2013高考数学百天仿真冲刺试卷三 文

o
3
π56
πx
y
1
1
-2013高考百天仿真冲刺卷 数 学(文) 试卷（三）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。

（1）已知复数z 满足(1i)2z -=，则z 等于
（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- （2）命题“0x ∃∈R ，20log 0x ≤”的否定为
（A ）0x ∃∈R ，20log 0x > （B ）0x ∃∈R ，20log 0x ≥≥0 （C ）x ∀∈R ，2log 0x ≥≥0 （D ）x ∀∈R ，2log 0x >
（3）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()
f x 的大致图像为
（A ） （B ） （C ） （4）给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行； ②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；
③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面； ④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面． 其中为真命题的是
（A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④（D ）②和④
（5）已知函数()sin y x =ω+ϕ(0,0)2
π
ω><ϕ≤的部分
图象如右图所示，则点P (),ωϕ的坐标为
（A ）(2,)3π
（B ）(2,)6π
（C ）1(,)23π （D ）1(,)26
π
（6）若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为
（A ）n ≤5 （B ）n ≤6 （C ）n ≤7 （D ）n ≤8
（7）已知函数1
31()()2
x
f x x =-，那么在下列区间中含有函数
()f x 零点的为
（A ）1(0,)3 （B ）11
(,)32
（C ）1
(,1)2
（D ）(1,2)
1- O 1 x y 1- x y O １ O x y O x y
（8）空间点到平面的距离如下定义：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为
该点到平面的距离．平面α，β，γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β，γ的距离都
是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是到P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值为
（A ）3 （B ）323-
（C ）36- （D ）33-
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）抛物线2
8y x =的焦点坐标为．
（10）在等差数列{}n a 中，若1232,13a a a =+=，则456a a a ++=．
（11）已知向量a ，b ，c 满足-+=20a b c ，且⊥a c ，||2=a ，||1=c ，则||=b ．
（12）已知π(,π)2α∈,π1
tan()47
α+
=,则sin cos αα+=．
（13）设2
2,1,
()log (1),1,x a a x f x x x ⎧≤⎪=⎨
->⎪⎩且1f =，则a = ；((2))f f =． （14）设不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧+-≤≥≥k kx y y x 4,0,0在直角坐标系中所表示的区域的面积为S ，则当1k >时，
1
-k kS
的最小值为．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．4
cos 5
C =，2cos c b A =． （Ⅰ）求证：A B =； （Ⅱ）若△ABC 的面积15
2
S =，求c 的值．
（16）（本小题共13分）
75 80 85 90 95 100 分数 频率
已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点． （Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；
（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．
（17）（本小题共13分）
某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100 名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组 [80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组
[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．
(Ⅰ)分别求第3，4，5组的频率；
(Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样 抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取 多少名学生进入第二轮面试?
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2 名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考 官面试的概率．
(18)（本小题共14分）
已知函数3
2
()f x x ax x c =+-+，且2'()3
a f =． （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）设函数x
e x x
f x
g ⋅-=])([)(3，若函数)(x g 在]2,3[-∈x 上单调递增，某某数c 的
取值X 围．
（19）（本小题共14分）
已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为1
2
，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若过点(0,)P m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且3AP PB =，某某数m 的
取值X 围．
（20）(本小题共13分)
对于)2(≥∈n n *
N ，定义一个如下数阵：⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=nn n n n n nn a a a
a a a a a a A
212222111211其中对任意的n i ≤≤1，n j ≤≤1，当i 能整除j 时，1=ij a ；当i 不能整除j 时，0=ij
a ．
（Ⅰ）当4n =时，试写出数阵44A ；
（Ⅱ）设nj j j n
i ij
a a a a
j t +++==
∑= 211
)(．若][x 表示不超过x 的最大整数， 求证：
∑=n
j j t 1
)(∑==n
i i
n
1
][
．
2013高考百天仿真冲刺卷 数学(文)试卷（三）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）A （2）D （3）C （4）D （5）A （6）B （7）B （8）D
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）(2,0) （10）42 （11
） （12）5
1-
（13）7；6 （14）32
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
C
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
（Ⅰ）证明：因为2cos c b A =，由正弦定理得sin 2sin cos C B A =⋅， 所以sin()2sin cos A B B A +=⋅，
sin()0A B -=，
在△ABC 中，因为0πA <<，0πB <<， 所以ππA B -<-<
所以A B =． ……………………6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a b =．
因为4cos 5C =
，所以3sin 5
C =． 因为△ABC 的面积152S =，所以115
sin 22
S ab C ==，5a b ==．
由余弦定理222
2cos 10c a b ab C
=+-=
所以c =． ……………………13分
（16）（共13分）
（Ⅰ）证明：因为E ，O 分别为PA ，AC 的中点， 所以EO ∥PC ． 因为EO ⊂平面BDE PC ⊄平面BDE
所以PC ∥平面BDE ． ……………………6分
（Ⅱ）证明：连结OP 因为PB PD =，
所以OP BD ⊥．
在菱形ABCD 中，BD AC ⊥
因为OP AC O = 所以BD ⊥平面PAC 因为BD ⊂平面BDE
所以平面PAC ⊥平面BDE ． ……………………13分
（17）（共13分）
解：(Ⅰ)由题设可知，第3组的频率为0.0650.3⨯=， 第4组的频率为0.0450.2⨯=，
第5组的频率为0.0250.1⨯=．
……………………3分
(Ⅱ)第3组的人数为0.310030⨯=， 第4组的人数为0.210020⨯=，
第5组的人数为0.110010⨯=．
因为第3，4，5组共有60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：
第3组：
30
6360⨯=， 第4组：20
6260⨯=， 第5组：10
6160
⨯=． 所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人． ……………………8分
(Ⅲ)设第3组的3位同学为1A ，2A ，3A ，
第4组的2位同学为1B ，2B ， 第5组的1位同学为1C ． 则从六位同学中抽两位同学有：
1213111211(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C
23212221(,),(,),(,),(,),A A A B A B A C
313231(,),(,),(,),
A B A B A C
121121(,),(,),(,),
B B B
C B C
共15种可能．
其中第4组的2位同学为1B ，2B 至少有一位同学入选的有： 11122122(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B
3112321121(,),(,),(,),(,),(,),A B B B A B B C B C 共9种可能，
所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为93
155
=．
……………………13分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）由3
2
()f x x ax x c =+-+，得2
'()321f x x ax =+-．
当32
=
x 时，得22222'()3()2'()()13333
a f f ==⨯+⨯-， 解之，得1a =-． ……………………4分
（Ⅱ）因为32
()f x x x x c =--+．
从而2
1'()3213()(1)f x x x x x =--=+-，列表如下：
所以)(x f 的单调递增区间是)3,(--∞和),1(∞+；
)(x f 的单调递减区间是)1,3
1
(-． ……………………9分
（Ⅲ）函数32()(())()x x
g x f x x e x x c e =-⋅=--+⋅，
有2')(21)()x x g x x e x x c e =--+--+（
=2(31)x
x x c e --+-， 因为函数在区间]2,3[-∈x 上单调递增，
等价于2
()310h x x x c =--+-≥在]2,3[-∈x 上恒成立， 只要0)2(≥h ≥0，解得1
c ≥≥11， 所以c 的取值X 围是1
c ≥≥11． ……………………14分 （19）（共14分）
解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：22221(0)x y a b a b
+=>>
由题意：22212231
c a a a c b c a b c ⎧==⎪⎧⎪⎪
+=⇒=⎨⎨⎪⎪==+⎩⎪
⎩
所求椭圆方程为：22
143
x y +=． ……………………5分 （Ⅱ）若过点(0,)P m
的斜率不存在，则m =．
若过点(0,)P m 的直线斜率为k
，即：m ≠时，
直线AB 的方程为y m kx -= 由22222
(34)841203412
y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ 2222644(34)(412)m k k m ∆=-+- 因为AB 和椭圆C 交于不同两点
所以0∆>，22
430k m -+>
所以22
43k m >-① 设1122(,),(,)A x y B x y
由已知3AP PB =，则2121222
8412
,3434km m x x x x k k -+=-=++②
1122(,),(,)AP x m y PB x y m =--=- 123x x -=③
将③代入②得：2222
4412
3()3434km m k k --=++ 整理得：2222
1612390m k k m -+-=
所以222931612m k m -=-代入①式得22
22
934343
m k m m -=>-- 222
4(3)043m m m -<-，解得2
334
m <<．
所以m <<
m <<． 综上可得，实数m 的取值X
围为：3
([,3)22
-． ……………………14分
（20）(共13分)
解：（Ⅰ）依题意可得，4411110
10100100001A ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭
……………………4分
（Ⅱ）由题意可知，)(j t 是数阵nn A 的第j 列的和， 因此
∑=n
j j t 1
)(是数阵nn
A
所有数的和．
而数阵nn A 所有数的和也可以考虑按行相加．
对任意的n i ≤≤1，不超过n 的倍数有i 1，i 2，…，i i
n ][．
因此数阵nn A 的第i 行中有][i n 个１，其余是0，即第i 行的和为][i
n ． 所以
∑=n j j t 1
)(∑==n
i i
n
1
][
． ……………………13分。