，并完成此题解答的全过程．假如你选用其他的解题方案，此时，不必填写上表格，只需按照解答题的一般要求，进展解答即可．
奥林匹克中心体育场──“水滴〞位于西南部的奥林匹克中心内，其校九年级学生由距“水滴〞10km的出发前往参观，一局部同学骑自行车先走，过了20min后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．•汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．
〔1〕设骑车同学的速度为xkm/h，利用速度，时间是，路程之间的关系填写上下表．〔要求：填上适当的代数式，完成表格〕
〔2〕列出方程〔组〕，并求出问题的解．
答案
1．x=30 2．x=－5 3．x=3 4．x=－4 5．不对，x=1是原方程的增根6．1
7．y2－2y－1=0 8．34053405
52x
-=9 9．
5600020000
2x x
=+20
10．A 11．C 12．A 13．D 14．A 15．A 16．D 17．D
18．〔1〕方程变形为2－x+3〔x+1〕=0，解之得x=－5
2
．
〔2〕原方程可化为5x=4，解之得x=4
5
．
〔3〕设y=
2
21
x
x
-
，那么原方程可化为y+
1
y
=2，即y2－2y+1=0，解之，得y1=y2=1．
∴221x x
-=1，即2x 2－x －1=0， 解这个方程，得x 1=1，x 2=－
12，经检验，x 1=1和x 2=－12
都是原方程的根， 所以，原方程的根是x 1=1，x 2=－12． 〔4〕x=－1．
19．解方程1+2x x -=224
m x -，得x=－m －2． ∵x 2－4=m 〔m+4〕，
∴当m=－4或者m=0时，那么有x 2－4=0．
∴方程1+2x x -=224
m x -的解为x=－m －2，其中m ≠－4且m ≠0． 解不等式组1222(3)8
x x x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩ ，得x ≤－2．
由题意，得－m －2≤－2，解得m ≥0．
又∵m ≠0，∴m 的取值范围是m>0．
20．解法一：设乙班有x 人捐款，那么甲班有〔x+3〕人捐款，根据题意得：24004180035x x ⨯=+， 解这个方程得x=45．
经检验x=45是所列方程的根．
∴x+3=48〔人〕．
答：甲班有48人捐款，乙班有45人捐款．
解法二：设甲班有x 人捐款，那么乙班有〔x －3〕人捐款． 根据题意得：24004180053
x x ⨯=-． 解这个方程得x=48．
经检验x=48是所列方程的根．
∴x －3=45〔人〕．
答：甲班有48人捐款，乙班有45人捐款．
21．设实际需要x 天完成消费任务，根据题意，得
7200(120%)72004
x x ⨯+-+=720． 化简，得12x －104x +=1， 即12〔x+4〕－10x=x 〔x+4〕．
整理得x 2+2x －48=0．
解得x 1=6，x 2=－8〔不合题意，舍去〕．
故7200(120%)6
⨯+=1440〔顶〕． 答：该厂实际每天消费帐篷1440顶．
22．〔1〕
〔2〕根据题意，列方程得
10x =102x +13
． 解这个方程，得x=15．
经检验，x=15是原方程的根．
所以，x=15．
答：骑车同学的速度为15km/h ．
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

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耕耘今天，收获明天。

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奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

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翻手为云，覆手为雨。

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短暂辛苦，终身幸福。

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“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

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不勤于始，将悔于终。

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不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。