2019-2020年高三数学立体几何重点专题复习教案空间的角人教版

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A 教学目标(考纲要求):
⒈掌握异面直线所成角的概念和异面直线所成角的求法;
2.掌握直线与平面所成角的概念,以及直线与平面所成角的求法;
3.理角二面角及平面角的概念掌握求二面角大小的方法.
4.培养学生将空间问题转化为平面问题的化归能力. 教学过程:
一、 提问检查基础知识
1.两条异面直线所成角的定义？范围是多少？
2.直线与平面所成角的定义？直线与平面所成角的范围是什么？怎样求直线与平面所成的角？
3.二面角的定义？怎样定义二面角的平面角？二面角的平面角的范围？怎样确定二面角的平面角？
二.基本技能训练讲评:
1、在棱长为1的正方体ABCD----A1B1C1D1中，M 、N 分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角为（ ）
A
B
C D
A 1
B 1
C 1
D 1M N G
（A ） （B ）（C ） （D ）
讲评：复习异面直线所成的角，取AB 的四等分点G ，连NG ，CG ，则∠CNG(或它的补角)为所求.选D.
2.在一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是( )
(A)相等 (B)互补 (C) 相等或互补 (D)不能确定 讲评:复习二面角的有关概念,选D 3、从一点出发的三条射线OA 、OB 、OC 两两成600角，则OA 与平面OBC 所成的角为________ 讲解:复习线面角的概念.强调结论如果一条射线与一个角的两边所成的角相等,则它在这个角所在平面上的射影是这个角的平分线.利用公式容易求得答案为
三.基本方法课堂演练：
4．如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角
解一：连结与交于，连结，
∵，，∴平面，
∴是与对角面所成的角，在中，， ∴．
解法二：由法一得是与对角面所成的角，
又∵
112cos cos 452A BB ∠==
，，
∴1111cos cos cos A BB A BO B BO ∠∠===
∠，∴．
说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的
夹角另外，在条件允许的情况下，用公式求线面角显得更加方便
5．如图，平面，，若，求二面角的正弦值
分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面
角
解：过作于，过作交于，连结， 则垂直于平面，为二面角的平面角， ∴， 又平面， ∴，， ∴平面， ∴，， 又∵，，
∴平面，∴， 设，则， 在中，
11
22BCD S BC DF BD CD ∆=
⋅=⋅，∴，
同理，中，，
∴sin 5DF FED DE ∠===，
所以，二面角的正弦值为．
四、综合能力提升 6、（xx 年全国卷Ⅰ）已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB=900,PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=DC=AB=1，M 是PB 的中点。

1.证明：面PAD ⊥面PCD ； 2、求AC 与PB 所成的角；
3、求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。

E
N
M
D
C B
A
P
分析：本小题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角的有关知识与思维能力及空间想象能力。

(1)证明：∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD,
∴由三垂线定理得：CD⊥PD，因而，CD与面PAD内内条相交直线AD、PD都垂直，∴CD⊥面PAD，又CD平面PCD，
∴面PAD⊥面PCD。

（2）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形，由PA⊥面ABCD得：∠PEB=900,在Rt△PEB中，BE=，PB=，∴
∴AC与PB所成的角为
(3)解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN，在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC. ∴BN⊥CM,故∠ANB为所求二面角的平面角。

∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中
,
AN MC AC ⋅=
∴
AN==
∵AB=2,
∴
2222 cos
23
AN BN AB
ANB
AN BN
+-
∠==-
⨯⨯
故所求的二面角为
说明:本题也可通过建立坐标系采用向量方法求解.
7. 如图所示,正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线,分别交AB\AC于B1,C1, 将△AB1C1折起到△A1B1C1的位置.使点A1在平面BB1C1C上的射影恰是线段BC的中点M,求(1)二面角A1—B1C1—M的大小。

（2）异面直线A1B1与CC1所成角的大小（用反三角函数表示）。

1111111111111111111111117.(1).
90260AM AG G ABC M BC A G M AM BC
B C BC
B C AM G GM B C GA B C AGM A B C M A BB C C M A M MG A MG Rt AGM AG AG GM AGM A B C M ∴⊥∴⊥⊥⊥∴∠--∴⊥∠=︒∆==∠=︒--解如图所示，连结，是正三角形的中心，且为的中点、、三点共线，∥与，即，是二面角的平面角
点在平面上的射影为，，在中，由得，即二面角的大11111111111111111111
60(2)11
2
2
90B C C BC P A B P A B CC PB C C B BP C C BP PM BM BP A B AB A M BB C C M A M BC A MP Rt AGM ︒
∠====-===⊥∴⊥∠=︒∆小是过做的平行线交与，则等于异面直线与所成的角由是平行四边形得，
，面于，，在中，
111222*********
1111111113
sin 6022
315
()()222
cos 2A M AG Rt A MP A P A M PM A B P A B B P A P A B P A B B P
=⋅︒==∆=+=+=
∆+-∠=
⋅⋅在中，
在中，由余弦定理得
22111521522218
5
arccos
8A B CC +-=
=⋅⋅∴与所成角的大小为
五.课堂小结:
（1）本节我们复习了用几何方法求异面直线所成的角、直线与平面成角、二面角的平面角等几个概念，同学们要注意这几个角的定义、范围等。

（2）在用几何方法求空间角时，要注意空间角转化为平面角求解这一转化思想。

(3)常用的解题步骤是： 一作、二证、三计算 学生作业
1.一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ） （A ）（0º,90º） （B ）[0º,90º] （C ）[0º,180º] （D ）[0º,180º] 答案：选B
2.从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ）
（A ）0或1 （B ）0或无数条 （C ）1或2 （D ）0或1或无数条 答案：选D
3、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 、F 分别为棱AB 、C1D1的中点，则A1B1与截面A1ECF 所成角的正弦值为（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）
讲评:复习直线与平面所成角的求法.容易证得平面A1B1C ⊥A1ECF,
即∠B1A1C 为所求.
在△A1B1C 中,容易求解.选B
4．空间四边形中，分别为的中点，若，，则与所成的角为 （ ）
(A) (B) (C) (D)
E F D 1C 1
B 1
A 1
D
C B
A
O
E D C
F B A 5．平面内有∠BOC=600，OA 是的斜线，OA 与∠BOC 两边所成的角都是450，且OA=1，则直线OA 与平面所成的角的正弦值是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 答案：选C
6．在600的二面角的棱上有两点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= 。

答案：7cm
7．正方体ABCD —A1B1C1D1中，平面AA1C1C 和平面A1BCD1所成的二面角（锐角）为 。

答案:
8.已知菱形的一个内角是600，边长为a ，沿菱形较短的对角线折成大小为600的二面角，则菱形中含600角的两个顶点间的距离为 。

答案:
9．设在平面内的射影是直角三角形的斜边的中点，， 求（1）与平面所成角的大小； (2)二面角的大小； (3)异面直线和的大小 解：（1）∵面 ∴ ∴为与面所成角
∵ ∴
∴ ∴ ∴ 即与平面所成角的大小为 （2）取中点，连接 ∴
∵ ∴ 又∵面 ∴
∴为二面角的平面角
又∵
11,222OE CD AO ===
∵ ∴ ∴
即二面角的大小为
（3）取的中点，连接，则
∴与所成的锐角或直角即为异面直线和所成角 易求得
即异面直线和所成角为
10．如图，设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD ，∠CBA=∠DBC=1200。

（1）A 、D 的连线和平面BCD 所成的角； （2）A 、D 的连线和直线BC 所成的角； （3） 二面角A —BD —C 的正切值；
10答案.(1)(2) (3)-2
A B D C。