3.1.1《数系的扩充与复数的概念》

全体复数所成的集合 C 叫做复 数集. 即 C = {a + bi a , b ∈ R}
复数的代数形式：通常用字母 复数的代数形式：
z = a + bi (a ∈ R, b∈ R)
其中a —实部 , b —虚部 ,
z 表示，即 表示，
i
称为虚数单位 称为虚数单位. 虚数单位
事实上：实部也有单位： 事实上：实部也有单位：1，所以复数的 结构与向量的坐标表示的结构完全相同
2) 一般来说，两个复数只能说相等或不 一般来说，
相等，而不能比较大小了 即 相等，而不能比较大小了.即：当且仅当 两个数都是实数时才能比较大小
虚数发展史
复数的发展史 虚数这种假设,是需要勇气的, 人们在 虚数这种假设 ,是需要勇气的, 人们 在 当时是无法接受 认为它是想象的,不存在的, 的,认为它是想象的,不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚 假设研究 研究: 数单位 i 的假设 研究:第一次认真讨论这种数的是文艺复兴 时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹， 时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是 1545 年开始讨 论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量” 论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.过了 100 年， 笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数． ——虚数 笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但是 又过了 140 年， 欧拉还是说这种数只是存在于 幻想之中” “幻想之中” ， 并用 i （imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位. imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位.
2
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 实数？ 虚数？ 纯虚数？
解: （1）当 m − 1 = 0，即 ） （2）当 m − 1 ≠ 0 ，即 ） （3）当 m + 1 = 0 ）
m − 1 ≠ 0
2
复数 m = −1时，复数z 是
练习1:当 为何实数时， 练习1:当m为何实数时，复数 1:
规定: 规定:两复数 a + bi 与 c + di (a , b, c, d ∈ R) 相等的充要条件是 a = c 且 b = d .
当 b = 0 时，这时 z = a 是实数. 是实数.
复数集
数集
实数集
注：
1) a + bi = 0 ⇔ a = 0 且 b = 0
数系的扩充与复数的概念
回顾数系扩充 问题提出
大胆假设
例题1与练 例题 与练 习1
例 2 与练习 2
作业: 作业:课本 P
116
练习 1、 2、 3 、 、
后来德国数学家高斯给出了复数的定义， 后来德国数学家高斯给出了复数的定义 ， 但他 们仍感到这种数有点虚无缥缈， 们仍感到这种数有点虚无缥缈 ， 尽管他们也感 到它的作用． 到它的作用．1830 年，高斯详细论述了用直角 坐标系的复平面上的点表示复数 a + b i ， 高斯不 仅把复数看作平面上的点， 仅把复数看作平面上的点 ， 而且还看作是一种 向量，并利用复数与向量之间—一对应的关 阐述了复数的几何加法与乘法。至此， 系 ，阐述了复数的几何加法与乘法 。至此 ，复 数理论才比较完整和系统地建立起来了。 数理论才比较完整和系统地建立起来了 。 使复 数有了立足之地, 人们才最终承认了复数. 数有了立足之地 , 人们才最终承认了复数 . 到今 天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工 具之一. 具之一.
思路点拨：解答本题只需根据复数的有关概念判断即可． 思路点拨：解答本题只需根据复数的有关概念判断即可．
解析：①由于 x，y∈C， 解析： ， ∈ ， 所以 x＋ yi 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题． ＋ 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件， 是假命题． 由于两个虚数不能比较大小， ②由于两个虚数不能比较大小， ∴②是假命题 是假命题． ∴②是假命题． ③当 x＝1， y＝ i 时， ＝ ， ＝ 成立， x2＋ y2＝ 0 成立， ∴③是假命题 是假命题． ∴③是假命题．故选 A.
数系是怎样一步一步扩充的？ 数系是怎样一步一步扩充的？
怎样解方程 x + 2 x + 3 = ? 2 显然， = 显然， △= 2 − 4 × 3 < 0 在实数范围内无解. ∴在实数范围内无解.
2
到底是怎么一回事? 到底是怎么一回事?
x + 2x + 3 = 0 2 配方得 x + 2 x + 1 = −2 2 即 ( x + 1) = −2 2 负数能否开平方? 负数能否开平方 ?又如 x = − 1 呢?
3.1.1
数系的扩充
高二数学 选修2-2
第三章 复数
1 2011-5-11 孝高 蒋志方
数系的扩充与复数的概念 扩充与复数的
数 系 的 扩 充
自然数
正有理数和零
2÷3 = ? 3−5 = ?
用图形表示数集包含关系： 用图形表示数集包含关系：
有理数
R Q
N
Q+∪{0}
x = 2, 则 x = ?
2
实数
复数的代数形式: 复数的代数形式: 复数的实部 、虚部 虚数、 虚数、纯虚数 复数相等
3.复数的分类： 3.复数的分类： 复数的分类
作业: 作业:课本 P
106
练习 1、2、3 、 、
若 cos θ + (m − sin θ − cos θ )i不可能是实数， 求实数 m的范围
选做作业: 选做作业: 2 1. 若方程x + ( m + 2i ) x + ( 2 + mi ) = 0至少有 一 个 实 数根, 的值. 数根,求实数 m 的值.
m= ±2 2 =
复数的概念及分类 ) 【 例 1】 下列命题中，正确命题的个数是 】 下列命题中 正确命题的个数是( ① 若 x，y∈C，则 x＋yi＝1＋i 的充要条件是 x＝y＝1； ， ∈ ， ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ； ② 若 a，b∈R 且 a>b，则 a＋i>b＋i； ， ∈ ， ＋ ＋； ③ 若 x2＋y2＝0，则 x＝y＝0. ， ＝ ＝ (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
讨论: 讨论:复数集 C 和实数集 R 之间有什么关系？ 之间有什么关系？
规定: 0i=0 ,0+bi=bi, a+0i=a 规定: = ,0+ =
当 b≠ 0时， z = a + bi 叫做虚数 . 叫做虚数 ≠ 复数 z = a + bi 当 a = 0且b ≠ 0时，z = bi 叫做纯虚数. 叫做纯
复数的应用：复变函数，系统分析， 复数的应用：复变函数，系统分析，信号分 反常积分，量子力学，相对论， 析，反常积分，量子力学，相对论，流体力 学，分形几何
例1 实数m取什么值时，复数 实数m取什么值时，
z = m + 1 + ( m − 1)i
复数z 是实数． m = 1时，复数 是实数． 复数z 是虚数． m ≠ 1时，复数 是虚数． 即 纯虚数． 纯虚数．
5 x = , y =4 2
练习 2. ⑴ 已知 ( x + y ) + ( x − 2 y ) i = ( 2 x − 5 ) + ( 3 x + y ) i , 求实数 x, y 的值. x = 3, y = − 2 ⑵ 若 ( 3 − 10i ) y + ( −2 + i ) x = 1 − 9i , 求实数 x, y 的值.
x = 1, y = 1
2
变式：已知 z1 = − 4 a + 1 + ( 2 a + 3a ) i ,
2
z 2 = 2 a + ( a + a ) i , 其中 a ∈ R，若 z1 > z 2，
求 a的值
a=0
学习小结
1.虚数单位 的引入 1.虚数单位i的引入； 虚数单位 的引入； 2.复数有关概念： 2.复数有关概念： 复数有关概念
2
在解方程时经常会遇到这 问题. 在解方程时经常会遇到 这类 问题 .如果负数可以 开平方,那这个平方根不会是实数,是什么数呢? 开平方,那这个平方根不会是实数,是什么数呢 ?
问题解决: 问题解决 为了解决负数开平方问题，引入一个新数 为了解决负数开平方问题，引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： 叫做虚数单位，并且规定： =−1 (1) i 2=−1； (2)实数可以与 进行四则运算,在进行四则运算时, (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时, 原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、 原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配 律)仍然成立. 仍然成立. 这样就会出现许多新数, 这样就会出现许多新数,如 2i 、3i 、2 + i 、3 + i 等. 的数叫做复数 复数. 形如 a + bi (a , b ∈ R) 的数叫做复数.
a = c a + bi = c + di ⇔ b = d
= y − ( 3 − y )i ，其中x , y ∈ R
例2 已知 ( 2 x − 1) + i 求 x与y . 与
解：根据复数相等的定义，得方程组 根据复数相等的定义，
2 x − 1 = y 1 = −( 3 − y )
解得
z = m + m − 2 + (m −1)i
m = 1或m = −1
是 （1）实数
（2）虚数
m≠1且 ≠−1 m
（3）纯虚数
m = −2
如果两个复数的实部和虚部分别相等， 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我 们就说这两个复数相等 复数相等． 们就说这两个复数相等．即：