湖北省通城县第二高级中学高二数学下学期期中试题 理

通城二中2014-2015学年度下学期期中考试
高二数学试卷（理）
本试卷共4页，满分150分。

考试用时120分钟
第Ⅰ卷
选择题共12小题。

每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.
1.
21
=
m 是直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直的
( )
A.充分而不必要条件 B ．充分必要条件
C.必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
2.设椭圆的两个焦点分别为21,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )
A.
21
2- B. 12- C.22- D.22
3.已知条件
2
1:>+x p ，条件2
65:x x q >-，则p ⌝是q ⌝的( )
A.充要条件 B ．充分但不必要条件
C.必要但不充分条件
D.既非充分也非必要条件
4.设实数x 和y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则23z x y =+的最小
值为（ ）
A ．26
B ．24
C ．16
D ．14
5.如图所示的程序框图中，若5x =，则输出i 的值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5
6.设随机变量ξ的概率分布列为(),1,2,3,,62k c
P k k ξ==
=L ，其中c 为常数，则()2P ξ≤
的值为（ ）
A.43
B.2116
C.6463
D.6364
7.已知实数x ,y 满足
2246120x y x y +-++=则22x y --的最小值是 输入x
0i =32
x x =-1
i i =+109?x >i 输出结束
是
否
开始
A.5－ 5
B.4－ 5
C.5－1
D.5 5
8.已知双曲线)0,0(1222
2>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，直线
c a x 2
=与一条渐近线交于点A ，OAF ∆的面积为22
a (O 为原点)，则两条渐近线的夹角为( )
A ．90°
B ．45°
C ．60°
D ．30°
9.过抛物线
x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于B A ,两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 ( )
A.有且仅只有一条 B ．有且仅有两条 C.有无穷多条 D ．不存在
10.n
y x )231(+-的展开式中不含y 的项的系数和为（ ）
A ．n 2
B ．n 2-
C ．
n
)2(- D ．1 11.将两名男生、五名女生的照片排成一排贴在光荣榜上，恰有三名女生的照片贴在两名男生的照片之间的概率为
A ．37 B. 17 C. 2
7
D. 67
12.椭圆22:1
43x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围
是
[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（
）
A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣
⎦， B ．112⎡⎤
⎢⎥⎣⎦， C ．314⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦， D ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，
第Ⅱ卷
填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.若命题“
2
,10x R x ax ∃∈++<”是真命题，则实数a 的取值范围是 _______
14.在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为5
6，则m ＝________.
15．已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PA 、PB 是圆
012222=+--+y x y x 的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________．
16.如图，双曲线22
22 1 (,0)x y a b a b -=>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F . 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为,,,A B C D . 则
（1）双曲线的离心率e = ；
（2）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S
1
S S =
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）
已知p:方程210x mx ++=有两个不等的负实根；q:方程()244210x m x +-+=无实根.若“p
或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知点)1,3(M ，直线04=+-y ax 及圆
:C 4)2()1(2
2=-+-y x . (1)求过M 点的圆的切线方程；
(2)若直线04=+-y ax 与圆C 相切，求a 的值；
(3)若直线04=+-y ax 与圆C 相交于B A ,两点，且弦AB 的长为23，求a 的值.
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;
(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个?
(3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.
20.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在
下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为1,
2各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数,求X 的数学期望.
（本小题满分12分）
已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x 轴上，中心在原点．若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线y ＝kx ＋m (k≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N.当AM ＝AN 时，求m 的取值范围．
22．（本小题满分12分）
抛物线C 的方程为)0(2
<=a ax y ，过抛物线C 上一点)
0)(,(000≠x y x P 作斜率为21,k k 的
两条直线分别交抛物线C 于),(),,(2211y x B y x A 两点(P 、A 、B 三点互不相同)，且满足
)10(012-≠≠=+λλλ且k k ．
(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；
(2)设直线AB 上一点M 满足BM λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上；
(3)当λ=1时，若点P 的坐标为(1，-1)，求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围．
通城二中2014-2015学年度下学期期中考试 高二数学试卷（理）参考答案 ABBDC BAABC BD
13.)()(∞+⋃∞，，22-- 14.25
15.22 16.（1）
215+=
e ；（2）2522
1+=
S S 17.解：
240,
:2
0,m p m m ⎧∆=->⇒>⎨>⎩
；
()()2
2:1621616430
q m m m ∆=--=-+<.
因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，所以p 、q 一真一假.
（1）若p 真q 假，则2
2,3430,
m m m m >⎧
⇒≥⎨-+≥⎩；
（2）若q 真p 假，则2430,
122,
m m m m ⎧-+<⇒<≤⎨
≤⎩.
综上所述，m 的取值范围是312m m ≥<≤或. 18．解 (1)圆心C(1,2)，半径为r ＝2， 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3.
由圆心C(1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知， 此时，直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k(x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0.
由题意知|k －2＋1－3k|k2＋1＝2，解得k ＝3
4.
所以直线方程为y －1＝3
4(x －3)，即3x －4y －5＝0.
综上所述，过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0.
(2)由题意有|a －2＋4|a2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝4
3.
(3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a2＋1
， ∴(
|a ＋2|
a2＋1
)2＋(232)2＝4，解得a ＝－34. 19.解：(1)重量在[)90,95的频率20
0.450=
=;
(2)若采用分层抽样的方法从重量在
[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取
4个,则重量在
[)80,85的个数5
41515=
⨯=+;
(3)设在
[)80,85中抽取的一个苹果为x ,在[)95,100中抽取的三个苹果分别为,,a b c ,从抽出的
4个苹果中,任取2个共有(,),(,),(,),(,),(,),(,)x a x b x c a b a c b c 6种情况,其中符合“重量在
[)80,85和[)95,100中各有一个”的情况共有(,),(,),(,)x a x b x c 种;设“抽出的4个苹果中,任取
2个,求重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”为事件A ,则事件A 的概率
31()62P A =
=;
20.解：（1）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A 表示第4局甲当裁判．
则A=A1•A2，P （A ）=P （A1•A2）=P （A1）P （A2）=1/4
（2）X 的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．
B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，
则P （X=0）=P （B1B2A3）=P （B1）P （B2）P （A3）=1/8 P （X=2）=P （1B B2）=P(1B ) P （B2）=1/4 P （X=1）=1- P （X=0）- P （X=2）=5/8 从而EX=9/8
21.解 (1)依题意可设椭圆方程为x2
a2＋y2＝1， 则右焦点F(a2－1，0)，
由题设|a2－1＋22|2＝3，解得a2＝3.
故所求椭圆的方程为x2
3＋y2＝1.
(2)设P(xP ，yP)，M(xM ，yM)，N(xN ，yN)，P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x23＋y2＝1得(3k2＋1)x2＋6mkx ＋3(m2－1)＝0，
∵直线与椭圆相交，
∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)>0 ⇒m2<3k2＋1.①
∴xP ＝xM ＋xN 2＝－3mk 3k2＋1，
从而yP ＝kxP ＋m ＝m
3k2＋1，
∴kAP ＝yP ＋1xP ＝－m ＋3k2＋1
3mk ， 又∵AM ＝AN ，∴AP ⊥MN ，
则－m ＋3k2＋13mk ＝－1
k ，即2m ＝3k2＋1.② 把②代入①得m2<2m ，解得0<m<2； 由②得k2＝2m －13>0，解得m>1
2. 综上求得m 的取值范围是1
2<m<2.
22．（Ⅰ）解：由抛物线C 的方程，得焦点坐标为，
准线方程为；
（Ⅱ）证明：设直线PA 的方程为
直线PB 的方程为
，
点
的坐标是方程组
的解，
将②式代入①式得
=0，
于是，③
又点的坐标是方程组的解，
将⑤式代入④式得，
由已知得，， ⑥
设点M 的坐标为
，
由，
将③式和⑥式代入上式得，即，
所以线段PM 的中点在y 轴上。

（Ⅲ）解：因为点P （1，-1）在抛物线
上，所以a=-1，
抛物线的方程为，
由③式知，
将λ=1代入⑥式得，
因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为
，
于是，
，
因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，
故必有，
求得k1的取值范围为，
又点A的纵坐标y1满足，
故当；当；
所以∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围为。