2019-2020学年枣庄八中北校区高一(下)第一次月考数学训练卷 (1)(含解析)

2019-2020学年枣庄八中北校区高一(下)第一次月考数学训练卷 (1)
一、单项选择题（本大题共14小题，共70.0分） 1. sin585°的值为( )
A. −√22
B. √22
C. −√32
D. √32
2. 函数y =2sin(1
2x +π4)的周期，振幅，初相分别是( )
A. π4,2,π
4
B. 4π,−2,−π
4
C. 4π,2,π
4
D. 2π,2,π
4
3. 下列角与α=36°终边相同的角为( )
A. 324°
B. −324°
C. 336°
D. −336°
4. 扇形的半径是6cm ，圆心角为15°，则扇形面积是( )
A. π
2cm 2
B. 3πcm 2
C. πcm 2
D.
3π2
cm 2
5. sin 2040°= ( )
A. −1
2
B. −√32
C. 1
2
D. √32
6. 若sinα=−5
13，α为第四象限角，则tanα的值等于( )
A. 12
5
B. −12
5
C. 5
12
D. −5
12
7. 已知A 是△ABC 的内角且tanA =−2，则cosA = ( )
A. −√55
B. √55
C. −2√55
D. 2√55
E. 1
2
F. √32
8. 设函数f(x)={1−x 2(x ≤1)
x 2+x −2(x >1)
，则f(1f(2))的值为( )
A. 15
16
B. −27
16
C. 8
9
D. 18
9. 下列说法中正确的是( )
A. 2a ⃗ 与a ⃗ 不可能相等
B. |2a ⃗ |>|a ⃗ |
C. 2a
⃗ //a ⃗ D. |2a
⃗ |≠1 10. f(x)=asin(πx +α)+bcos(πx +β)+4(a,b ，α，β均为非零实数)，若f(2 018)=6，则
f(2 019)=( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11. 要得到y =sin(2x −π
4)的图象，只需将y =sin 2x 的图象( )
A. 向左平移 π
8个单位 B. 向右平移 π
8个单位 C. 向左平移 π
4个单位
D. 向右平移 π
4个单位
12. 函数
的部分图象如
图，则( )
A. ω=π2,φ=π
4 B. ω=π
3,φ=π
6 C. ω=π
4,φ=π
4 D. ω=π
4,φ=
5π4
13. 已知f(x)=x 2sinx ，则函数f(x)在[−π,π]的图象是( )
A. B. C. D.
14. 已知sinθ=m−3m+5，cosθ=
4−2m
m+5
，其中θ∈[π
2,π]，则tanθ的值为( ) A. −5
12
B. 5
12
C. −512或−3
4
D. 与m 的值有关
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 15. cos
5π6
= ______ ．
16. 满足sin π
5sinx +cos 4π5
cosx =1
2
的锐角x =_________． 17. 已知f(x)=cos
xπ6
(x ∈N +)，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2010)= ______ ．
18. 如图，在△OAB 中，C 是AB 上一点，且AC =2CB ，设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，
则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ .(用a ⃗ ,b ⃗ 表示)
19. 关于函数，有下列命题：①f (x )的表达式可以改写成
；②f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；③f (x )的图象关于点(−π
6,0)
对称；④f (x )的图象关于直线y =−π
6对称.其中正确命题的序号是__________ 三、解答题（本大题共4小题，共55.0分）
20. 已知角α终边上一点P(m,1)，cosα=−1
3.(1)求实数m 的值；(2)求tanα的值．
21. 化简与求值：
(1)cos(2π−α)sin(π+α)
sin(π2
+α)tan(3π−α)． √1−2sin10°cos10°
cos10°−√1−cos 2170°
．
22. 已知函数f(x)=1
2sin(2x −π
6) ,x ∈R.求f(x)在区间[−π3,π
4]上的最大值和最小值．
23.已知函数f(x)=cos2(ωx−π
6)+√3sin(ωx−π
6
)sin(ωx+π
3
)−1
2
(ω>0)，满足f(α)=−1，
f(β)=0，且|α−β|的最小值为π
4
．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0,π
2
]上的单调区间和最大值、最小值．
【答案与解析】
1.答案：A
解析：
本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．
由sin(α+2kπ)=sinα、sin(α+π)=−sinα及特殊角三角函数值解之．
解：sin585°=sin(585°−360°)=sin225°=sin(45°+180°)=−sin45°=−√2
2
，故选A．
2.答案：C
解析：
本题考查三角函数的图像和性质，属于容易题．
解：因为y=2sin(1
2x+π
4
)，所以周期T=2π1
2
=4π，
振幅A=2，初相φ=π
4
．
故选C．
3.答案：B
解析：
本题考查终边相同角的表示，属于基础题．
直接利用终边相同角的表示方法求解即可．
解：与36°角终边相同的角为36°+k×360°，k∈Z，令k=−1，可得−324°．
故选B．
4.答案：D
解析：解：∵扇形的半径为6cm，圆心角为60°，
∴S=15π×62
360=3π
2
cm．
故选：D．
根据扇形的面积公式S=nπR2
360
解答该题．
本题考查了扇形面积的计算．此题属于基础题，只要熟记扇形面积公式即可解题．5.答案：B
解析：
本题考查了三角函数简单的求值及诱导公式，属于基础题．
利用变换sin2040°=sin(5×360°+240°)=sin240°即可求解．
解：sin2040°=sin(5×360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=−sin60°=−√3
2
．故选B．
6.答案：D
解析：
本题考查三角函数化简求值，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
利用同角基本关系即可求解．
解：由sinα=−5
13
，且α为第四象限角，
得cosα=√1−sin2α=12
13
，
所以tanα=sinα
cosα=−5
12
．
故选D．7.答案：A
解析：解：∵A 是△ABC 的内角，且tanA =−2， ∴cosA =−√11+tan 2A
=−
√5
5
． 故选A ．
根据A 为三角形的内角，且tan A 的值小于0，得到A 为钝角，利用同角三角函数间基本关系求出cos A 的值即可．
此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
8.答案：A
解析：
本题考查分段函数求值，根据定义域选择合适的解析式，由内而外逐层求解． 由题意得，先求1
f(2)的值，再根据所得值代入相应的解析式求值． 解：当x >1时，f(x)=x 2+x −2，则f(2)=22+2−2=4， ∴
1
f(2)=1
4
， 当x ≤1时，f(x)=1−x 2， ∴f(
1f(2)
)=f(14
)=1−
116
=
1516
．
故选A ．
9.答案：C
解析：
此题考查向量的模，共线向量，属于基础题．
根据向量的模和共线向量的定义对4个命题进行判断即可． 解：对于A ，当a ⃗ =0⃗ 时，有2a ⃗ =a ⃗ ； 对于B ，当|a ⃗ |=0时，有|2a ⃗ |=|a ⃗ |； 对于C ，显然正确；
对于D ，当|a ⃗ |=1
2时，有|2a ⃗ |=1． 故选C ．
10.答案：B
解析：
本题主要考查三角函数的化简与证明，属于一般题．
解析：
解：∵f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4(a,b，α，β为非零实数)，
f(2018)=6，
∴f(2018)=asin(2018π+α)+bcos(2018π+β)+4 =−asinα−bcosβ+4=6，
∴asinα+bcosβ=−2，
f(2019)=asin(2019π+α)+bcos(2019π+β)+4 =asinα+bcosβ+4=−2+4=2．
故选：B．
11.答案：B
解析：解：将y=sin 2x的图象向右平移π
8个单位，可得y=sin(2x−π
4
)的图象，
故选：B．
由题意利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．12.答案：C
解析：解：由题意以及函数的图象，可知T=4×(3−1)=8，因为T=2π
ω，所以ω=π
4
；
因为函数的图象经过(1,1)，所以1=sin(π
4
×1+φ)，则，k∈Z，
，k∈Z，
因为0≤φ<2π，所以φ=π
4
；
故选C．
通过函数的图象求出函数的周期，利用周期公式求出ω，利用函数的图象经过(1,1)代入函数的表达式即可得到φ．
本题是基础题，考查三角函数的图象求函数的解析式，考查计算推理能力；注意函数的周期，图象上的特殊点，初相的范围，否则容易出错．
13.答案：C
解析：解：由于函数f(x)=x 2sinx 是奇函数，
故它的图象关于原点对称，且当x ∈[0,π]时，函数值为正实数， 故选：C ．
根据函数f(x)=x 2sinx 是奇函数，且函数在[0,π]上的函数值为正实数，从而得出结论． 本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数在∈[0,π]上的值域，属于基础题．
14.答案：A
解析：
本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.根据题意先利用平方关系求出m 的值，进而确定出sinθ,cosθ的值.再利用商数关系求出tanθ的值即可．
解：∵sin 2θ+cos 2θ=1，∴(m−3
m+5)2+(4−2m
m+5)2=1，解得m =0或m =8． ∵θ∈[π
2
,π]，∴sinθ≥0，cosθ≤0. 当m =0时，sinθ=−3
5，cosθ=4
5，不符合题意; ∴当m =8时，sinθ=5
13，cosθ=−12
13，tanθ=−5
12． 故选A ．
15.答案：−√3
2
解析：解：cos5π
6=cos(π−π
6
)=−cosπ
6
=−√3
2
，
故答案为：−√3
2
．
由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．
本题主要考查应用诱导公式进行化简和求值，属于基础题．
16.答案：7π
15
解析：
本题考查了诱导公式，两角和的余弦公式，知值求角问题，属于中档题．
解：因为sinπ
5sinx+cos4π
5
cosx=sinπ
5
sinx−cosπ
5
cosx=−cos(π
5
+x)=1
2
，
所以cos(π
5+x)=−1
2
，
因为x∈(0,π
2
)，
所以π
5+x∈(0,7π
10
)，
所以π
5+x=2π
3
，
所以x=7π
15
．
故答案为7π
15
．
17.答案：−1
解析：
本题重点考查了三角函数的周期性、三角函数求值等知识，属于中档题．首先，确定该函数的周期，然后根据周期性进行求解．
解：∵函数f(x)=cos xπ6(x ∈N +)， ∴f(x)的最小正周期T =2ππ
6=12，
故f(x)的最小正周期为12， 又f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(12)=0，
∴f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2010)
=f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(6)=−1，
故答案为：−1．
18.答案：13a ⃗ +2
3b ⃗
解析：解：OC ⃗⃗⃗⃗⃗
=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2
3OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13
a ⃗ +23
b ⃗ ． 故答案为：13a ⃗ +2
3
b ⃗ 利用向量的线性运算即可．
本题考查了向量的线性运算，属于基础题． 19.答案：①③
解析：
本题主要考查正弦函数的基本性质--周期性、对称性，考查诱导公式的应用.掌握三角函数的基础知识是解题的关键．
根据诱导公式可判断①，由函数y =Asin(ωx +φ)的周期公式可判断②，根据正弦函数的对称性可判断③和④，得到答案．
解：
，故①正确；
∵f(x)的最小正周期为
，故②不正确； 令代入得到，故y =f (x)的图象关于
点(−π6,0)对称，故③正确，④不正确．
故答案为①③．
20.答案：(1)m =−√24；(2)tanα=1m =−2√2．
解析：(1)根据任意角的三角函数定义得，cosα=2=−13，解得m =−√2
4
.(2)由正切函数的定义得，tanα=1m =−2√2． 21.答案：解：(1)cos(2π−α)sin(π+α)sin(π2+α)tan(3π−α) =−cosαsinα−cosαtanα
=cosα． √1−2sin10°cos10°cos10°−√1−cos 2170° =|cos10°−sin10°|
cos10°−sin10°
=1．
解析：(1)直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．
(2)利用同角三角函数基本关系式化简求解即可． 本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．
22.答案：√34；−1
2．
解析：∵x ∈[−π3,π4]，∴2x ∈[−
2π3,π2]，则2x −π6∈[−5π6,π3]，∴12sin(2x −π6)∈[−12,√34].故f(x)在区间[−π3,π4]上的最大值和最小值分别为√34,−12
． 23.答案：解：(1)函数f(x)=cos 2(ωx −π6)+√3sin(ωx −π6)sin(ωx +π3)−12
=
cos(2ωx −π3)+12+√32(2sin(ωx −π6)cos(ωx −π6)−12, =12cos(2ωx −π3)+√32sin(2ωx −π3)=sin(2ωx −π3+π6)=sin(2ωx −π6)，
它满足f(α)=−1，f(β)=0，且|α−β|的最小值为π4，∴14⋅2π2ω=π4，
∴ω=1，∴f(x)=sin(2x−π
6
).
(2)在[0,π
2]上，2x−π
6
∈[−π
6
,5π
6
]，令−π
6
≤2x−π
6
≤π
2
，
求得0≤x≤π
3，故函数f(x)在[0,π
2
]上的单调区间为[0,π
3
].
令π
2≤2x−π
6
≤5π
6
，求得π
3
≤x≤π
2
，故函数f(x)在[0,π
2
]上的单调区间为[π
3
,π
2
].
故函数的最大值为f(π
3)=1.又f(0)=−1
2
，f(π
2
)=1
2
，
故函数的最小值为f(0)=−1
2
．
解析：(1)利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象特征求出ω，可得函数的解析式．
(2)利用正弦函数的单调性、定义域和值域，求得函数f(x)在[0,π
2
]上的单调区间和最大值、最小值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．。