作业27广义积分

1、判断下列广义积分的敛散性，如果收敛，计算它的值： 1）
21
1
x x
dx e e +∞
-+⎰
；
解：原式=20
01111
lim
lim arctan arctan 2b
x b
x x
b b e dx e e e e e e e π-→+∞→+∞⎡⎤==-⎢⎥+⎣
⎦⎰
2）
2
1
arctan x
dx x +∞
⎰
； 解：原式()221
1
arctan arctan 1lim
lim ln ln 12b
b
b b x x dx x x x x →+∞→+∞⎡⎤==-+-+⎢⎥⎣⎦⎰
221arctan ln 2ln 2
lim ln 214242b b b b b ππ→+∞⎛⎫=-++=+ ⎪+⎝⎭
3）
sin (0)ax e xdx a +∞
->⎰
；
解：原式222
011sin cos 111ax a e x x a a a +∞
-⎡⎤
⎛⎫=--= ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣
⎦ 4
）
1
⎰
；
解：因为被积函数的原函数在瑕点1x =处连续，所以
原式1
01⎡==⎣
5
）
2
1
⎰
； 解：因为被积函数的原函数在瑕点1x =处连续，所以
原式()2
3
2148
2133
x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦
6）
3424
cos dx
x
π
π
-
⎰ 解：
[][]33342424222004
4242
lim tan lim tan cos cos cos dx dx dx
x x x x x πππππ
επ
ππππεεε++
--
--+→→=+=+⎰⎰⎰ 因为极限不存在，所以
3424
cos dx
x
π
π
-
⎰发散。

7
）
1
e
⎰
；
解：因为被积函数的原函数在瑕点x e =处连续，所以 原式()1arcsin ln 2
e
x π
==
⎡⎤⎣⎦
8
）
3
212
⎰
解：因为被积函数的原函数在瑕点1x =处连续，所以
原式(
)332
1
1
211
2
11arcsin 21ln 2x x ⎡⎤⎛=
+=-+-+⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦⎝⎣⎦⎰
ln 1ln 222π
⎛=+++ ⎝⎭
2、当k 为何值时，广义积分2
(ln )
k
dx
x x +∞
⎰
收敛？又当k 为何值时，这个广义积分取得最小值？
解：()()12
222ln lim 1
1lim (ln )(ln )lim ln ln 1
a
k a a k k
a a a x k dx dx k x x x x x k -++∞→+∞→+∞→+∞⎧⎡⎤⎪≠⎢⎥
⎪-+⎢⎥==⎨⎣⎦⎪=⎡⎤⎪⎣
⎦⎩⎰⎰
当1k >时，
2
(ln )k dx x x +∞
⎰
收敛。

此时()()
121
(ln )1ln 2k k dx x x k +∞-=-⎰ ()()()()()()()()()()()()()()111
12211ln 21ln ln 21ln 21ln ln 2ln 22
1ln 21ln 21ln 2k k k k k k k k k k k ------'⎛⎫------=
= ⎪ ⎪-⎡⎤⎡⎤--⎝⎭⎣⎦⎣⎦
当()
1
1ln ln 2k =-
时此广义积分的值最小。

3、利用递推公式计算广义积分0
n x n I x e dx +∞
-=⎰
.
解： 1100
00!!n x n x
n x
x
n n I x e dx x e nx e dx nI n e dx n +∞
+∞
+∞
+∞
------⎡⎤==---===⎣⎦⎰
⎰⎰。