八年级数学几种特殊的平行四边形华东师大版知识精讲

初二数学几种特殊的平行四边形华东师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
几种特殊的平行四边形
教学目标：
1. 掌握矩形、菱形、正方形的概念，了解它们与平行四边形的关系。

2. 探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关特征和识别方法。

3. 通过分析平行四边形和各种特殊平行四边形的概念与特征之间的联系和区别。

认识特殊与一般的关系，从而体会事物总是互相联系。

又互相区别的，进一步培养辩证唯物主义观点。

教学重点：
掌握几种特殊的平行四边形的特征与识别方法。

教学难点：
对不同特殊平行四边形的不同特征，与识别方式的区分与理解。

典型例题：
例1. 试说明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

分析：两个相同的直角三角形可以拼成一个矩形，故可以利用矩形的特征来加以说明。

解：△ABC为直角三角形，且∠ABC为直角，点O为斜边上的中点。

以O为对称中心，作△ABC的中心对称图形△CDA，则所得四边形ABCD，则ABCD是平行四边形，而且ABC90°，所以ABCD是矩形，而且B、O、D在一条直线上。

因为矩形的对角线∠=
互相平分。

所以
C
BD=2BO。

又因为矩形的对角线相等，所以
AC=BD，
所以AC=2BO。

即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

AOD120°，AB=4cm，求例2. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠=
矩形对角线的长。

B C
分析：矩形的对角线相等且互相平分，因此矩形的对角线将矩形分成了四个等腰三角形，再由特殊角我们就可以得到更特殊的三角形——等边三角形。

解：因为矩形的对角线相等且互相平分，所以△ABO 是等腰三角形。

又因为 ∠=AOD 120° 所以∠=AOB 60° 所以△ABO 是等边三角形 因为AB=4cm
所以AC=BD=2AB=8cm
例3. 如图所示，平行四边形ABCD 中，各内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H ，试说明四边形EFGH 是矩形。

A D
B C
答案：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠+∠=DAB ABC 180° 而AF 、BH 分别是∠∠DAB ABC 、的平分线
所以∠=
∠∠=∠11221
2BAD ABC ，， 即()∠+∠=∠+∠=⨯=12121
2
18090BAD ABC °°
由三角形的内角和定理知∠=∠=39090°，即°HEF 。

同理可得∠=∠=F FGH 9090°，°，
所以四边形EFGH 是矩形。

剖析：题中已知四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的特征：两组对边分别平行，进而由平行便可得出相邻的两个角互补，再由角平分线的定义得到△AEB 、△BHC 、△CGD 、△DFA 都是直角三角形，因此四边形EFGH 的四个角都是直角，便可判定它是矩形了。

例4. 如图所示，已知矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过顶点C ，作BD 的垂线与∠BAD 的平分线相交于点E ，交BD 于G ，求证：AC=CE 。

A D
E
分析：本题要证AC=CE ，只须证∠=∠E CAE 。

如果过A 作AF 垂直BD 于F ，则有AF//CE ，因而只须证∠=∠FAE CAE 即可，这可由AE 是角平分线和∠=∠BAF BDA 而得到。

证明：过A 作AF 垂直BD 于F ，因为GE BD ⊥
∴∴∠=∠AF CE
FAE AEC
//
在直角△ABD 中，∠+∠=BAF ABD 90° ∠+∠=∴∠=∠ABD ADB BAF ADB ABCD 90°
四边形是矩形
∴=∴∠=∠∴∠=∠∠∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠OA OD
BDA CAD BAF DAC
AE BAD BAE DAE
BAE BAF DAE DAC 平分
∴∠=∠FAE CAE ∴∠=∠CAE E ∴=CA CE
A D
E
例5. 已知菱形的周长为20cm ，两个相邻角的度数比为1：2，求较短的对角线长。

分析：菱形是四条边都相等的四边形，因此菱形的每条对角线都将它分成两个等腰形三角形，再由特殊角可得到等边三角形。

解：如图所示，因为菱形的四条边都相等且周长为20cm ，所以菱形的边长
C
AD=CD=5cm
所以△ADC 为等腰三角形
又因为∠+∠=ADC DAB 180°， 且∠∠=ADC DAB ：：12， 所以∠=ADC 60°， 因此△ADC 为等边三角形。

所以较短的对角线AC 长度为5cm 。

例6. 如图所示，从菱形两条对角线的交点分别向各边引垂线，试说明，连接各垂足的四边形是矩形。

A N D
B M C
答案：在菱形ABCD 中，AD//BC ， 因为ON AD ⊥，所以ON BC ⊥
因为OM BC ⊥，所以N 、O 、M 三点在同一条直线上（过一点，有且只有一条直线垂直于已知直线）。

同理，E 、O 、F 三点也在同一条直线上
又因为四边形ABCD 是菱形，所以∠=∠ADB CDB 。

而ON AD OF DC ON OF ⊥⊥=，，所以 同理：OE=OM ，OE=ON 所以ON=OM ，OE=OF ，
所以四边形EMFN 为平行四边形。

所以OE+OF=ON+OM ，即EF=MN 。

所以四边形EMFN 为矩形。

剖析：本例中，已知菱形的两条对角线的交点，实质上隐含的是菱形的四条角平分线的交点，再可根据角平分线的性质可得OM=OE=ON=OF ，从而可得出四边形EMFN 是矩形。

例7. 如图所示，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠=∠=B EAF 60°，求证：∠=∠CEF BAE 。

D
分析：观察△ABC 与△ACD ，联想菱形性质和∠=∠=B EAF 60°这个已知条件，寻找它们的关系（△ABC 与△ACD 均为等边三角形），从而得出AE=AF 的结论，得等边△AEF ，从而可确定AE 与AF 、∠BAE 与∠CAF 的大小关系。

观察∠∠ABE BAE 、、
∠∠∠AEC AEF CEF 、、，联想三角形外角的性质，就能得出∠∠CEF BAE 与的关系。

解：连结AC 。

四边形是菱形ABCD
∴===∠=∠=∴∴=∠=∠=∠=∠=∴∠=∠AB BC CD AD D B ABC CDA AB AC ACD BAC B EAF BAE CAF
，°与为等边三角形
，°又°606060∆∆ ∴将△ACF 绕A 点顺时针旋转60°必与△ABE 重合
∴=∠=∴∴∠=∠=∠+
∠=∠+∠∴∠=∠AE AF EAF EAF AEF AEC AEF CEF B BAE CEF BAE
又°为等边三角形°
又 6060∆
例8. 如图所示，四边形ABCD 是正方形，延长BC 到E ，使CE=AC ，连接AE ，交CD 于F ，求∠AFC 的度数。

B C E
答案：∠=AFC 1125.°
剖析：本题是运用正方形的性质解题，正方形的性质很多，要根据题目的已知条件和要达到的结论，选择最恰当的方法，使解题思路简捷。

在本例中，因为∠AFC 是Rt CFE ∆的外角，∠=FCE 90°；因此只需求出∠E 的度数即可。

由已知AC CE =，所以
∠=∠E CAE ，而CA 是正方形ABCD 的对角线，所以∠=ACD 45°，故∠=ACE 135°。

所以∠=
-=E 1801352
225
.° 所以∠=+∠=+=AFC E 90902251125°°°°..
例9. 如图所示，若把边长为1的正方形ABCD 的四个角（阴影部分）剪掉，得到四边形A B C D 1111，试问怎么剪才能使剩下的图形仍为正方形？说明理由。

A D 1 D
C 1 A 1
B B 1 C
由果索因是解答本题的重要途径。

假设把如图所示的边长为1的正方形ABCD 的四个角（阴影部分）剪掉，得到的四边形A B C D 1111是正方形，那么，它和原正方形一样是中心对称图形，并且两个正方形有相同的对称中心，由此你能得出图中线段间的关系吗？想一想，应怎样剪？
解：剪法：当AA BB CC DD 1111===时，四边形A B C D 1111仍为正方形 理由：在正方形ABCD 中
AB BC CD DA A B C D AA BB CC DD A B B C C D D A
====∠=∠=∠=∠====∴===1901111
1111°又
∴将∆D AA 11绕正方形对角线的交点O 每次旋转90°，连续旋转三次，必分别与∆∆∆A BB B CC C DD 111111、、重合 ∴===∠=∠=∠=∠∠+∠=∴∠+∠=∴∠=D A A B B C C D AD A BA B CB C DC D AA D AD A AA D BA B D A B 11111111111111111111111111119090902()()
°°
°
由（1）、（2）可知四边形A B C D 1111为正方形。

例10. 如图所示，在正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，MN MD ⊥，BN 平分∠CBE 并交MN 于N 。

求证：MD=MN 。

A M
B E
要证MD=MN ，一般证它们所在的两个三角形能够重合，但△MBN 与△ADM 不可能重合，因此必须造一个三角形能与△MBN 重合，取AD 的中点P ，连结PM ，证∆∆MPD MBN 与能重合即可。

证明：如图所示，以M 为中心，将△MBN 顺时针方向旋转90°，得∆MB N 11，此时
MB AD 1//，MB MB 1=，
MN MD ⊥
∴N DM MB N 111在的延长线上，再将向左平移，∆到△AB 2N 2位置，再将△AB 2N 2向
上平移，
使A 到D 的位置，B 2到P 点。

此时N 2的对应点在直线DM 上， 且DP BM AB AD ==
=121
2
∴=∠=∠=∴∠+∠=⊥∴∠+∠=∴∠=∠=
==P AD ABCD AD AB A ABC ADM AMD DM MN
BMN AMD ADM BMN
PA AD AB AM 是的中点
在正方形中，，°°又°909090121
2
∴∠=∠=∴∠=∠∴∠=∴∠=∠APM AMP MPD BN CBE MBN DPM MBN
45135135°°又平分°
∴点N 2的对应点在MN 上
∴点N 2的对应点在直线MN 与DM 的交点上 ∴点N 2的对应点是点M ∴==DM AN MN 2
P
21
引伸：若将上述条件中的“M 是AB 中点”改为“M 是AB 上的任意一点”。

其余条件不变（如图乙所示）。

则结论“MD=MN ”还成立吗？如果成立。

请证明；如果不成立，请说明理由。

（某某市闵行区中考题）
D
C
A M
B E
例11. 如图所示，在矩形ABCD 中，已知AD=8，AB=6，BD=10，P 是AD 边上任一点，
PE BD E PF AC F ⊥⊥于，于，那么PE PF +的值为（）？为什么？
A P D
B C
思路点拨：分别求出PE 、PF 困难，△AOD 为等腰三角形，若联想“到等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高”这一性质，则问题迎刃而解。

解：连结OP ，做AG BD G ⊥于
S S S OD AG OA PF OD PE ABCD
OA OD
AG PF PE
S AB AD BD AG
AOD AOP DOP
ABD ∆∆∆∆=+∴⋅=⋅+⋅∴=∴=+=⋅=⋅12121
2121
2
矩形
∴⨯⨯=⨯⋅∴=∴+=12861
2
1048
48
AG AG PF PE .. A P D
B C
例12. 如图所示，在△ABC 中，∠=BAC 90°，AD BC BE AF ⊥，、分别是
∠∠ABC DAC 、的平分线，BE 和AD 交于G ，求证：GF//AC 。

（某某省荆州市中考题）
A
思路点拨：从角的角度证明困难，连结EF ，在四边形AGFE 的背景下思考问题，证明四边形AGFE 为平行四边形，证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形。

图解（1）： ∠=⊥BAC AD BC D 90°，于
∴∠=∠∠∴∠=∠∠∴∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠∴=BAD C BE ABC ABE CBE
AGE ABG AGE BAD ABE AEB C CBE AGE AEG AG AE
平分是的外角
同理∆
AF GAE
AF GE
平分∠∴⊥
在△ABF 中，
BO AF AD BF ⊥⊥，，且交于点G ∴⊥⊥∴GF AB AC AB GF AC
// 解（2）：连结EF 同证法（1）可得：AG=AE
AF DAE AF GE GO EO ABO FBO AOB FOB ABO FBO BO BO ABO FBO AO FO GO EO
平分垂直平分在与中
°，，与重合又∠∴∴=∠=∠=∠=∠=∴∴==∆∆∆∆90
∴四边形AGFE 为平行四边形 ∴GF//AC 。

A
引伸：证明四边形AGFE 为菱形 ∵可证出四边形AGFE 为菱形
AF GE
AGFE ⊥∴平行四边形为菱形
【模拟试题】
一. 选择题
1. 两对角线互相垂直平分，并且有一个角是直角的四边形是（） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形
D. 正方形 2. 对角线互相平分且相等的四边形是（） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形
D. 正方形
3. 正方形具有而菱形不具有的性质是（） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等
C. 对角线平分一组对角
D. 对角线互相垂直
4. 菱形和矩形都具有的性质是（） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直
5. 菱形的一条较短的对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（） A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
二. 填空
1. 从矩形添加___________的条件或者从菱形添加___________的条件就得到正方形。

2. 如图1所示，在矩形ABCD 中，AE BD E ⊥于，∠=∠DAE EAB 3，则
∠=EAC _____________，∠=ACD ____________。

图1
3. 顺次连结四边形各边的中点是_______________，顺次连结矩形各边的中点是_________。

4. 菱形对角线的交点到四条边的距离____________，若这个距离为2cm ，菱形的边长为5cm ，则这个菱形的面积是_____________cm 2。

5. 如图2所示，平行四边形ABCD 的各角平分线围成的四边形EFGH 是__________，如果E 、F 、G 、H 四点重合，那么平行四边形ABCD 一定是____________。

图2
三. 解答
1. 如图3所示，矩形的周长为20cm ，一边中点与对边两顶点连线r 夹角为直角，求矩形各边的长。

图3
2. 如图4所示，在四边形ABCD 中，∠=∠=ADC ABC 90°，AD=CD ，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD 的面积为25。

求DP 的长。

图4
3. 如图5所示，E为正方形ABCD中BC边的中点，AE平分∠BAF，求证：AF=BC+FC。

图5
⊥交CB的延长线于点F，4. 如图6所示，在菱形ABCD中，点E是AD的中点，EF AC
交AC于点M，试说明AB与EF互相平分。

图6
5. （某某某某）如图7所示，有两个正方形的花坛，准备把每个花坛都分成形状相同的四块，种不同的花草，下面前两个图案是设计示例，请你在后两个正方形中再设计两种以上不同的图案。

示例：
图7
请你设计：
四. 问题探究
1. 如图8所示，△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN 交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于F。

（1）试说明OE=OF；
（2）点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？试说明理由。

（3）在什么条件下，四边形AECF 是正方形？
图8
2. 如图9①所示，△ABC 是直角三角形，∠=C 90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，则符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图9②所示）。

图9
解答问题： （1）设如图②所示中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为S S 12，，则S S 12。

（填
“>”、“=”或“<”）
（2）如图③所示，△ABC 是钝角三角形，按题设要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_____________个。

（3）如图④所示，△ABC 是锐角三角形，且三边满足BC>AC>AB ，按题设要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出___________个。

（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？
试题答案
一. 选择题 1. D
2. B
3. B
4. B
5. D
二. 填空
1. 一组邻边相等或对角线互相垂直，有一个角等于90°或对角线相等。

2. ∠=EAC 45°，∠=ACD 675.°
3. 平行四边形，菱形
4. 相等，20cm 2
5.. 矩形，正方形
三. 解答题
1. 解：∵矩形，，°ABCD AB CD A ABC BCD D ∴=∠=∠=∠=∠=90
E AD AE ED
ABE DCE AD EB EC BEC ABC BCD 是中点，与沿中垂线对折重合°，°°∴=∴∴=∴∠=∠∠=∴∠=∠=∠=∠=∆∆1290124590
∴∠=∠=∴∠=∠=∴=====∴+=34544556451
2
202220°，°
°矩形周长AB AE DE CD AD AB AD AB AD AB AB AB AD cm cm cm cm +=+==
∴=
∴10
210
10320
3103203103203
矩形各边长为
、、、
2. 解：在四边形ABCD 中，∠+∠+∠+∠=A B BCD ADC 360°
∠=∠=∴∠+∠==B ADC A AD DC
901180°°
将△APD 绕点D 逆时针旋转90°得△CED
∴∠=∠=∠=∠=A DP DE E 2390，，° S S ADP CDE ∆∆=
∠+∠=∴∠+∠=∴∠=∠=∠=A E C B DPB B E 11801218090°，°
、、三点共线°
∴=∴=∴==∴=四边形为矩形四边形为正方形四边形正方形DPBE DP DE
DPBE S S S S DP ADP CDE
ABCD DPBC ∆∆255
3. 证明： E BC 是中点
∵将△ABE 绕点E 旋转180°得△GCE
∴∠=∠=∴=∠=∠=∴∠=∴∠+∠=∴∴∴∠=∠B CG AB ABCD AB BC B D F C G ABCD AB CD
G
3490390341802，正方形，°，°，°、、、共线正方形 //
AE BAF G AF GF
AF FC CG FC AB FC BC
平分，，∠∴∠=∠∴∠=∠∴=∴=+=+=+12
1
4. 证明：连结BD 、BE 、AF
菱形，，ABCD AC BD AD BC ∴⊥//
EF AC EF BD EFBD ED FB
E AD AE DE AE B
F AE BF
AFBE AB EF ⊥∴∴∴=∴=∴=∴∴，四边形为平行四边形是中点，四边形为平行四边形、互相平分
////
5. 解：
四. 问题探究
1. （1） CE BCA 平分∠
∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴==∴=231312 MN BC
OE OC
OF OC OE OF
//，同理，
（2）点O 到AC 中点时四边形AECF 为矩形 证明： OA OC OE OF ==，
∴∠∠∴∠+∠=∴四边形为平行四边形
平分，平分的外角°
平行四边形为矩形
AECF OE BCA OF ACB AECF 2490
（3）（△ABC 中∠=ACB 90°时），过AC 中点O 做MN//BC 与∠ACB 及其外角角平
分线交于E 、F ，此时四边形AECF 为正方形。

2. （1）=
（2）1个（3）3个
（4）以AB 为边的矩形面积最小
因为设矩形BCED 、ACHQ 、ABGF 的周长分别是l l l 123、、，BC=a ，AC=b ，AB=c ，可知这三个矩形面积相等，设为s ， 则矩形BCED 一边为a ，另一边为
s a ，l s a
a 122=+
同理l s b b l s c c 232222=
+=+， 因为l l s a
a s
b b a b ab s ab 1222222-=+-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=--⎛⎝ ⎫⎭⎪()
ab s a b l l l l ABGF >>∴>>∴，，
，矩形周长最小
1223。