一道二倍角问题的4种证法

一道二倍角问题的
4种证法 题目 ：已知ABC ∆，2()a b b c =+，求证：2A B =。

证明：法一（直接化角，充分利用角変换）：
因为2sin ,2sin ,2sin ,a R A b R B c R C ===
所以2222()sin sin (sin sin )sin sin sin sin a b b c A B B C A B B C =+⇒=+⇒=+ 1cos 21cos 2sin sin cos 2cos 22sin sin 22
A B B C A B B C --⇒=+⇒-=-+cos2cos22sin sin B A B C
⇒-=cos[()()]cos[()()]2sin sin A B A B A B A B B C ⇒+---++-= cos[()()]cos[()()]2sin sin A B A B A B A B B C ⇒+---++-= 2sin()sin()2sin sin A B A B B C ⇒+-=，
因为sin()sin 0A B C +=≠，所以sin()sin A B B -=，
又,0,A B B πππ-<-<<<所以A B B -=，即2.A B =
法二：（分析法）
考虑先证明sin sin 2A B =，只要证明sin 2sin cos A B B =， 只要证明222
22a c b a b ac
+-=， 只要证2222
()a c b a c b =+-，
注意到由已知22a b bc -=，只要证22()a c b bc c =+， 只要证2
()a b b c =+，由已知此式成立，
所以sin sin 2A B =成立，
所以2A B =或2A B π+=，
由2A B π+=结合A B C π++=
可得B C b c =⇒=，又2()a b b c =+，
所以222a b c =+， 所以2A π=，4B C π==，所以2A B =，
综上2A B =。

法三：可以把法二的分析法改为综合法，但是稍微变通一下，
就是从角B 的余弦定理写起：
因为2
()a b b c =+， 所以2222sin cos 22222sin a c b c bc b c a A B ac ac a b B
+-++=====， 所以sin sin 2A B =，所以2A B =或2A B π+=，
由2A B π+=结合A B C π++=可得B C b c =⇒=，又2()a b b c =+， 所以222a b c =+，
所以2A π
=，4B C π
==，所以2A B =，
综上2A B =。

法四：几何法，构造相似形（实在是太简单了，彰显几何法的魅力）
延长CA 到D 使AD=AB ，则由2
()a b b c =+知2CB CA CD =， 即CB CD CA CB
=， 又∠C=∠C ，所以△ABC ∽△BDC ，所以
∠ABC=∠D ，∠BAC=∠DBC ，
又∠D=∠ABD ，∠BAC=∠D+∠ABD ，所以
∠BAC=2∠D=2∠ABC ，即2A B =。