镇远县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

镇远县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知命题p ：“∀∈[1，e]，a ＞lnx ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2﹣4x+a=0””若“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（1，4]
B ．（0，1]
C ．[﹣1，1]
D ．（4，+∞）
2． 已知集合P={x|﹣1＜x ＜b ，b ∈N}，Q={x|x 2﹣3x ＜0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则b 的最小值等于（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3． 设函数F （x ）=
是定义在R 上的函数，其中f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f ′（x ）＜f （x ）对于x
∈R 恒成立，则（ ） A ．f （2）＞e 2f （0），f B ．f （2）＜e 2f （0），f C ．f （2）＞e 2f （0），f D ．f （2）＜e 2f （0），f
4． 在二项式的展开式中，含x 4
的项的系数是（ ）
A ．﹣10
B ．10
C ．﹣5
D ．5
5． 函数
的定义域是（ ）
A ．[0，+∞）
B ．[1，+∞）
C ．（0，+∞）
D ．（1，+∞）
6 f x [14]f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象如图所示．
）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=3，，A=60°，则满足条件的三角形
个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．以上都不对
8． 若直线2y x 上存在点(,)x y 满足约束条件
30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
则实数m 的最大值为 A 、1- B 、 C 、3
2
D 、2 9． “2
4
x π
π
-
<≤
”是“tan 1x ≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性. 10．P
是双曲线
=1（a ＞0，b ＞0）右支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2
的内切圆圆心的横坐标为（ ）
A ．a
B ．b
C ．c
D ．a+b ﹣c
11．已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣2
12．设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．3πa 2 B ．6πa 2 C ．12πa 2D ．24πa 2
二、填空题
13．如图，已知m ，n 是异面直线，点A ，B m ∈，且6AB =；点C ，D n ∈，且4CD =.若M ，N 分 别是AC ，BD
的中点，MN =m 与n 所成角的余弦值是
______________.
【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.
14．在（x 2
﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ．
15．已知[2,2]a ∈-，不等式2
(4)420x a x a +-+->恒成立，则的取值范围为__________. 16．已知函数f （x ）=cosxsinx ，给出下列四个结论： ①若f （x 1）=﹣f （x 2），则x 1=﹣x 2； ②f （x ）的最小正周期是2π；
③f （x ）在区间[﹣，]上是增函数；
④f （x ）的图象关于直线x=对称．
其中正确的结论是 ．
17．已知复数
，则1+z 50+z 100
= ．
18．已知函数f （x ）=x 3﹣ax 2+3x 在x ∈[1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围 ．
三、解答题
19．若{a n }的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）均在函数y=的图象上．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设，T n 是数列{b n }的前n 项和，求：使得对所有n ∈N *
都成立的最大正整数m ．
20．设A=2
{x|2x
+ax+2=0}，2A ∈,集合2{x |x 1}B ==
（1）求a 的值，并写出集合A 的所有子集；
（2）若集合{x |bx 1}C ==,且C B ⊆,求实数b 的值。

21．．
（1）求证：
（2），若．
22．已知△ABC的顶点A（3，1），B（﹣1，3）C（2，﹣1）求：（1）AB边上的中线所在的直线方程；
（2）AC边上的高BH所在的直线方程．
23．等差数列{a n}的前n项和为S n．a3=2，S8=22．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
24．设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值．
镇远县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：若命题p：“∀∈[1，e]，a＞lnx，为真命题，
则a＞lne=1，
若命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a=0”为真命题，
则△=16﹣4a≥0，解得a≤4，
若命题“p∧q”为真命题，
则p，q都是真命题，
则，
解得：1＜a≤4．
故实数a的取值范围为（1，4]．
故选：A．
【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．
2．【答案】C
【解析】解：集合P={x|﹣1＜x＜b，b∈N}，Q={x|x2﹣3x＜0，x∈Z}={1，2}，P∩Q≠∅，
可得b的最小值为：2．
故选：C．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的意义，是基础题．
3．【答案】B
【解析】解：∵F（x）=，
∴函数的导数F′（x）==，
∵f′（x）＜f（x），
∴F′（x）＜0，
即函数F（x）是减函数，
则F（0）＞F（2），F（0）＞F＜e2f（0），f，
故选：B
4．【答案】B
【解析】解：对于，
对于10﹣3r=4，
∴r=2，
则x4的项的系数是C52（﹣1）2=10
故选项为B
【点评】二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
5．【答案】A
【解析】解：由题意得：2x﹣1≥0，即2x≥1=20，
因为2＞1，所以指数函数y=2x为增函数，则x≥0．
所以函数的定义域为[0，+∞）
故选A
【点评】本题为一道基础题，要求学生会根据二次根式的定义及指数函数的增减性求函数的定义域．
6．【答案】C
【解析】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示：
因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，
所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个．
故选：C．
【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．
7．【答案】B
【解析】解：∵a=3，，A=60°，
∴由正弦定理可得：sinB===1，
∴B=90°，
即满足条件的三角形个数为1个． 故选：B ．
【点评】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于基础题．
8． 【答案】B
【解析】如图，当直线m x =经过函数x y 2=的图象 与直线03=-+y x 的交点时，
函数x y 2=的图像仅有一个点P 在可行域内， 由230
y x
x y =⎧⎨
+-=⎩，得)2,1(P ，∴1≤m ．
9． 【答案】A
【解析】因为tan y x =在,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增，且24x ππ-<≤，所以tan tan 4x π≤，即tan 1x ≤.反之，当tan 1x ≤时，24k x k πππ-<≤+π（k Z ∈），不能保证24x ππ-<≤，所以“24
x ππ
-<≤”是“tan 1x ≤”
的充分不必要条件，故选A. 10．【答案】A
【解析】解：如图设切点分别为M ，N ，Q ， 则△PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标与Q 横坐标相同．
由双曲线的定义，PF 1﹣PF 2=2a ． 由圆的切线性质PF 1﹣PF 2=F I M ﹣F 2N=F 1Q ﹣F 2Q=2a ，
∵F 1Q+F 2Q=F 1F 2=2c ，
∴F 2Q=c ﹣a ，OQ=a ，Q 横坐标为a ．
故选A ．
4
254141
5432
【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义．
11．【答案】D
【解析】：解：∵∥，
∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．
故选：D．
12．【答案】B
【解析】解：根据题意球的半径R满足
（2R）2=6a2，
所以S球=4πR2=6πa2．
故选B
二、填空题
13．【答案】
5 12
【解析】
14．【答案】84．
【解析】解：（x 2﹣）9
的二项展开式的通项公式为 T r+1=•（﹣1）r •x 18﹣3r ，
令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T 7===84，
故答案为：84．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
15．【答案】(,0)(4,)-∞+∞ 【解析】
试题分析：把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，[-2a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可，设关于的函数44)2(24)4(x f(x)y 22+-+-=-+-+==x x a x a x a 对任意的2]，[-2a ∈，当-2a =时，044)42(x )2(f(a)y 2>++--+=-==x f ，即086x )2(2>+-=-x f ，解得4x 2x ><或；当2a =时，044)42(x )2(y 2
>-+-+==x f ，即02x )2(2
>-=x f ，解得2x 0x ><或，∴的取值范围是
{x|x 0x 4}<>或；故答案为：(,0)(4,)-∞+∞．
考点：换主元法解决不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简
洁，是易错题．把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，[-2
a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可.关键是换主元需要满足两个条件，一是函数必须是关于这个量的一次函数，二是要有这个量的具体范围.
16．【答案】 ③④ ．
【解析】解：函数f （x ）=cosxsinx=sin2x ，
对于①，当f （x 1）=﹣f （x 2）时，sin2x 1=﹣sin2x 2=sin （﹣2x 2） ∴2x 1=﹣2x 2+2k π，即x 1+x 2=k π，k ∈Z ，故①错误；
对于②，由函数f （x ）=sin2x 知最小正周期T=π，故②错误；
对于③，令﹣
+2π≤2x ≤
+2k π，k ∈Z 得﹣
+k π≤x ≤
+k π，k ∈Z
当k=0时，x ∈[﹣，
]，f （x ）是增函数，故③正确；
对于④，将x=
代入函数f （x ）得，f （
）=﹣为最小值，
故f （x ）的图象关于直线x=对称，④正确．
综上，正确的命题是③④． 故答案为：③④．
17．【答案】i．
【解析】解：复数，
所以z2=i，又i2=﹣1，所以1+z50+z100=1+i25+i50=1+i﹣1=i；
故答案为：i．
【点评】本题考查了虚数单位i的性质运用；注意i2=﹣1．
18．【答案】（﹣∞，3]．
【解析】解：f′（x）=3x2﹣2ax+3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即3x2﹣2ax+3≥0在[1，+∞）上恒成立．
则必有≤1且f′（1）=﹣2a+6≥0，
∴a≤3；
实数a的取值范围是（﹣∞，3]．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由题意知：S n=n2﹣n，
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣2，
当n=1时，a1=1，适合上式，
则a n=3n﹣2；
（2）根据题意得：b n===﹣，T n=b1+b2+…+b n=1﹣+﹣+…+
﹣=1﹣，
∴{T n}在n∈N*上是增函数，∴（T n）min=T1=，
要使T n＞对所有n∈N*都成立，只需＜，即m＜15，
则最大的正整数m为14．
20．【答案】（1）5a =-，A 的子集为：φ，12⎧⎫
⎨⎬⎩⎭，{}2，1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭
；（2）0或1或1-。

【解析】
试题分析：（1）由2A ∈有：2
22220a ⨯++=，解得：5a =-，此时集合{}
212520,22A x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭
，
所以集合A 的子集共有4个，分别为：φ，12⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2，1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭
；（2）由题{}1,1B =-若C B ⊆，当C φ=时，0b =，当C φ≠时，{}1B =或{}1B =-，当{}1C =时，1b =，当{}1C =-时，1b =-，所以实数b
的值为1或1-。

本题考查子集的定义，求一个集合的子集时，注意不要漏掉空集。

当集合A B ⊆时，要分类讨论，分A φ=和A φ≠两类进行讨论。

考查学生分类讨论思想方法的应用。

试题解析：（1）由2A ∈有：222220a ⨯++=，解得：5a =-，
{}212520,22A x x x ⎧⎫
=-+==⎨⎬⎩⎭
所以集合A 的子集为：φ，12⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2，1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭
（2）{}1,1B =-,由C B ⊆：当C φ=时，0b =
当C φ≠时，1b =或1b =-， 所以实数b 的值为：0或1或1- 考点：1.子集的定义；2.集合间的关系。

21．【答案】
【解析】解：（1）∵，
∴a n+1=f （a n ）=，
则，
∴{
}是首项为1，公差为3的等差数列；
（2）由（1）得， =3n ﹣2，
∵{b n }的前n 项和为
，
∴当n ≥2时，b n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣2n ﹣1=2n ﹣1
， 而b 1=S 1=1，也满足上式，则b n =2n ﹣1
，
∴==（3n﹣2）2n﹣1，
∴=20+4•21+7•22+…+（3n﹣2）2n﹣1，①
则2T n=21+4•22+7•23+…+（3n﹣2）2n，②
①﹣②得：﹣T n=1+3•21+3•22+3•23+…+3•2n﹣1﹣（3n﹣2）2n，∴T n=（3n﹣5）2n+5．
22．【答案】
【解析】解：（1）∵A（3，1），B（﹣1，3），C（2，﹣1），∴AB的中点M（1，2），
∴直线CM的方程为=
∴AB边上的中线所在的直线方程为3x+y﹣5=0；
（2）∵直线AC的斜率为=2，
∴直线BH的斜率为：﹣，
∴AC边上的高BH所在的直线方程为y﹣3=﹣（x+1），
化为一般式可得x+2y﹣5=0
23．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=2，S8=22．
∴，
解得，
∴{a n}的通项公式为a n=1+（n﹣1）=．
（2）∵b n===﹣，
∴T n=2+…+
=2
=．
24．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合【试题解析】（Ⅰ）因为
．
所以函数的最小正周期为．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得．
因为，
所以，
所以．
所以．
且当时，取到最大值；
当时，取到最小值．。