福建省八县(市)一中2013届高三上学期期中联考数学(文)试题

2012---2013学年度第一学期八县（市）一中期中联考
高中 三 年 数学（文） 科试卷
命题学校： 连江一中
考试日期：11月13日 完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.
1、已知全集U=R ，集合3{2},{log 0},A x x B x x =<=>则A
B =（ ）
A ．{12}A x x =<<
B ．{12}A x x =≤<
C ．{02}A x x =<<
D ．{2}A x x =<
2、设函数2,0,
(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩
若()4f a =，则实数a =（ ）
A ．-4或-2
B ．-4或2
C ．-2或4
D ．-2或2 3、函数2
()ln(1)f x x x
=+-
的零点所在的大致区间是（ ） A ．（3，4） B ．（2，e ） C ．（1，2） D ．（0，1） 4、等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32
5、若0.23
0.33,log 2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小顺序为（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c a b >>
D ．b a c >> 6、右图是函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的部分 图象，则下列可以作为其解析式的是 ( )
A ．2sin(2)3y x π
=- B ． 12sin()23y x π=+
C ．22sin(2)3y x π=-
D ．2sin(2)3
y x π
=+
7、下列命题的说法错误．．
的是（ ） A ．命题“若2
320,x x -+= 则 1=x ”的逆否命题为：“若1≠x , 则2320x x -+≠”.
B ．“1=x ”是“2
320x x -+=”的充分不必要条件.
C ．对于命题:,p x R ∀∈2
10,x x ++> 则:,p x R ⌝∃∈2
10.x x ++≤
D ．若p q ∧为假命题，则p q 、均为假命题.
8、定义运算
1214233
4
a a a a a a a a =-.
将函数sin 2()cos 2x f x x =
6π
个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（ ）
A ．,04π⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
9、设变量,x y 满足约束条件2
12x y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
，则目标函数z x y =-+的最大值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10、已知平面上不共线的四点O B C 、A 、、.若540OA OB OC -+=，则AB BC
=（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11、已知函数2
()2f x x bx =+的图象在点(0,(0))A f 处的切线L 与直线30x y -+=平行，
若数列1()f n ⎫
⎧⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，则2012S 的值为 （ ）
A.
20122013 B. 20112012 C. 20122011 D. 2013
2014
12、已知定义在)1,1(-上的函数x x x f sin )(-=，若0)4()2(2
<-+-a f a f ，则a 的取值范围是（ ）
A ．)5,2(
B ．)5,3(
C ．)2,0(
D ． ),2()1,(+∞--∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置.
13、已知向量(2,1),(,1)a b m m ==+r r
，若//a b r r ，则实数m 的值为 .
14、若1x >，则函数1
()1
f x x x =+
-的最小值为 ． 15、已知等差数列}{n a 的公差为d ，关于x 的不等式2
120dx a x +≥的解集为[0,9],
则使数列}{n a 的前n 项和n S 取最大值的正整数n 的值是__________.
16、设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有
x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的“l 高调函数”．现给出下列命题：
①函数2()log f x x =为(0,)+∞上的“1高调函数”； ②函数()cos 2f x x =为R 上的“π高调函数”；
③如果定义域为[1,)-+∞的函数2
()f x x =为[1,)-+∞上“m 高调函数”，那么实数m 的取值范围是[1,)+∞.其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本题满分12分）
已知函数2
()cos cos ,f x x x x a x R =-+∈．
（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若x ∈[0,
]2
π
时，()f x 的最小值为1，求a 的值，并指出这时x 的值．
18、（本题满分12分）
已知命题2:"[1,2],0";p x x a ∀∈-≥命题2:",220".q x R x ax a ∃∈++≤ 若命题
""p q ∨为假命题，求实数a 的取值范围．
19、（本题满分12分）
已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(2sin ,m B =，
2
(cos 2,2cos 1)2
B
n B =-，且//m n ，B 为锐角. （1）求角B 的大小；
（2）如果2=b ，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值.
20、（本题满分12分）
某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时450元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时。

（1）请将从甲地到乙地的运输成本y （元）表示为航行速度x （海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
21、（本题满分12分）
已知数列{}n a 是等差数列，256,=12a a =；数列{}n b 的前n 项和是{}n S ，且
1
12
n n S b +=．
(1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 求证：数列{}n b 是等比数列；
(3) 记3
2log 2
n n n c b a -=
⋅，{}n c 的前n 项和为n T ，若20102
n m T -<
对一切n N *
∈都成立，求最小正整数.m
22、（本题满分14分）
已知函数 2
1()ln (1)2
f x x m x m x =
-+-，m ∈R ． (1）若函数()f x 在2x =处取得极值，求m 的值；
(2）当 0m ≤ 时，讨论函数 ()f x 的单调性；
(3）求证：当 2m =-时，对任意的 ()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，有2121
()()
1f x f x x x ->--．
参考答案
一、选择题：（每小题5分，共60分）
二、填空题：（每小题4分，共16分）
13、 -2 14、 3 15、5 16、①②
三、解答题： 17、（本题满分12分）
1cos 211
()sin 2=2cos 2222221
sin(2) (462)
x f x x a x x a x a π+=
-+--+=--+解：分
21()=................................52f x π
π（）的最小正周期为分
222(),()
2
6
2
6
3
(),]
() (76)
3
k x k k Z k x k k Z f x k k k Z π
π
π
π
π
πππππ
π
ππ-
≤-
≤+
∈-
≤≤+
∈∴-
+∈令得的单调递增区间为[分
52[0,]2[,]
2666
2==0()11 2 (1066)
0..............................................................................12x x x x f x a a x ππππ
ππ
∈∴-∈--
-=-+=∴==min （），当即时，分此时分
18、（本题满分12分）
解：若命题p 为真命题, 则2
a x ≤恒成立，
2[1,2],1, 1.....................4x x a ∈≥∴≤由知分
由命题q 为真命题, 知2
480,0 2...................8a a a a ∆=-≥≤≥即或分
若命题""p q ∨为假命题，得p 为假命题，q 也为假命题………………9分
11
2.02
a a a >⎧∴<<⎨
<<⎩即……………………………………………….11分
综上所求实数 a 的取值范围是(1,2).………………………………………12分
19、（本题满分12分） 解：（1）
//m n 2
2sin (2cos 1)22
B
B B ∴-=…………………2分 ∴B B 2cos 32sin -=. 即32tan -=B . ………………………4分 又∵B 为锐角，∴),0(2π∈B . ∴322π=B ，∴3
π
=B .………………………………………………6分 （2）∵2,3
==
b B π
，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-
得2
2
42a c ac ac ac ac =+-≥-=.
∴4≤ac （当且仅当2==c a 时等号成立）.…………………………………10分
∴34
3sin 21≤==
∆ac B ac S ABC （当且仅当2==c a 时等号成立）. ∴ABC ∆面积的最大值为3.……………………………………………………12分 20、（本题满分12分）
解：（1）由题意得，每小时的燃料费用为2
0.5(050)x x <≤，
从甲地到乙地所用的时间为300
x
小时， ………………………………………2分 则从甲地到乙地的运输成本2
300(0.5450)y x x
=+⋅，(050)x <≤
故所求的函数为2
300900(0.5450)150()y x x x x
=+⋅=+，(050)x <≤．……6分
（2
）解法１：由（Ⅰ）900150()1509000y x x =+≥⨯=，………９分 当且仅当900
x x
=
，即30x =时取等号．…………………………………………11分 故当货轮航行速度为30海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．……………12分 （2）解法2：由（Ⅰ）900
150(),(050)y x x x
=+≤≤
2900900
()(050),'()1f x x x f x x x
=+
≤≤=-令………7分 (0,30),'()0,()(30,50],'()0,()..............()9000..........11x f x f x x f x f x x f x ∈<∈>∴=min 则时单调递减；
时单调递增；9分=30时,取最小值60.
y 分
故当货轮航行速度为30海里/小时时，能使该货轮运输成本最少． 12分
21、（本题满分12分）
解：(1)设{}n a 的公差为d ，则：21a a d =+，514a a d =+，
256,=12a a =，11
6
412a d a d +=⎧∴⎨+=⎩ ……………………1分
解得：14,d=2a =． ………………………………………2分
42(1)22n a n n ∴=+-=+．………………………………3分
（2）当1n =时，11b S =，由11112S b +
=，得12
3b =．……4分 当2n ≥时，1111
1,122
n n n n S b S b --=-=-，
∴111()2n n n n S S b b ---=-，即11()2n n n b b b -=-． ∴11
=3n n b b -．……6分
∴{}n b 是以23为首项，1
3
为公比的等比数列．……………………7分
（3）由（2）可知：1211
()2()333
n n n b -=⋅=⋅． ………………8分 ∴33
22111
1(1)(1)
(22)log ()log 32
n n n n c b n n n n n a --====-
+++⋅ …………9分 ∴11111111
[(1)()()()112233411n T n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-=-<++…………11分
由已知得2010
1,2012,2012.2
m m m -≥∴≥∴=最小正整数…………12分
22、（本题满分14分）
解：（1）显然函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1m
f x x m x
'=-+-……… 2分 由已知得'(2)210 2.2
m
f m m =-
+-=∴=-，……………………………… 3分 （2）∵2(1)(1)()
()(1)m x m x m x x m f x x m x x x
+---+'=-+-==，………4分
①当10m -<≤时，若()0,,()0,()x m f x f x '∈->时为增函数；
(),1,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数；()1,,()0,()x f x f x '∈+∞>时为增函
数．……………………………………………………………………………………6分 ②当1m ≤-时，()0,1,()0,()x f x f x '∈>时为增函数；
()1,,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数；(),,()0,()x m f x f x '∈-+∞>时为增函
数．………………………………………………………………………………… 8分 综上所述，当10m -<≤时， ()f x 在(0,)m -上为增函数；在(),1m -为减函数； 在()1,+∞为增函数；当1m ≤-时，()f x 在(0,1)上为增函数；在()1,m -为减函数； 在(),m -+∞为增函数．……………………………………………………………9分 （3）不妨设120x x <<，要证明
2121
()()
1f x f x x x ->--，
即证明：()()2211f x x f x x +>+ ……………………………………………10分
当2m =-时，函数2
1()2ln 32
f x x x x =
+-． 考查函数()()2
12ln 22
h x f x x x x x =+=+-……………………………..11分
()()2
211
22220x x x h x x x x x
-+-+'=+-==>
()h x ∴在()0,+∞上是增函数，………………………………………………13分 对任意()()12210,
x x h x h x <<>，
所以()()2211f x x f x x +>+，2121
()()
1f x f x x x -∴>--命题得证……………14分。