2017版高考一轮总复习数学课件：第3章 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角

π 可得 sin(2ωπ－ 6 )＝±1
π
π
∴2ωπ－ 6 ＝kπ＋ 2 (k∈Z)，
即 ω＝k2＋31(k∈Z)又 ω∈12，1，k∈Z
∴k＝1 故 ω＝56
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∴f(x)的最小正周期是65π.
(2)由 y＝f(x)图象过π4 ，0，得 fπ4 ＝0.
即 λ＝－2sin56×π2 －π6 ＝－2sin
π
π
小值为 0，最小正周期为 2 ，直线 x＝ 3 是其图象的一条对称轴，则
下面各式中符合条件的解析式为( )
A．y＝4sin4x＋π6
B．y＝2sin2x＋π3 ＋2
C．y＝2sin4x＋π3 ＋2
D．y＝2sin4x＋π6 ＋2
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解析：由函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的最大值为 4，最小值为 0，
1．三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知 的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题， 建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．
2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻 译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．
第二十六页，编辑于星期六：三3 －
3 2.
当 x∈π2 ，π时，有 x－π3 ∈π6 ，23π，
从而 y＝sinx－π3 的值域为12，1，
那么 y＝sinx－π3 － 23的值域为1－2
3，2－2
3 .
故 g(x)在区间π2 ，π上的值域是1－2
3，2－2
3 .
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解：6 月份盈利最大，由条件可得：出厂价格 y1 与月份 x 的函数 关系式为 y1＝2sinπ4 x－π4 ＋6(1≤x≤12 且 x∈Z)，销售价格 y2 与月 份 x 的函数关系式为
y2＝2sinπ4 x－3π 4 ＋8(1≤x≤12 且 x∈Z)， 则 利 润 函 数 关 系 式 为 y ＝ m(y2 － y1) ＝ m2sinπ4 x－3π 4 ＋8－2sinπ4 x－π4 －6
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1．变换法作图象的关键是看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩 后平移，对于后者可利用 ωx＋φ＝ωx＋ωφ确定平移单位．
2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，π2 ，π，32π，2π来求出相应的 x，通过列表，描点得出图 象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．
函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0) 的部分图象如图所示，则 f(0)的值是________．
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解析：由图象知 A＝ 2，T4＝71π2 －π3 ＝π4 ，T＝π， 又 T＝2ωπ，∴ω＝2，
π 根据函数图象的对应关系，得 2× 3 ＋φ＝2kπ＋π，
(1)求 f(x)的最小正周期； (2)若 y＝f(x)图象经过点π4 ，0，求 f(x)在区间0，3π5 上的最大 值和最小值．
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解：(1)f(x)＝－cos 2ωx＋ 3sin 2ωx＋λ
π ＝2sin(2ωx＋ 6 )＋λ
由于 x＝π是 y＝f(x)图象的一条对称轴
解：(1)f(8)＝10－
3cos
π 12×8
－
sinπ 12×8 ＝ 10
－
3cos2π 3 －
sin2π 3 ＝10－ 3×－12－ 23＝10.
故实验室上午 8 时的温度为 10℃.
(2)因为
f(t)＝10－2
23cosπ12t＋21sinπ 12t
＝10－2sinπ 12t＋π3 ，又 0≤t＜24， 所以π3 ≤π 12t＋π3 ＜7π 3 ，－1≤sinπ12t＋π3 ≤1.
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π ＝m(2－2 2sin 4 x)(1≤x≤12 且 x∈Z)． 所以，当 x＝6 时，ymax＝(2＋2 2)m. 故 6 月份该商店盈利最大．
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可知 k＝2，A＝2.由函数的最小正周期为π2 ，可知2ωπ＝π2 ，得 ω＝
π
π
π
4.由直线 x＝ 3 是其图象的一条对称轴，可知 4× 3 ＋φ＝kπ＋ 2 ，k
∈Z，从而 φ＝kπ－56π，k∈Z，故满足题意的是 y＝2sin4x＋π6 ＋
2.
答案：D
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(2015·重庆卷)已知函数 f(x)＝12sin 2x－ 3cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期和最小值； (2)将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐 标不变，得到函数 g(x)的图象．当 x∈π2 ，π时，求 g(x)的值域．
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解：(1)f(x)＝12sin 2x－ 3cos2x
＝12sin 2x－ 23(1＋cos 2x)
＝12sin
2x－
3 2 cos
2x－
3 2
＝sin2x－π3 － 23，
因此 f(x)的最小正周期为π，最小值为－2＋2
3 .
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0
3
0
－3
0
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描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．
π (2)先把 y＝sin x 的图象向右平移 4 个单位，然后把所有点的横 坐标扩大为原来的 2 倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍，得 到 f(x)的图象．
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第三章 三角函数、解三角形
第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图
象及三角
第一页，编辑于星期六：三点 三十分。
第二页，编辑于星期六：三点 三十分。
(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数 f(x)＝Asin(ωx＋ φ)ω＞0，|φ|＜π2 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数 据，如下表：
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当 t＝2 时，sinπ12t＋π3 ＝1； 当 t＝14 时，sinπ12t＋π3 ＝－1. 于是 f(t)在[0，24)上取得最大值为 12，取得最小值为 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差 为 4 ℃.
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讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必 须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．
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设函数 f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2 3sin ωxcos ωx＋λ，且 y ＝f(x)图象关于直线 x＝π对称，其中 ω，λ为常数且 ω∈(12，1)．
π ＋ φ＝ 0.“ 第 二 点 ”(即图 象 的“ 峰点”)时 ωx＋ φ＝ 2 ； “第 三 点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时 ωx＋φ＝π；“第四点”(即图 象的“谷点”)时 ωx＋φ＝3π2 ；“第五点”时 ωx＋φ＝2π.
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已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的最大值为 4，最
以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销 售价格时发现：该商品的出厂价格是在 6 元基础上按月份随正弦曲线 波动的，已知 3 月份出厂价格最高为 8 元，7 月份出厂价格最低为 4 元，而该商品在商店的销售价格是在 8 元基础上按月份随正弦曲线波 动的，并且已知 5 月份销售价最高为 10 元，9 月份销售价最低为 6 元，假设某商店每月购进这种商品 m 件，且当月售完，请估计哪个 月盈利最大？并说明理由．
π
π
∴φ＝2kπ＋ 3 ，k∈Z.令 k＝0，取 φ＝ 3 .
∴函数解析式为 f(x)＝ 2sin2x＋π3 ，
∴f(0)＝
π 2sin 3 ＝
6 2.
答案：
6 2
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1．本题求 f(0)的关键是求参数“φ”值，常用方法有：(1)代入法， (2)“五点法”．
2．用五点法求 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的峰(谷)点或 第一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时 ωx
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已知函数 f(x)＝3sin12x－π4 ，x∈R.
(1)画出函数 f(x)在一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数 y＝sin x 的图象作怎样的交换可得到 f(x)的图象？
解：(1)列表取值：
x
π 2
32π
52π
72π
92π
12x－π4
0
π 2
π
32π
2π
f(x)
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(2014·湖北卷)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间 t(单位：
h)的变化近似满足函数关系：
π
π
f(t)＝10－ 3cos12t－sin12t，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天上午 8 时的温度；
(2)求实验室这一天的最大温差．
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π 4 ＝－
2.
∴λ＝－ 2
故 f(x)＝2sin53x－π6 － 2
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由 0≤x≤35π，有－π6≤53x－π6 ≤56π ∴－12≤sin53x－π6 ≤1 得－1－ 2≤2sin53x－π6 － 2≤2－ 2 ∴f(x)max＝2－ 2，f(x)min＝－1－ 2.