陕西省西安一中2021届高三数学上学期模拟调研考试试题理

某某省某某一中2021届高三数学上学期模拟调研考试试题 理
注意事项：
1.本试卷共4页，考试时间120分钟，卷面总分150分.
2.答题前，考生务必将自己的某某、某某号填写在答题卡相应的位置上.
3.全部答案写在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1z i =-+，则
1
z z
+=（ ） A.0
B.
22
C.1
D.2
2.已知集合{}
4A x x a =-≤，(){}
30B x x x =-≤，且{}02A B x x =≤≤，则a =（ ）
A.-2
3.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖，清代称攒尖.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑..以八角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，若此正八棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）
A.
cos 3cos
8
α
π B.
sin 3sin
8
α
π C.
3cos 8cos πα D.
3sin
8sin πα F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，且4MF =，则M 到x 轴的距离为（ ）
A.4
B.42x ，y ，z 都是正数，y 与x 的回归方程：ˆ3y
bx =+，且x 每增加1个单位，y 减少2个单位，y 与z 的回归方程：2
ˆ2y
z =，则（ ）
A.y 与x 正相关，z 与x 正相关
B.y 与x 正相关，z 与x 负相关
C.y 与x 负相关，z 与x 正相关
D.y 与x 负相关，z 与x 负相关
()()1
0f x a x x x
=+
>，在()()1,1f 处的切线方程为y x n =+，则a 、n 的值分别为（ ） A.
7.设函数()()2cos 22f x x a πϕϕ⎛⎫
=++<
⎪⎝
⎭
在57,1212ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的图像大致如图，则a 与ϕ分别为（ ）
6
π
-
3
π
-
和
3π和6
π 8.()24x ay x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
的展开式中32x y 项的系数为4，则a =（ ） A.0
C.
5
2
9.已知,22ππα⎛⎫
∈-
⎪⎝
⎭，cos 23sin 10αα++=，则tan α=（ ） A.3- B.3
3
-
3 D.
33
ABCD 的四个顶点都在球O 上，OA 与平面ABCD 所成角为
4
π
，则球O 的表面积为（ ） A.64π
B.32π
C.16π
D.128π
330x y --=与x 轴交于A ，与圆()()2
2
:234M x y -++=交于B 、C 两点，过A 的直线与过B 、C 两点
的动圆N 切于P ，当PBC △的面积最大时，切线AP 的方程为（ ） A.330x y = 330x y += 330x y +=
D.330x y =
ln 2ln 3ln 5
235235
a b c +
=+=+，则（ ） A.ln 5ln 2ln 3c a b >> B.ln 2ln 5ln 3a c b >> C.ln 3ln 5ln 2b c a >>
D.ln 2ln 3ln 5a b c >>
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13.x 、y 满足约束条件220200x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为_______________.
a ，
b 满足22a b ==，1
4
a b ⋅=-，则2a b +=_____________.
15.过双曲线()22
221,0x y a b a b
-=>的右焦点2F 且与x 轴垂直的直线与渐近线交于第一象限的一点P ，1F 为
左焦点，直线1F P 的倾斜角为
4
π
，则双曲线的离心率e 为________________. 1111ABCD A BC D -的展开图如图所示，侧面展开图是正方形1AMNA ，下底面为矩形ABFE ，且22AB AE ==，对角线1A M 上一动点Q ，当AQ FQ +最小时，AQF ∠的余弦值为_____________.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤.第17-21题为必考题.第22、23题为选考题.
（一）、必考题：共60分. 17.（12分）
公差0d ≠的等差数列{}n a 中，数列n a 的前n 项和为n S 且520S =，3a 是1a 与7a 的等比中项. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设2n a n n b a =⋅，求{}n b 的前n 项和n T . 18.（12分）
乒乓球单打决赛，采用7局4胜，每一局都是一方胜、一方负，没有平局，先胜4局者获胜，若没有一方羸够4局，比赛继续，直到有一方赢够4局为止，比赛结束，现甲、乙两人决赛，每局甲胜乙的概率为2
3
. （1）求打了6局甲取胜的概率； （2）求打了7局比赛结束的概率.
19.（12分）
如图，圆柱1OO 的轴截面11ABB A 是正方形，1O
、O 分别是上、下底面的圆心，C 是弧AB 的中点，D 、E 分别是1AA 与BC 中点.
（1）求证：//DE 平面11ACB ； （2）求二面角11B AC B --的余弦值. 20.（12分）
椭圆()22
22:103x y C b b b
+=>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上顶点为B ，点()1,0D ，直线BD 的倾斜角为
135°.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过D 且斜率存在的动直线与椭圆C 交于M 、N 两点，直线1A M 与2A N 交于P ，求证：P 在定直线上. 21.（12分）
已知0a >，函数()()2
112
x a
f x x a e x ax +=---
+. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若任意[]12,0,2x x a ∈，()()
()2231212
a a f x f x e e --+≤+恒成立，求a 的取值X 围. （二）、选考题：共10分.请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为3
42
x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以直角坐标原点O 为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4
13cos 4k k k k ρπθ=
⎛⎫
-++ ⎪
⎝⎭
.
（1）当1k =时，求直线l 和C 的普通方程；
（2）当2k =时，试判断直线l 和C 有无交点，若有，求出交点的坐标；若无，说明理由. 23.【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()1
112
f x x x =
--+.
（1）在如图所示的网格纸中作出函数()f x 的图象； （2）求()4f x x ≤-的解集.
2020-2021学年高三年级模拟调研考试
理科数学参考答案
1.【答案】B 【解析】1z i =--，()11111222i i z i i z i -+-===+--，则12
2
z z +=. 2.【答案】A
【解析】由题意，{}
4A x x a =≤+，{}03B x x =≤≤，又{}02A
B x x =≤≤，故42a +=，得2a =-，
故选A. 3.【答案】C
【解析】如图，O 为正八棱锥S ABCDEFGH -底面外接圆心，连接OA ，OB ，OE ，由题意，
38
OAB π
∠=，SAB α∠=，则3cos
138cos cos 28cos SA AB SA OA OA π
παα
=⋅=⋅⇒=.
4.【答案】A
【解析】设()11,M x y ，由抛物线性质得：1422x =-=，∴2
1182164y y =⋅=⇒=，故M 到x 的距离
为4，故选A. 5.【答案】D
【解析】由题意，得：2b =-，故y 与z 正相关，y 与x 负相关，可得：z 与x 负相关. 6.【答案】C 【解析】()2
12f x x x
'=
，则()
11142a
k f a '==-=⇒=，()15f =，故切线为514y x y x -=-⇒=+，比较y x n =+，4n =.
7.【答案】C
【解析】由图知()f x 的最大值为3，即231a a +=⇒=，又2cos 123
π
ϕϕ+=⇒=±，由图可看出()
f x 的图像是由()cos2
g x x =的图像首先向左平移，再向上平移后得来的，则3
π
ϕ=.
8.【答案】D
【解析】由题意，3
2
x y 项为()()()21
3133
334
4 1141x ay C x y C xy a xy y
-⋅+⋅-⋅=-+，故()414a -+=，所
以2a =-. 9.【答案】B
【解析】
2212sin 3sin 102sin 3sin 20αααα-++=⇒--=，1
sin 2
α=-或sin 2α=，由sin 1α≤，所以1sin 2α=-
，33cos tan αα=⇒=. 10.【答案】A
【解析】如图，设正方形ABCD 外接圆的圆心为1O ，由题意，14
OAO π
∠=
，则
1cos
sin
44
4
AO AO AD AO AD π
π
=⋅=⋅⇒==，表面积24464S ππ=⋅=.
11.【答案】
D
【解析】H 是BC 中点，如图，(
)
3,0A
，(
)
2
2
23231643AM =
-+=-，
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
2
22
AP AN NP AH NH
CH NH
AH CH =-=+-+=-=
()()2
2
2
2
2
2
1243AM
MH
MC
MH
AM
MC ---=-=-为定值，∴AP 为定值，设PBC △的
BC 边上高为h ，由PBC △的面积12S BC h =
，由于BC 不变，则当PA BC ⊥时，h 最大，1
2
S BC h =最大，则AP 的方程为：(
)
3
33303
y x x y =-
-⇒+-=.
12.【答案】A
【解析】由函数()ln x f x x =，()1ln x
f x x
-'=，可知，()0,x e ∈，()0f x '>，(),x e ∈+∞，()0f x '<，又()()ln 22ln 2ln 424244f f ====，ln 3ln 4ln 2ln 5
3425>=>，与ln 2ln 3ln 5235523ln 5ln 2ln 3235
a b c c a b c a b +=+=+⇒>>⇒>>.
13.【答案】1
【解析】22y x z y x z -=⇒=+，z 的几何意义是在y 轴上截距，画出可行域的图，如图，阴影部分，当直线2y x z =+过220x y +-=与y 轴交点时，z 最大为1z =.
14.【答案】4
【解析】2
2
2
24416111624a b a b a b a b +=++⋅=+-=⇒+=. 15.【答案】5
【解析】由题意，可求得：,
bc P c a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则1222tan 24422F P
bc b a k b a c a a c a
π===⇒=⇒-=，得：
255e e =⇒=.
16.【答案】
5665
【解析】A 关于对角线1A M 的对称点是N ，连FN 与1A M 交于Q ，此时AQ FQ FN +=最小，由题意得：
16A A AM ==，62AN =，227465FN =+=，5AF =，由余弦定理得：
7265511cos 26265130ANF +-∠==⋅⋅，2
1156cos 221651cos 30AQF ANF ⎛⎫
∠=∠=-= ⎪⎝⎭
.
17.【答案】（1）1n a n =+；（2）2
2
n n +⋅.
【解析】（1）由题意，()()
()22111131715262524120202a d a a d a a a a a d d S ⎧⎧+=+==⎧⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⎨
+==⎩=⎪⎪⎩⎩
， 得：1n a n =+.……………………………………………………………………………………4分 （2）()1
212
n a
n n n b a n +=⋅=+⋅，
()2312232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅①， ()341222232212n n n T n n ++=⋅+⋅+
+⋅++⋅②，
①-②得：()2
3
4
122222212n n n T n ++-=⋅+++
+-+⋅
()()312222122212212
n n n n n -++-=
+⋅-+⋅=-⋅-，.………………………………………………10分
得：22n n n T +⋅=.………………………………………………………………………………………12分 18.【答案】见解析
【解析】（1）这代表前5局甲胜3局，第6局甲胜，则所求概率为：3
2
35
212160
333729
C ⎛⎫
⎛⎫⋅⋅⋅=
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭.……5分 （2）这代表打了7局乙胜或甲胜，所求概率为3
33
3
3366212121160
333333729C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
.……12分 19.【答案】（1）见解析；（2）
15
5
. 【解析】（1）取1CB 的中点为M ，连接DE ，ME ，1A M 则11////EM BB AA ，且111
2
EM AA A D =
=， ∴四边形1A DEM 是平行四边形，与1A M ⊂平面11ACB ，
∴//DE 平面11ACB .……………………………………………………………………5分
（2）以O 为原点，OC 、OB 、1OO 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，如图，设OB a =，
则()0,,0B a ，(),0,0C a ，()10,,2A a a -，()10,,2B a a ，
设平面1A BC 向量为()111,,m x y z =，设平面11A B C 的法向量为()222,,n x y z =，
则1111
1120000ax ay az m AC ax ay m BC ⎧+-=⋅=⎧⎪⇒⎨
⎨-=⋅=⎩⎪⎩，1
2
222110202
00n AC ax ay az ay n A B ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩ 令11x =，21z =，得：()1,1,1m =，()2,0,1n =
.…………………………………………8分 则cos ,13m n m n m n
+⋅⋅==
=
⋅.………………………………………………………11分 由图中可看出二面角11B AC B --是锐角， 故二面角11B AC B --.…………………………………………12分 20.【答案】（1）2
213
x y +=；（2）3x =. 【解析】（1）()0,B b ， 由题意，tan135111
BD b
k b =
=︒=-⇒=-， 椭圆C 的方程2
213
x y +=.………………………………………………………………………4分 （2）设(),P x y ，()11,M x y ，()22
,N x y ，过D 的动直线：
()1y k x =-
，代入椭圆C 的方程得：
()
2
222316330k
x k x k +-+-=，
得：2122631k x x k +=+，212233
31
k x x k -⋅=+，.……………………………………………………6分
)
2
222
2
2222
22
1333
x y y x x x
+=⇒=
-=⇒
= 分别由
P ，1A ，M 及
P ，2A ，
N
==，
222311k x x x y --=== 22
2
2222
22336313336312k k k k k k k ⎡⎤--+⎢⎥⎡⎤--++====，.…………10分
23
x ==，即P 在直线3x =上.……………………………………………………12分 21.【答案】（1）见解析；（2）(]0,2
【解析】（1）由()()()()
10x a x a f x x a e x a x a e ++'=--+=--=， 得x a =±
当x a <-时，()0f x '>，()f x 单调递增；
当a x a -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；
当x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增.…………………………………………………………5分
（2）由（1）知x a =是()f x 在区间[]0,2a 上的最小值点.
又∴()()()()()220120212201002
a a a f a f a a e a a a a e ++-=---+⋅----+ ()()()()321111a a u a a a e a e e a e a e -⎡⎤=-++=-++⎣⎦，
设()()()11x x
g x x e x e -=-++，0x > ∵0x >，
∴()()
0x x x x g x xe xe x e e --'=-=->， 又∵()()()00001010g e e -=-++=，
∴()0g x '>，
∴()()()2200a
f a f e
g a -=> ∴()()20f a f >.…………………………………………………………………………8分
∵()()
()()()()()32212max min max 1212a a f x f x f x f x f a f a a e e a -=-=-=-+-，.………10分 由题意得()()322311a a a a e
e e e --++≤恒成立， ∴211a a e e ---++≤恒成立，
设关于a 的函数()1a F a a e -=-+，()10a F a e
-'=->， 即()()2121a F a a e
F e --=-+≤=+，
∴2a ≤，
所以a 的取值X 围为(]0,2.………………………………………………………………12分
22.【答案】（1
）0x -=
，330x y --=；（2）见解析.
【解析】（1）当1k =
时，44223cos 4ρρθθπθ⎛⎫=⇒-= ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭
，
4330x y x y =⇒--=，
由242
x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）消去t
并整理得：0x -=.…………………………5分 （2）当2k =时，222222443sin 413sin 13cos 2ρρρθπθθ==⇒+=+⎛⎫++ ⎪⎝⎭
， 得：2
22
24414x x y y +=⇒+=，
:04l x y x -=⇒=+，代入2244x y +=，
得：271800x =-+=，
(2471800-⋅⋅<，
所以，直线l 和C 无交点.………………………………………………10分
23.【答案】（1）见解析；（2）53
x ≥
. 【解析】（1）依题意， ()13,12213111,1122
213,122x x f x x x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--+=---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩
， 作出函数()f x 的图象如图所示：.………………………………………………5分
（2）由（1）可知. 解法1：()()440f x x f x x ≤-⇔-+≤，
()111,122574,112
235,122x x f x x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪-+=-+-<<⇒⎨⎪⎪-+≥⎪⎩
1110221x x ⎧-+≤⎪⎨⎪≤-⎩或5702211x x ⎧-+≤⎪⎨⎪-<<⎩或35052231x x x ⎧-+≤⎪⇔≥⎨⎪≥⎩
. 解法2：图像法，直线4y x =-只与()f x 中的射线AB 相交于B ，
由5130322743x y x y x y ⎧⎧=⎪⎪=--≤⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=-⎪⎪⎩⎩
， 得：5
7,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 故当53x ≥，直线4y x =-不在()f x 图像的下方，即()4f x x ≤-，故解集为5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.…………10分。