成都华西中学中考数学二次函数和几何综合专题

成都华西中学中考数学二次函数和几何综合专题
一、二次函数压轴题
1．如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）交直线AC ：4
43
y x =--于点A ，点C 两点，且
过点()4,0B ，连接AC ，BC .
（1）求此抛物线的表达式与顶点坐标；
（2）点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q .设点P 的横坐标为m ，试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，E ，F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由.
2．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+4交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ． （1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？
3．如图，抛物线213
222
y x x =-++与x 轴交于点A B 、，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于
x 轴对称，点P 的坐标为()0m ,，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．
（1）求点A 、点B 、点C 的坐标；
（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，试探究当m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形；
（3）在点P 的运动过程中，是否存在点Q ，使BDQ △是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．综合与探究 如图，抛物线y ＝﹣
33x 2﹣233
x +3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线l 经过B 、C 两点，点M 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，连接CM ，将线段MC 绕点M 顺时针旋转90°得到线段MD ，连接CD 、BD ．设点M 运动的时间为t （t ＞0），请解答下列问题：
（1）求点A 的坐标与直线l 的表达式；
（2）①请直接写出点D 的坐标（用含t 的式子表示），并求点D 落在直线l 上时t 的值； ②求点M 运动的过程中线段CD 长度的最小值． 5．综合与探究
如图，抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，()2,0A -，
()4,0B ，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，
BD ，BC ，CD ．
（1）求抛物线的函数表达式：
（2）若点D 在x 轴的下方，当BCD △的面积是9
2
时，求ABD △的面积；
（3）在直线l 上有一点P ，连接AP ，CP ，则AP CP +的最小值为______；
（4）在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
6．小明结合自己的学习经验，对新函数y ＝
21
b kx +的解析式、图象、性质及应用进行探
究：已知当x ＝0时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝1．
（1）函数解析式探究：根据给定的条件，可以确定由该函数的解析式为： ． （2）函数图象探究：
①根据解析式，补全如表，则m ＝ ，n ＝ ．
②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象． x …… ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣1
2 0
12
1 2 n 4 ……
y
……
217
15 25
m
85
2
85 1
25
15 2
17
…… 质： ．
（4）综合应用：已知函数y ＝|715x ﹣8
15
|的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|
715x ﹣815|≤21
b
kx +．
7．综合与探究
如图，已知二次函数()2
20y ax bx a =++≠的图像与x 轴交于1,0A ，B 两点，与y 轴交于
点C ，直线1
22
y x =-
+经过B ，C 两点 （1）求二次函数的解析式；
（2）点P 是线段 BC 上一个动点，过点P 作x 轴的垂线于点Q ，交抛物线于点D ，当点Q 是线段PD 的中点时，求点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M 是直线BC 上一点，N 是平面内一点，当以P ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N 的坐标．
8．已知函数()()2
110b y a x a x
=-++≠，某兴趣小组对其图像与性质进行了探究，请补充
完整探究过程．
x … －3 －2 －1 1
2 3 4 5 … y … －6 －2 2
－2 －1 －2
m
38
5
-
… （2）如图已经画出了该函数的部分图像，请你根据上表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，补充该函数图像，并写出该函数的一条性质；
（3）若()2
14b
a x x x
-+
≥-，结合图像，直接写出x 的取值范围． 9．如图，抛物线y =﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点N ，过A 点的直线l ：y =kx +n 与y 轴交于点C ，与抛物线y =﹣x 2+bx +c 的另一个交点为D ，已知A (﹣1，0)，D (5，﹣6)，P 点为抛物线y =﹣x 2+bx +c 上一动点(不与A 、D 重合)． （1）直接写出抛物线和直线l 的解析式；
（2）当点P 在直线l 上方的抛物线上时，连接PA 、PD ， ①当△PAD 的面积最大时，P 点的坐标是 ； ②当AB 平分∠DAP 时，求线段PA 的长．
（3）设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
10．小云在学习过程中遇到一个函数21
||(1)(2)6
y x x x x =-+≥-．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当20x -≤<时，对于函数1||y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增大
而 ，且10y >；对于函数2
21y x x =-+，当20x -≤<时，2y 随x 的增大而 ，且
20y >；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增大
而 ．
（2）当0x ≥时，对于函数y ，当0x ≥时，y 与x 的几组对应值如下表：
x
1
2
1
32
2
52
3
y 0
116 16 716
1
9548 72
综合上表，进一步探究发现，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当0x ≥时的函数y 的图象．
（3）过点(0，m)（0m >）作平行于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l 与函数21
||(1)(2)6
y x x x x =
-+≥-的图象有两个交点，则m 的最大值是 ． 二、中考几何压轴题
11．问题情境：两张直角三角形纸片中，90BAC DAE ∠=∠=︒．连接BD ，CE ，过点A 作
BD 的垂线，分别交线段BD ，CE 于点M ，N （ABC ∆与ADE ∆在直线MN 异侧）．
特例分析：
（1）如图1，当AB AC AD AE ===时，求证：2BD AN =； 拓展探究： （2）当
1
2
AB AD AC AE ==，探究下列问题： ①如图2，当AB AD =时，直接写出线段BD 与AN 之间的数量关系： ； ②如图3，当AB AD ≠时，猜想BD 与AN 之间的数量关系，并说明理由； 推广应用： （3）若图3中，
AB AD
k AC AE
==，设ABD ∆的面积为S ，则ACE ∆的面积为 ．（用含k ，s 的式子表示）
12．问题呈现：已知等边三角形ABC 边BC 的中点为点D ，120EDF ∠=︒，EDF ∠的两边
分别交直线AB，AC于点E，F，现要探究线段BE，CF与等边三角形ABC的边长BC 之间的数量关系．
（1）特例研究：如图1，当点E，F分别在线段AB，AC上，且DE AB
⊥，DF AC
⊥
时，请直接写出线段BE，CF与BC的数量关系：________；
（2）问题解决：如图2，当点E落在射线BM上，点F落在线段AC上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请通过证明探究出线段BE，CF与等边三角形ABC的边长BC之间的数量关系；
（3）拓展应用：如图3，当点E落在射线BA上，点F落在射线AC上时，若2
CD=，
45 CDF
∠=︒
62
sin
4
CFD
-
∠=，请直接写出BE的长和此时DEF
∆的面积．
13．爱好思考的小明在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线相互垂直的三角形“中垂三角形”，如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
（特例研究）
（1）如图1，当tan∠PAB=1，2a=b= ；
（归纳证明）
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图2证明你的结论；
（拓展证明）
（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF交BE相较于点G，5AB=3，求AF的长．
14．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
（问题理解）
(1)如图1，点A、B、C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD、CD．
求证：四边形ABCD是等补四边形；
（拓展探究）
(2)如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由；（升华运用）
(3)如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F．若CD＝6，DF＝2，求AF的长．
15．（1）问题发现
如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=45°，点E是线段AC 上一动点，连接DE．
填空：①则AD
EC
的值为______；②∠EAD的度数为_______．
（2）类比探究
如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°，点E是线段AC
上一动点，连接DE．请求出AD
EC
的值及∠EAD的度数；
（3）拓展延伸
如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC=4，则当△ABM 是直角三角形时，求线段AD的长．
16．综合与实践：利用矩形的折叠开展数学活动，探究体会图形在轴对称，旋转等变换过程中的变化，及其蕴含的数学思想和方法．
动手操作：如图①，矩形纸片ABCD 的边AB ＝23，将矩形纸片ABCD 对折，使点A 与点D 重合，点B 与点C 重合，折痕为EF ，然后展开，EF 与AC 交于点H ；
如图②，将矩形ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点B 落在对角线AC 上，且点B 与点H 重合，展开图形，折痕为AG ，连接GH ；
若在图①中连接BH ，得到如图③，点M 是线段BH 上的动点，点N 是线段AH 上的动点，连接AM ，MN ，且∠AMN ＝∠ABH ；
若在图②中连接BH ，交折痕AG 于点Q ，隐去其它线段，得到如图④．
解决问题：
（1）在图②中，∠ACB ＝ ，BC ＝ ，
AG
GF
＝ ，与△ABG 相似的三角形有 个； （2）在图②中，AH 2＝AE ·
（从图②中选择一条线段填在空白处），并证明你的结论； （3）在图③中，△ABH 为 三角形，设BM 为x ，则NH ＝ （用含x 的式子表示）； 拓展延伸：
（4）在图④中，将△ABQ 绕点B 按顺时针方向旋转α（0°≤α≤180°），得到△A ′BQ ′，连接DQ ′，则DQ ′的最小值为 ，当tan ∠CBQ ′＝ 时，△DBQ ′的面积最大值为 ． 17．随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节：（观察猜想）-（探究证明）-（拓展延伸）．下面同学们从这三个方面试看解决下列问题：
已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN 放置与正方形ABCD 的B 重含，连接 AN 、CM ，E 是AN 的中点，连接BE ．
（观察猜想）
（1）CM 与 BE 的数量关系是________，CM 与BE 的位置关系是___________；
（探究证明）
（2）如图2所示，把三角板 BMN 绕点B 逆时针旋转(090)αα<<，其他条件不变，线段
CM 与BE 的关系是否仍然成立，并说明理由；
（拓展延伸）
（3）若旋转角45α=︒，且2NBE ABE ∠=∠，求BC
BN
的值． 18．综合与实践
（1）问题发现：正方形ABCD 和等腰直角△BEF 按如图①所示的方式放置，点F 在AB 上，连接AE 、CF ，则AE 、CF 的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）类比探究：正方形ABCD 保持固定，等腰直角△BEF 绕点B 顺时针旋转，旋转角为α(0°<α ≤360°)，请问（1）中的结论还成立吗？请就图②说明你的理由：
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，若AB = 2 BF = 4，在等腰直角△BEF 旋转的过程中，当CF 为最大值时，请直接写出DE 的长．
19．综合与实践 动手操作
利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图1，点E 为正方形ABCD 的AB 边上的一个动点，3AB =，将正方形ABCD 对折，使点
A 与点
B 重合，点
C 与点
D 重合，折痕为MN ．
思考探索
（1）将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B '落在MN 上，折痕为EC ，连接DB '，如图2．
①点B '在以点E 为圆心，_________的长为半径的圆上； ②B M '=_________；
③DB C '为_______三角形，请证明你的结论． 拓展延伸
（2）当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点B ）折叠后，点B 的对应点B '落在正方形ABCD 内部或边上．
①ABB '面积的最大值为____________；
②连接AB '，点P 为AE 的中点，点Q 在AB '上，连接,PQ AQP AB E '∠=∠，则2B C PQ '+的最小值为____________．
20．在ABC 中，AB AC =，点D ､E 分别是BC AC ､的中点，将CDE △绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，连接BD AE ､．
观察猜想
（1）如图①，当60BAC ∠=︒时，填空： ①AE BD
=______________； ②直线BD AE ､所夹锐角为____________；
类比探究
（2）如图②，当90BAC ∠=︒时，试判断
AE BD
的值及直线BD AE ､所夹锐角的度数，并说明理由；
拓展应用
（3）在（2）的条件下，若2DE =CDE △绕着点C 在平面内旋转，当点D 落在射线AC 上时，请直接写出2AE 的值．
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一、二次函数压轴题
1．A
解析：（1）顶点坐标为149,212⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）存在， ()11,3Q -，25252822Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
；（3）11974F ⎫+⎪⎪⎝⎭或21974F ⎫-⎪⎪⎝⎭
或()31,4F -. 【分析】
（1）根据一次函数解析式求出A 、C 两点的坐标，把A 、B 、C 三点代入解析式求解即可求的解析式，然后把解析式化为顶点式可求得结果.
（2）先求出BC 所在直线的解析式，设出P 、Q 两点的坐标，根据勾股定理求出AC ，根据以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形可分类讨论，分为AQ=AC,AC=CQ,AQ=CQ 三种情况.
（3）分两种情况讨论，一是F 在抛物线上方，过点F 作FH x ⊥轴，可得FH=4，设
211,433F n n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可得2114433n n --=，求出n 代入即可；二是F 在抛物线下方，可得2114-433
--=n n ，求出n 的值即可，最后的结果综合两个结果即可. 【详解】
解：（1）443
y x =-- ∵当0y =时，4403
--=x , ∴3x =-;
∴()30A -,
，()0,4C -; 二次函数过点A 、B ，设()()34y a x x =+-;
∵过点()0,4C -,
∴124a -=-; ∴13
a =; ∴()()1343
y x x =+- 211433
x x =--; ∵2
11493212
y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, ∴顶点坐标为149,212⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）存在.
设BC y kx b =+过B 、C ,
440b k b =-⎧⎨+=⎩
; 设解得：14k b =⎧⎨=-⎩
; ∴4BC y x =-; 设21)1,433
(P w m m --、(),4Q m m -; 在Rt AOC ∆中，解得5AC =;
①当AQ AC =时;
()()2
22345m m ++--=⎡⎤⎣⎦;
解得：10m =（不合题意舍去），21m =;
∴()11,3Q -;
②当CQ AC =时;
()2
22445m m +---=⎡⎤⎣⎦; 解得：1522m =，2522
m =-（不合题意舍去）; ∴252528,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
; ③当AQ CQ =时;
()()()22
223444m m m m ++--=+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦; 解得：2542
m =>（不合题意舍去）; ∴()11,3Q -，252528,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
; （3）当F 在抛物线上方时，//BC EF ，BC EF =时;
过点F 作FH x ⊥轴，FEH ∆与BCOQ ∆全等;
则4FH =;
设211,433F n n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
; 则2114433
n n --=; 解得；1197n +=2197n -= 11974F ⎫+⎪⎪⎝⎭或21974F ⎫-⎪⎪⎝⎭
; 当F 在抛物线下方时，2114433
n n --=-; 30n =（不合题意舍去），41n =;
∴()31,4F -;
∴11974F ⎫+⎪⎪⎝⎭或21974F ⎫-⎪⎪⎝⎭
或()31,4F -.
【点睛】
本题主要考查了二次函数综合应用，准确分析题目条件，利用了等腰三角形、直角三角形的性质进行求解.
2．A
解析：（1）2114,33y x x =-++（2）存在，点Q 的坐标为：Q （1，3）或（522
，8522-）；（3）PN ＝﹣26（m ﹣2）2+223，当m ＝2时，PN 的最大值为223
． 【分析】
（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；
（2）分AC=AQ 、AC=CQ 、CQ=AQ 三种情况，利用方程或方程组求解即可得到答案； （3）利用等腰直角三角形的性质得到：
PN=PQsin ∠PQN=
22211222(44)(2),23363
m m m m -+++-=--+即可求解． 【详解】
解：（1） 抛物线y ＝ax 2+bx+4交x 轴于A （﹣3，0），B （4，0）两点，
设2(3)(4)12,y a x x ax ax a =+-=--
即：﹣12a ＝4，解得：1,3
a =- 则抛物线的表达式为2114,33y x x =-++ （2）存在，理由：
2114,
33
y x x =-++ ∴ 点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），
则AC ＝5，AB ＝7，BC ＝42，∠OBC ＝∠OCB ＝45°，
将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx+b 并解得：y ＝﹣x+4…①，
同理可得直线AC 的表达式为：443
y x =
+， ①当AC ＝AQ 时，如图1，
则AC ＝AQ ＝5，
设：QM ＝MB ＝n ，则AM ＝7﹣n ，
由勾股定理得：222(7)5,n n -+=
解得：n ＝3或4（舍去4），
故点Q （1，3）；
②当AC ＝CQ 时，如图1， CQ ＝5，则BQ ＝BC ﹣CQ ＝425,-
则QM ＝MB ＝
8522-， 故点Q （522，8522
-）； ③当CQ ＝AQ 时，则Q 在AC 的垂直平分线上，
设直线AC 的中点为K （32
-，2）， 过点Q 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为34
QK k =-， 直线QK 的表达式为：3748
y x =-+ ②， 联立①②并解得：252
x =（舍去）； 故点Q 的坐标为：Q （1，3）或（522，8522
-）； （3）设点21)1,433
(P m m m -++，则点Q （m ，﹣m+4）， ∵OB ＝OC ，∴∠ABC ＝∠OCB ＝45°＝∠PQN ，
PN ＝PQsin ∠PQN ＝
22211222(44)(2),23363
m m m m -+++-=--+ ∵20,6-＜ ∴PN 有最大值，
当m ＝2时，PN 22．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和等腰三角形的存在性问题，线段长度的最值问题，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．
3．C
解析：（1）1,04,00,2B C A -（），（），（）
（2）当2m =，四边形CQMD 是平行四边形
（3）存在，点Q 的坐标为3,2（），()8,18- ，()1,0-
【分析】
（1）根据函数解析式列方程即可；
（2）根据平行四边形的判定，用含未知数的值表示QM 的长度，从而可求解;
（3）设Q 点的坐标为213,222⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
m m m ,分两种情况讨论：①当∠QBD=90时，由勾股定理可得：222BQ BD DQ +=，②当∠QDB=90时，由勾股定理可得：222BQ BD DQ =+，可解出m 的值.
【详解】
（1）令0x =，则2y =，C 点的坐标为（0,2）；
令0y =，则2130222
x x =-++ 解得121,4x x =-=，点A 为（-1,0）；点B 为（4,0） ∴1,04,00,2B C A -（），（），（）
（2）如图1所示：
点C 与点D 关于x 轴对称，点()0,2D -,设直线BD 的解析式为2y kx =-，将()4,0B 代入得：420k -= 解得12
k = ∴直线BD 的解析式为：122y x =
- ∵//QM DC
∴当=QM DC 时，四边形CQMD 是平行四边形
设Q 点的坐标为213,222⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
m m m ，则1,22M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴2131224222m m m ⎛⎫-++--= ⎪⎝⎭
解得12m = 20m =（不合题意，舍去）
∴当2m =，四边形CQMD 是平行四边形
（3）存在，设Q 点的坐标为213,222⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
m m m ∵BDQ △是以BD 为直角边的直角三角形
∴①当∠QBD=90时，由勾股定理可得：222BQ BD DQ +=
即()22
222213134220222222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫-+-+++=+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得13m = 24m =（不合题意，舍去）
∴Q 点的坐标为3,2（）
②当∠QDB=90时，由勾股定理可得：222BQ BD DQ =+
即()22
222213134220222222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫-+-++=++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得18m = 21m =-
Q 点的坐标为()8,18- ()1,0-
综上所述：点Q 的坐标为3,2（），()8,18- ，()1,0-.
【点睛】
本题考查了一次函数和抛物线的综合问题，解题的关键在于拿出函数解析式，会用含未知数的代数式表示出关键的点的坐标和线段的长度.
4．A
解析：（1）A （﹣3，0），y 2）①点D 落在直线l 上时，t ＝6﹣
②CD
【分析】
（1）解方程求出点A 、点B 的坐标，根据二次函数的性质求出点C 的坐标，利用待定系数法求出直线l 的表达式；
（2）①分点M 在AO 上运动、点M 在OB 上运动两种情况，DN ⊥x 轴于N ，证明
△MCO ≌△DMN ，根据全等三角形的性质得到MN ＝OC DN ＝OM ＝3﹣t ，得到点D 的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征求出t ；
②根据等腰直角三角形的性质、垂线段最短解答．
【详解】
（1）当y ＝02x ， 解得x 1＝1，x 2＝﹣3，
∵点A 在点B 的左侧，
∴A （﹣3，0），B （1，0），
当x ＝0时，y C （0
设直线l 的表达式为y ＝kx +b ，
将B ，C 两点坐标代入得，k b 0b 3+=⎧⎪⎨=⎪⎩
， 解得，33k b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
， 则直线l 的表达式为y ＝﹣3x +3；
（2）①如图1，当点M 在AO 上运动时，过点D 作DN ⊥x 轴于N ，
由题意可知，AM ＝t ，OM ＝3﹣t ，MC ⊥MD ，
则∠DMN +∠CMO ＝90°，∠CMO +∠MCO ＝90°，
∴∠MCO ＝∠DMN ，
在△MCO 与△DMN 中，
OCH NHD COM MND MC MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△MCO ≌△DMN （AAS ），
∴MN ＝OC 3DN ＝OM ＝3﹣t ，
∴D （t ﹣3t ﹣3）；
同理，如图2，当点M 在OB 上运动时，
点D 的坐标为：D （﹣3+t 3t ﹣3）
将D 点坐标代入直线BC 的解析式y 33t ﹣33（﹣3+t 33 t ＝6﹣3D 落在直线l 上时，t ＝6﹣3
②∵△COD 是等腰直角三角形，
∴CM ＝MD ，
∴线段CM 最小时，线段CD 长度的最小，
∵M 在AB 上运动，
∴当CM ⊥AB 时，CM 最短，CD 最短，即CM ＝CO 3
根据勾股定理得，CD 6
【点睛】
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、等腰三角形的性质特点.
5．A
解析：（1）233642y x x =--；（2）454
；（3）134）存在，点N 的坐标为：15114,4⎛⎫ ⎪⎝
⎭或15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或151,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【分析】
（1）把A 、B 两点坐标代入26y ax bx =+-可得关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组求出a 、b 的值即可得答案；
（2）过D 作DG x ⊥轴于G ，交BC 于H ，根据抛物线解析式可得点C 坐标，利用待定系
数法可得直线BC 的解析式，设233,642D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，根据BC 解析式可表示出点H 坐标，即可表示出DH 的长，根据△BCD 的面积列方程可求出x 的值，即可得点D 坐标，利用三角形面积公式即可得答案；
（3）根据二次函数的对称性可得点A 与点B 关于直线l 对称，可得BC 为AP +CP 的最小值，根据两点间距离公式计算即可得答案；
（4）根据平行四边形的性质得到MB //ND ，MB =ND ，分MB 为边和MB 为对角线两种情况，结合点D 坐标即可得点N 的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，()2,0A -，()4,0B ， ∴426016460
a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：3432a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， ∴抛物线的解析式为：233642
y x x =--． （2）如图，过D 作DG x ⊥轴于G ，交BC 于H ，
当0x =时，6y =-，
∴()0,6C -，
设BC 的解析式为y kx b =+，则640
b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得326k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴BC 的解析式为：362
y x =-， 设233,642D x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则3,62H x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴2233336632424DH x x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭
， ∵BCD △的面积是92
， ∴
1922DH OB ⨯=， ∴213943242
x x ⎛⎫⨯⨯-+= ⎪⎝⎭， 解得：1x =或3，
∵点D 在直线l 右侧的抛物线上，
∴153,4D ⎛⎫- ⎪⎝
⎭， ∴ABD △的面积11154562244
AB DG ⨯=⨯⨯=；
（3）∵抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点， ∴点A 与点B 关于直线l 对称， ∴BC 为AP +CP 的最小值，
∵B （4，0），C （0，-6），
∴AP +CP 的最小值=BC 2246+213 故答案为：213（4）①当MB 为对角线时，MN //BD ，MN =BD ，
过点N 作NE ⊥x 轴于E ，过当D 作DF ⊥x 轴于F ，
∵点D （3，154-）， ∴DF =154， 在△MNE 和△BDF 中，NEM DFB NMB DBF MN BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△MNE ≌△BDF ，
∴DF =NE =154
， ∵点D 在x 轴下方，MB 为对角线，
∴点N 在x 轴上方，
∴点N 纵坐标为
154， 把y =154代入抛物线解析式得：215336442x x =--， 解得：1114x =-，2114x =+， ∴1N （114-，
154），2N （114+，154）
如图，当BM 为边时，MB //ND ，MB =ND ，
∵点D （3，154
-）， ∴点N 纵坐标为154-
， ∴233156424
x x --=-， 解得：11x =-，23x =（与点D 重合，舍去）， ∴3N （1-，154-
），
综上所述：存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的坐标为：15114,4⎛⎫ ⎪⎝
⎭或15114,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或151,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】
本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题． 6．(1) y=221
x +;(2)m=1,n=3;(3) 函数存在最大值,当x=0是,y 取得最大值2.(4)-1≤x≤2 【分析】
(1)待定系数法求解函数解析式
(2)分别将m,n 代入函数解析式,求出对应的横纵坐标即可求解
(3)观察图像即可,答案不唯一
(4)观察图像选择曲线在上方的区域即可.
【详解】
解(1)将(0,2),(1,1)代入解析式得
20111b b k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
解得:12k b =⎧⎨=⎩ ∴函数的解析式为y =
221
x + (2) ①令x =-1,
则y=1,
∴m =1 令y =15
,则x =±3, ∵2＜n ＜4,
∴n =3
②
(3)函数存在最大值,当x =0是,y 取得最大值2.
(4)直接观察图象可知,
当|715x ﹣815
|≤时,-1≤x ≤2 【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数的解析式,函数的图象和性质,根据函数图象求解不等式等问题,综合性强,熟悉函数的图象和性质是解题关键.
7．B
解析：（1）215222y x x =-+；（2）P （2，1）；（3）4225,1555N ⎛- ⎝，425,1555N ⎛- ⎝，()0,0N ，1811,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
（1）求出点B ，带入求解即可；
（2）设,22t P t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，(),0Q t ，()215,20＜＜422D t t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，根据中点的性质列式计算即可； （3）根据菱形的性质分类讨论即可；
【详解】
（1）令1202x -+=，解得：4x =， ∴()4,0B ，
令0x =，则2y =，
∴()0,2C ，
把1,0A ，()4,0B 代入()220y ax bx a =++≠中，
∴2016420a b a b ++=⎧⎨++=⎩
， ∴12a =
，52b =-， ∴215222
y x x =-+； （2）设,22t P t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),0Q t ，()215,20＜＜422D t t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，
∵Q 为PD 中点，
∴2115-2202222t t t ⎛⎫++-+=⨯ ⎪⎝⎭
， ∴213402
t t -+=， ∴12t =，24t =（舍），
∴()2,1P ；
（3）①如图，由题意可得：PD 为菱形的边，,PM DN 为菱形的对角线，//,PD MN 2,PD MN DM ===
由（2）可得：()2,1P ，()2,1D -，
2,PD ∴=
设22,1M m m -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,42N m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
， 由2DM =可得：()2
21234,2m m ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭ 整理得：()()51820,m m --=
解得：1218,2,5
m m == 检验：2m =不合题意舍去，取18,5m =
1811811,,,.5555M N ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
如图，PD 为菱形的边， //,PD MN 2,PD MN DN ===
同理可得：4225,1555N ⎛- ⎝或452521.N ⎛- ⎝⎭
②如图，当PD 为对角线时，
由()2,1P ，()2,1D -，()()4,0,0,0,B O
可得：,M B 重合，,N O 重合时，四边形PMDN 为菱形，
()0,0.N ∴ 综上：4225,1555N ⎛- ⎝，425,1555N ⎛- ⎝，()0,0N ，1811,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； 【点睛】
本题主要考查了二次函数综合，结合菱形的判定与性质、等腰三角形的性质和一元二次方程的求解是解题的关键．
8．（1）12
a =-，3
b =-，174m =-；（2）见详解；（3）x 的取值范围是：-3≤x ＜0或1≤x≤2．
【分析】
（1）先将（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a （x-1）2+
b x
+1中，列方程组解出可得a 和b 的值，写出函数解析式，计算当x=4时m 的值即可；
（2）描点并连线画图，根据图象写出一条性质即可；
（3）画y=x-3的图象，根据图象可得结论．
【详解】 解：（1）把（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a （x-1）2+b x
+1中得： 41212a b b -+=⎧⎨+=⎩，解得：123
a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴y=213(1)12x x
---+（a≠0）， 当x=4时，m=131791244
-⨯-+=-； （2）如图所示，
性质：当x＞2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）∵a（x-1）2+b
x
≥x-4，
∴a（x-1）2+b
x
+1≥x-3，
如图所示，
由图象得：x的取值范围是：-3≤x＜0或1≤x≤2．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，描点，画函数图象，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用了数形结合思想进行分析．
9．A
解析：（1）y=﹣x﹣1，y=﹣x2+3x+4；（2）①(2，6)；②PA2；（3）点M的坐标为：14314或(21414或(4，﹣5)或(﹣4，3．
【分析】
（1）将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；
（2）①当△PAD的面积最大时，P点到直线AD的距离就最大．即当直线y=-x+m与抛物线只有一个交点时满足条件，△=42+4（m-4）=0，解得m=8，解方程可求出答案；
②过点P作PE⊥x轴于点E，证明△PEA是等腰直角三角形，得出PE=EA，设P点坐标为
（m ，n ），由题意得，m+1=-m 2+3m+4，求出m=3，由直角三角形的性质可得出答案； （3）分NC 是平行四边形的一条边、NC 是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
【详解】
（1）将点A 、D 的坐标代入直线表达式得：056k n k n -+=⎧⎨+=-⎩，解得：11
k n =-⎧⎨=-⎩， 故直线l 的表达式为：y =﹣x ﹣1，
将点A 、D 的坐标代入抛物线表达式，
同理可得抛物线的表达式为：y =﹣x 2+3x +4；
（2）①当△PAD 的面积最大时，P 点到直线AD 的距离就最大，
所以P 点在与直线AD 平行并且与抛物线相切的直线上，即P 点是这两个图像的唯一交点．
设P 点坐标为(x ，y )，依题意有：234
y x m y x x =-+⎧⎨=-++⎩， ∴x 2-4x +m -4=0
∵直线y =-x +m 与抛物线相切，即只有一个交点，
∴42+4(m -4)=0
∴m =8，
∴x 2-4x +4=0，
∴x 1=x 2=2
∴y =6
由此得P 点坐标为(2，6)
②过P 作PE ⊥x 轴于E 点，
由直线AC 的解析式y =﹣x ﹣1，可得A (-1，0)C (0，-1)，∴OA =OC
∵∠AOC =90°∴∠DAB =45°，
∴当AB 平分∠DAP 时，∠BAP =∠DAB ，则∠BAP =45°，
∴△PEA 是等腰直角三角形，∴PE =EA
设P 点坐标为(m ，n )，依题意有m +1=﹣m 2+3m +4，
∴m 1=3，m 2=-1(舍去)，
∴PE =EA =4，
∴PA 2（3）NC =5，
①当NC 是平行四边形的一条边时，
设点P 坐标为(x ，﹣x 2+3x +4)、则点M (x ，﹣x ﹣1)，
由题意得：|y M ﹣y P |=5，即：|﹣x 2+3x +4+x +1|=5，
解得：x =20或4(舍去0)，
则点M 坐标为3或(2或(4，﹣5)；
②当NC 是平行四边形的对角线时，
则NC 的中点坐标为(﹣1
2，2)，
设点M 坐标为(m ，﹣m 2+3m +4)、则点M (n ，﹣n ﹣1)，
N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形，则NC 的中点即为PM 中点， 即：122
m n +-=，2=23412m m n -++--， 解得：m =0或﹣4(舍去0)，
故点M (﹣4，3)；
故点M 的坐标为：3或(2或(4，﹣5)或(﹣4，3)
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，坐标与图形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握待定系数法及平行四边形的性质是解题的关键．
10．（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3）73
【分析】
（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；
（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；
（3）根据函数图像和性质，当2x =-时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．
【详解】
解：（1）根据题意，在函数1y x =-中，
∵10k =-<,
∴函数1y x =-在20x -≤<中，1y 随x 的增大而减小； ∵222131()24
y x x x =-+=-+， ∴对称轴为：1x =，
∴221y x x =-+在20x -≤<中，2y 随x 的增大而减小； 综合上述，21||(1)6
y x x x =-+在20x -≤<中，y 随x 的增大而减小； 故答案为：减小，减小，减小；
（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：
（3）由（2）可知，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大，无最大值；
由（1）可知21||(1)6
y x x x =-+在20x -≤<中，y 随x 的增大而减小； ∴在20x -≤<中，有 当2x =-时，73y =
， ∴m 的最大值为73
； 故答案为：73
． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值．
二、中考几何压轴题
11．（1）详见解析；（2）①；②，证明详见解析；（3）．
【分析】
（1）在等腰三角形ABM 中三线合一，即AM 还为三角形的角平分线与底边中线，可用AAS 证，可得，即可得证；
（2）①由题意可知，，，且，
解析：（1）详见解析；（2）①BD AN =；②BD AN =，证明详见解析；（3）
2S k ． 【分析】
（1）在等腰三角形ABM 中三线合一，即AM 还为三角形的角平分线与底边中线，可用AAS 证ABM ACN ∆∆≌，可得BM AN =，即可得证2BD AN =；
（2）①由题意可知，90ANC ∠=︒，90BMA ∠=︒，且90ACN CAN ∠+∠=︒，90BAM CAN ∠+∠=︒，可证BAM ∽ACN △，同理可证DAM △∽AEN △，可得12BM AN =，12
MD AE =，即可得出BD 与AN 的数量关系；②过E 点作AC 的平行线，交AN 的延长线于点P ，连接PC ，可证BAD ∽PEA ，即
BD AD AB PA EA PE ==，可得PE AC =，四边形AEPC 为平行四边形，所以12
AN PN AP ==，即可得出BD 与AN 的数量关系；
（3）由（2）②已证四边形AEPC 为平行四边形，所以1=2
ACE EPC AEPC S S S =△△四边形，且BAD ∽PEA ，
1AB AD AC AE k ==，所以212PEA AEPC S S S k
==△四边形，即ACE 的面积可得． 【详解】
（1）证明：∵AB AD =，AM BD ⊥于点M ，
∴2BD BM =，BAM DAM ∠=∠，（等腰三角形三线合一）
∵180CAN BAC BAM ∠=︒-∠-∠， 180EAN DAE DAM ∠=︒-∠-∠，
且90BAC DAE ∠=∠=︒，
∴CAN EAN ∠=∠，
∵AC AE =，
∴AN CE ⊥，即90ANC ∠=︒．
∴90ACN CAN ∠+∠=︒，
∵90BAM CAN ∠+∠=︒，
∴BAM ACN ∠=∠， 在ABM 和CAN 中，
=90AB=CA BAM ACN AMB CNA ∠=∠⎧⎪∠=∠︒⎨⎪⎩
∴ABM ACN ∆∆≌（AAS ），
∴BM AN =，∴2BD AN =．
（2）①BD AN =．
∵由题意可知，90ANC ∠=︒，90BMA ∠=︒，且90ACN CAN ∠+∠=︒，
90BAM CAN ∠+∠=︒，
∴BAM ACN ∠=∠，
∴BAM ∽ACN △，
同理，90ANE ∠=︒，90DMA ∠=︒，且90AEN EAN ∠+∠=︒，90DAM EAN ∠+∠=︒， ∴DAM AEN ∠=∠，
∴DAM △∽AEN △， ∴12BM AB AN AC ==，即12BM AN =，12MD AD AN AE ==，即12
MD AE =， ∴BD AN =．
②BD AN =．证明：过E 点作AC 的平行线，交AN 的延长线于点P ，连接PC ．
∴180PEA CAE ∠+∠=︒，
∵90BAC DAE ∠=∠=︒，
∴360180BAD CAE BAC DAE ∠+∠=︒-∠-=︒，
∴BAD PEA ∠=∠，
∵AM BD ⊥于点M ，∴90AMD ∠=︒．
∴90MAD ADB ∠+∠=︒．
∴90MAD EAP ∠+∠=︒．
∴ADB EAP ∠=∠，
∴BAD ∽PEA ， ∴
BD AD AB PA EA PE ==， ∵12AB AD AC AE ==，∴12BD AP =，1122
AB PE AC ==， ∴PE AC =．
∵//PE AC ，∴四边形AEPC 为平行四边形． ∴12
AN PN AP ==
，∴AN BD =． （3）2S k ． ∵由（2）②已证四边形AEPC 为平行四边形， ∴1=2
ACE EPC AEPC S S S =△△四边形， 又∵BAD ∽PEA ，
1AB AD AC AE k == ∴212PEA AEPC S S S k =
=△四边形， ∴212ACE AEPC S S S k
=
=△四边形． 【点睛】
本题主要考察了等腰三角形三线合一、全等三角形的证明与应用、相似三角形的证明与应用、平行四边形的性质，解题的关键在于构造出全等三角形，且掌握相似三角形面积之比为边长之比的平方．
12．（1）；（2）不成立，理由见解析；；（3），．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可得每一个内角都是，则可知△BDE 与△CDF 是含角的直角三角形，根据角所对直角边是斜边的一半即可得到结果；
（2）
解析：（1）12BE CF BC +=；（2）不成立，理由见解析；12
CF BE BC -=；（3）
BE =Δ1(92DEF S =
+． 【分析】
（1）根据等边三角形的性质可得每一个内角都是60︒，则可知△BDE 与△CDF 是含30角的直角三角形，根据30角所对直角边是斜边的一半即可得到结果；
（2）根据题意可证得BDG CDH ∆≅∆，得到BG CH =，DG DH =，进而求出ΔΔDGE DHF ≅，得到EG FH =，在Rt DCH ∆中，2CD CH =，CF BE CD -=，即12
CF BE BC -=．
（3）过点C 作CN DF ⊥，可求得CF =，根据顶角为120︒的等腰三角形面积的算法可求出DEF ∆的面积，
【详解】
（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴60B C ∠=∠=︒，
又∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，
∴30BDE CDF ∠=∠=︒， ∴12BE BD =,12
CF CD =, ∴()1122
+=+=BE CF BD CD BC ． （2）不成立．
理由如下：如图1，分别过点D 作DG AB ⊥于点G ，DH AC ⊥于点H ，
易证得BDG CDH ∆≅∆，
则BG CH =，DG DH =．
∵60A ∠=︒，90DGA DHA ∠=∠=︒，
∴120GDH ∠=︒．
∵120EDF ∠=︒，
∴FDH EDG ∠=∠，
则ΔΔDGE DHF ≅，
∴EG FH =，
∴()CF FH CF EG CF BE BG CF BE BG CH -=-=-+=--=，
即2CF BE CH -=．
在Rt DCH ∆中，2CD CH =，。