河南郑州高中数学竞赛试题及答案

河南郑州高中数学竞赛试题及答案
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(1)的值。

A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
答案：B
解析：将x=1代入函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，得到f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 1，所以答案为B。

2. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求a3的值。

A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
答案：C
解析：根据递推关系，a2 = 2a1 + 1 = 2(1) + 1 = 3，a3 = 2a2 + 1 = 2(3) + 1 = 7，所以答案为C。

3. 已知三角形ABC中，角A = 60°，a = 2，b = √3，求角B的度数。

A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
答案：A
解析：根据正弦定理，a/sinA = b/sinB，代入已知条件，得到2/sin60° = √3/sinB，解得sinB = 1/2，所以B = 30°，答案为A。

4. 已知圆C的方程为(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4，求圆心C到直线x + y = 3的距离。

A. √2
B. 2
C. √5
D. 3
答案：A
解析：圆心C的坐标为(1, 2)，直线x + y = 3的一般式为x + y - 3 = 0。

根据点到直线的距离公式，d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 +
B^2)，代入圆心坐标和直线方程，得到d = |1 + 2 - 3| / √(1^2 + 1^2) = √2，所以答案为A。

二、填空题（每题5分，共20分）
5. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的表达式。

答案：f'(x) = 3x^2 - 6x
解析：对f(x)求导，得到f'(x) = 3x^2 - 6x。

6. 已知数列{an}满足a1 = 2，an+1 = an + n，求a5的值。

答案：a5 = 12
解析：根据递推关系，a2 = a1 + 1 = 2 + 1 = 3，a3 = a2 + 2 = 3 + 2 = 5，a4 = a3 + 3 = 5 + 3 = 8，a5 = a4 + 4 = 8 + 4 = 12。

7. 已知三角形ABC中，角A = 45°，a = √2，b = 1，求角B的度数。

答案：B = 30°
解析：根据正弦定理，a/sinA = b/sinB，代入已知条件，得到√2/sin45° = 1/sinB，解得sinB = 1/2，所以B = 30°。

8. 已知圆C的方程为(x-2)^2 + y^2 = 9，求圆心C到直线x - y + 1 = 0的距离。

答案：d = √5
解析：圆心C的坐标为(2, 0)，直线x - y + 1 = 0的一般式为x - y + 1 = 0。

根据点到直线的距离公式，d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)，代入圆心坐标和直线方程，得到d = |2 - 0 + 1| / √(1^2 + (-1)^2) = √5。

三、解答题（每题15分，共40分）
9. 已知函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1，求f'(x)和f''(x)的表达式，并求f''(x) = 0的解。

解：首先求f'(x)，对f(x)求导得到：
f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4
接着求f''(x)，对f'(x)求导得到：
f''(x) = 12x^2 - 24x + 12
令f''(x) = 0，解得：
12x^2 - 24x + 12 = 0
x^2 - 2x + 1 = 0
(x - 1)^2 = 0
x = 1
所以f''(x) = 0的解为x = 1。

10. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = an + n(n ≥ 1)，求数列{an}的通项公式。

解：根据递推关系，我们可以得到：
a2 = a1 + 1 = 1 + 1 = 2
a3 = a2 + 2 = 2 + 2 = 4
a4 = a3 + 3 = 4 + 3 = 7
观察数列的前几项，我们发现an = 1 + 1 + 2 + 3 + ... + (n-1)。

这是一个等差数列求和问题，我们可以使用求和公式求解：an = 1 + (1 + 2 + 3 + ... + (n-1))
= 1 + (n-1)n/2
= n^2/2 - n/2 + 1
所以数列{an}的通项公式为an = n^2/2 - n/2 + 1。

以上就是河南郑州高中数学竞赛的试题及答案，希望对你有所帮助。