不等式的证明

第二十九讲不等式的证明
(2)作商法
①要证A ＞B (B ＞0)，只要证A
B ＞1； 要证A ＜B (B ＞0)，只要证A
B ＜1.
②证明步骤：作商―→变形―→判断与1的关系． 常用变形方法：一是配方法，二是分解因式．
2．分析法
从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．分析法的思想是执果索因；即从求证的不等式出发，探求使结论成立的充分条件，直至是已成立的不等式．
采用分析法证明不等式时，常用“⇐”的符号，有时，若为充要条件时，也常用“⇔”的符号．证明过程常表示为“要证……只要证……”
3．综合法 所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，可简称为由因导果． 考点陪练
1.已知x 、y ∈R ，M ＝x 2＋y 2＋1，N ＝x ＋y ＋xy ，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ≥N B.M ≤N C ．M ＝N D.不能确定
解析：M －N ＝x 2＋y 2＋1－(x ＋y ＋xy )
＝1
2[(x 2＋y 2－2xy )＋(x 2－2x ＋1)＋(y 2－2y ＋1)]
＝1
2[(x －y )2＋(x －1)2＋(y －1)2]≥0. 故M ≥N . 答案：A
解析：∵a ＞0，b ＞0时，2ab a ＋b ≤2ab
2ab ＝ab .∴A 错；
α＝0°时，tan α＋cos α＝1＜2，∴B 错； 当a ＝2，b ＝1，m ＝1时，检验C 错； (3＋5)2－42＝8＋215－16＝2(15－4)＜0， ∴3＋5＜4，故D 正确． 答案：D
解析：∵x >0，y >0，
∴
x 2＋x >x 2＋x ＋y
， y 2＋y >y 2＋y ＋x ， ∴N ＝x 2＋x ＋y 2＋y ＞x 2＋x ＋y ＋y 2＋x ＋y
＝
x ＋y
2＋x ＋y
＝M .
答案：B
5．设y 是实数，且4y 2＋4xy ＋x ＋6＝0，则x 的取值范围是( ) A ．－3≤x ≤2 B.－2≤x ≤3 C ．x ≤－2或x ≥3
D.x ≤－3或x ≥2
解析：已知等式是关于y 的一元二次方程，由它有实数根知：Δ＝(4x )2－4×4(x ＋6)＝16(x 2－x －6)≥0，解得x ≤－2或x ≥3.
答案：C
类型一 用比较法证明不等式 解题准备：比较法是证明不等式的一种最基本的方法，使用此方法的前提条件是：作差之后可进行化简、组合，使之变为一个常数、一个常数与n 个平方或n 个因式的积的形式，目的在于判定差的符号
【典例1】 若x 、y 、z ∈R ，a 、b 、c ∈R ＋.
求证：b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2
≥2(xy ＋yz ＋zx )． [证明]∵b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b
c z 2－2(xy ＋yz ＋zx ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b
a x 2－2xy ＋a
b y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
c b y 2－2yz ＋b c z 2 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a
c z 2－2zx ＋c a x 2＝⎝
⎛⎭⎪⎫ b
a x － a
b y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
c b y － b c z 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a c z － c a x 2
≥0，
∴b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b
c z 2≥2(xy ＋yz ＋zx )．
[点评]上述配方技巧的实现关键在于合理的分项． 类型二 综合法在证明不等式中的应用 解题准备：用综合法证明不等式中所依赖的不等式主要是重要的不等式，要掌握重要不等式及其变形形式．一般说来，当条件中信息量较大，不易于推理，或要证明不等式与重要不等式相差较明显时，常用综合法证明不等式．
【典例2】如果a >b ，ab ＝1，求证：a 2＋b 2≥22(a －b )．
[分析]∵a >b ，a －b >0，∴若证a 2
＋b 2
≥22(a －b )，只需证a 2＋b 2
a －b
≥2 2.
[证明]∵a >b ，则a －b >0，又知ab ＝1， ∴a 2＋b 2a －b ＝a 2＋b 2＋2ab －2ab a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝a －b ＋2a －b
≥2
(a －b )·2
a －b
＝2 2.
∴a 2＋b 2a －b
≥22，即a 2＋b 2≥22(a －b ) 类型三 分析法在证明不等式中的应用
解题准备：1.寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分．
2．分析法和综合法要结合起来使用，也就是“两头凑”，会使问题较易解决． 3．分析法的叙述较繁琐，且不易看懂，往往是用分析法探寻思路，用综合法叙述证明过程．
【典例3】已知正数a 、b 、c 满足a ＋b <2c ，求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .
[证明]要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab ， 只需证－c 2－ab <a －c <c 2－ab ， 也就是只要证明|a －c |<c 2－ab . ∵两边都是非负数， ∴只要证(a －c )2<c 2－ab ， 也就是只要证a 2－2ac <－ab ， 即只要证a (a ＋b )<2ac .
∵a >0，只需证a ＋b <2c ，这就是已知条件，且以上各步都可逆， ∴证得c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab
[点评]一般来说，如果已知条件信息量较小，或已知与求证间的直接联系不明显，“距离”较大，用分析法来证明． 类型四 用反证法证明不等式 解题准备：用反证法证明不等式，常从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定命题成立．但要注意对结论的否定要全面，不能遗漏，方能得出原不等式成立．
【典例4】 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0， 求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0.
[证明] 假设a 、b 、c 不都是正数，
由abc ＞0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设a ＜0，b ＜0，c ＞0，则由a ＋b ＋c ＞0 可得c ＞－(a ＋b )，又a ＋b ＜0， c (a ＋b )＜－(a ＋b )(a ＋b )
ab ＋c (a ＋b )＜－(a ＋b )(a ＋b )＋ab 即ab ＋bc ＋ac ＜－a 2－ab －b 2 ∵a 2＞0，ab ＞0，b 2＞0，
∴－a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)＜0
即ab ＋bc ＋ac ＜0
这与已知ab ＋bc ＋ac ＞0矛盾，∴假设不成立 因此a ＞0，b ＞0，c ＞0成立 类型五 用放缩法证明不等式
解题准备：欲证A ≥B ，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得B ≤B 1，B 1≤B 2，…，B i ≤A 或A ≥A 1，A 1≥A 2，…，A i ≥B ，再利用传递性，以达到欲证的目的．
【典例5】设S n ＝1·2＋2·3＋…＋n (n ＋1)，
求证：不等式n (n ＋1)2＜S n ＜(n ＋1)2
2对所有的正整数n 都成立
[证明]∵S n ＞12＋22＋…＋n 2＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)
2.
又∵S n ＜1＋22＋2＋32＋…＋n ＋(n ＋1)
2(均值不等式)
＜12＋32＋5
2＋…＋2n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫加12＝(n ＋1)22.
∴n (n ＋1)2＜S n ＜(n ＋1)22.
[点评] 本题所用的证明方法叫放缩法．在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析得出的．本题理科学生也可利用数学归纳法． 类型六 用判别式法证明不等式
解题准备：一般地，可以转化为某变量的一元二次方程的形式，且变量的允许值范围在实数集内的问题可以考虑用判别式法证明，但应注意对二次项系数进行讨论．
【典例6】求证：12≤x 2
＋x ＋1x 2＋1
≤3
2.
[证明]设y ＝x 2＋x ＋1
x 2＋1，则(1－y )x 2＋x ＋1－y ＝0.
(1)当y ≠1时，
由x ∈R ，Δ＝1－4(1－y )2≥0，得12≤y ≤3
2(y ≠1)． (2)当y ＝1时，
由(1－y )x 2＋x ＋1－y ＝0得x ＝0.
而x ＝0是函数y ＝x 2＋x ＋1
x 2＋1的定义域中的一个值，
∴y ＝1是它的值域中的一个值．
由(1)和(2)，知12≤y ≤32，即12≤x 2
＋x ＋1x 2＋1
≤3
2.
[点评]用判别式法证明不等式，实际上就是求函数最大(小)值或值域．方法是：①由f (y )x 2＋g (y )x ＋φ(y )＝0、f (y )≠0，依据x ∈R ，Δ≥0求出y 的范围；②讨论f (y )＝0时的x 的值是否是函数y 的定义域中的值？若是y 的范围，则含f (y )＝0的y 值，否则不含这个值．本题解法对证明形如“a ≤a 1x 2＋b 1x ＋c 1a 2x 2＋b 2x ＋c 2≤b ，
c ≤a 1x 2＋b 1x ＋c 1a 2x ＋b 2
≤d ”的不等式具有一般性．
类型七 用函数的性质证明不等式
解题准备：根据欲证不等式的具体结构特征，通过构造函数、数列等，达到促进转化、简化证明的目的．
【典例7】求证：x 2＋5x 2＋4≥5
2
.
[分析]将不等式左边构造成一个函数，说明函数的最小值大于5
2即可．
[证明]令f (x )＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2
＋4＋1x 2＋4，
令t ＝x 2＋4，∴t ≥2，∴f (t )＝t ＋1
t ， f ′(x )＝1－1t 2，∵t ≥2，∴1－1
t 2>0， ∴f (t )在t ∈[2，＋∞)上单调递增，
∴f (t )min ＝f (2)＝2＋12＝5
2，即x 2＋5x 2＋4
≥52.
[点评]当进行了换元变换时，一定要注意变量的取值范围的相应变化．在本题中，f (x )＝x 2＋5x 2＋4中的变量x ∈R ，而在f (t )＝t ＋1
t 中的变量t ≥2
快速解题
技法 已知a 、b 、c 、d ∈R ，x 、y ∈R ＋，且x 2＝a 2＋b 2，y 2＝c 2＋d 2.
求证：xy ≥ac ＋bd .
快解：联想到圆的参数方程，设a ＝x cos θ，b ＝x sin θ，c ＝y cos φ，d ＝y sin φ，则ac ＋bd ＝xy cos θcos φ＋xy sin θsin φ＝xy cos(θ－φ)≤xy .。