江西省景德镇市2012届高三第三次质检(文科数

景德镇市2012届高三第三次质检试题文科数学卷
考试时间：2012年4月14日下午14：00-16：00
第Ⅰ卷（选择题 满分50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1． 已知i 为虚数单位，则=++++1221i i i
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．i +1
2． 已知集合M 、N 、P 均为全集U 的子集，图中阴影部分用M 、N 、P 表示为
A ．（M ∪N ）∩P
B ．（M ∪N ）∩（P
C U ）
C ．（M ∩P ）∪（N ∩P ）
D ．（M ∪P ）∩（N ∪P ）
3．函数1
62---=x x x y 的定义域为 A ．2[-,1]∪[3，+∞) B ．2[-,1)∪[3，+∞）
C ．3(-,1)∪(2，+∞)
D ．3[-,1)∪(2，+∞)
4．函数)23sin(5)62sin(12x x y -++=π
π
的最大值是
A ．2
356+ B ．17 C ．13 D ．12 5．已知}{n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为}{n a 的前n 项和，+∈N n ，则10S 的值为
A ．110-
B ．90-
C ．90
D ．110
6．命题p ：幂函数33
1)1(2---=m m x m y 在R 上为增函数；命题q ：)1(log 22++=x x y 是奇函数，下列复合命题中假命题是
A ．p 或q
B ．p 且q
C ．非p 或非q
D ．非p 或q
7．满足函数3)12()(2+-+=x a ax x f 在区间2
3[-，]2的最大值为5的实数a 的值有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个 8．直线)(03)2(R m y x m ∈=+--与圆046222
=+--+y x y x 的交点个数为
A ． 0个
B ． 1个
C ． 0个或2个
D ．2个
9．底面边长为4的正四棱柱（高)6>h 形的容器，先放入一个半径为2的球，然后再放入一个半径为1的小球，则小球的最高点距棱柱底面的距离为
A ．6
B ．223+
C ．73+
D ．63+
10．已知函数x x x f )2
1
(|||log |)(2-=，关于)(x f 的零点的结论正确的是 A ．有三个零点，且所有零点之积大于1- B ．有三个零点，且所有零点之积小于1-
C ．有四个零点，且所有零点之积大于1
D ．有四个零点，且所有零点之积小于1
第Ⅱ卷（非选择题 满分100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11．已知函数x
x x f 2ln )(-=，运行如图所示的程序框图，则输出的结果是_______________
12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_____________
13．已知圆O ：922=+y x ，直线l 过点（0，3），倾斜角为α，α在区间（0，π）内随机取值。

l 与圆O 相交于A 、B 两点，则|AB|≤23的概率是_____________
14．从抛物线)0,0(22>≥=p x py x 的焦点F 发出一条斜率为1-的光线，经抛物线反射后，反射光线经过点M 2(，)m ，则p 的值为_____________
15．若关于x 的不等式+
-|2|2x x a x 2log ≤的解集为非空集，则实数a 的取值
范围是_________
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．(本小题12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知向量→u 1(=，)sin 2A ，A v (sin =→,)cos 1A +，满足→u ∥→
v ，a c b 3=+
（1）求角A 的值； （2）求B sin 的值
17．(本小题12分)某校决定为本校上学时间不少于30分钟的学生提供校车接送服务。

为了解学生上学所需时间，从全校600名学生中抽取50人统计上学时间（单位：分钟），现对60人随机编号为001，002，．．．．．．600。

抽取50位学生上学时间均不超过60分钟，将时间按如下方式分成六组，第一组上学时间在[0，10），第二组上学时间在[10，
20），．．．．．．第六组上学时间在[50，60]（单位：分钟）得到各组人数的频率分布直方图。

如下图。

（1）若抽取的50个样本是用系统抽样的方法得到，且第一段的号码为006，则第五段抽取的号码是什么？
（2）若从50个样本中属于第4组和第6组的所有人中随机抽取2人，设他们上学时间分别为a 、b,求满足|a-b|>10的事件的概率；
（3）设学校配备的校车每辆可搭载40名学生，请根据抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车？
18．(本小题12分)已知数列}{n a 满足：11=a ，且n n a n n a 221)
1(+=+)(+∈N n ，1212+-⋅=n n n a a b ，数列}{n b 的前n 项和为n S
（1）求数列}{n a 的通项n a
（2）求证：2
1<n S
19．(本小题12分)三棱锥O-ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，P 为OC 中点，PQ 垂直BC 于Q ，OA=OB=OC=2，过PQ 作一个截面，交AB 、AO 于R 、S ，使PQRS 为梯形。

（1）求SO AS 、RB
AR 的值；
（2）求五面体ACPQRS 的体积。

20．(本小题13分) 已知1F 、2F 分别是椭圆C 1：1222
=+y a
x 的左、右焦点，M 、N 分别是双曲线C 2：122
22=-y a
x 的左、右焦点，过N 作双曲线渐进线的垂线，垂足为P ，若PF 2⊥x 轴
（1）椭圆C 1与双曲线C 2的方程；
（2）分别过F 2和N 作两条平行线1l 、2l ，1l 交椭圆于A 、B ，2l 交双曲线右支于D 、E ，问：是否存在R ∈λ，使得
||||1DE AB λ+为定值，若不存在，说明理由。

21．(本小题14分)已知函数2)ln 2
1
()(2+-+=x a x x x f 在点1(，)1(f ）处的切线的斜率为2
1。

（1）求a 的值； （2）设函数)2(42)()(>-=
x x x f x g 问：函数)(x g y =是否存在最小值点0x ？若存在，求出满足m x <0的整数m 的最小值；若不存在，说明理由。

高三文科数学答案
1-5 CBBCD 6-10 CBDCA
11．2
12．10
13．21 14．22+
15．44
10≥<
<a a 或 16．16．（1）→u ∥→v 0sin 2sin )cos 1(1=⨯-+⨯⇒A A A
201cos sin 2=--A A
01cos )cos 1(22=---A A
01cos cos 22=-+A A
2
1cos =A 或1- 因为A 为三角形内角，所以︒=60A
（2）a c b 3=+
2360sin 3sin 3sin sin =
︒==+A C B B A B C -︒=--︒=120180 所以2
3)120sin(sin =-︒+B B 2
3cos 23sin 23=+B B 2
321cos 23sin =⋅+⋅B B 23)30sin(=
︒+B ︒︒=︒+1206030或B
︒︒=9030或B 所以12
1sin 或=B 17．（1）1250600=÷
第一段的号码为006，
第五段抽取的数是5412)15(6=⨯-+
即第五段抽取的号码是054
（2）第4组人数45010008.0=⨯⨯=
这4人分别设为A 、B 、C 、D
第6组人数25010004.0=⨯⨯=
这2人分别设为x ，y
随机抽取2人的可能情况是：
AB AC AD BC BD CD xy
Ax Ay Bx By Cx Cy Dx Dy
一共15种情况，其中他们上学时间满足|a-b|>10的情况有8种
所以满足|a-b|>10的事件的概率15
8=p 18．解：（1）112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅=--- 22222221121)1()2()1(n
n n n n =⋅--⋅-=
（2）)121121(21)12)(12(1)
12(1)12(122+--=+-=+⋅-=n n n n n n b n 数列}{n b 的前n 项和n S 为：
2
4121)1211(21)12112171515131311(21+-=+-=+--++-+-+-=
n n n n S n 因为n 是正整数，所以02
41>+n 故21<n S 19．(本小题12分)三棱锥O-ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，P 为OC 中点，PQ 垂直BC 于Q ，OA=OB=OC=2，过PQ 作一个截面，交AB 、AO 于R 、S ，使PQRS 为梯形。

（1）求SO AS 、RB
AR 的值； （2）求五面体ACPQRS 的体积。

解：（1）因PQRS 为梯形，只能是PS ∥QR ，于是得到
PS ∥AC QR ∥AC
因P 为OC 中点，所以1=SO
AS 因PQ 垂直BC ，所以2
2==CQ PQ 而22=CB
所以
3
1=BC CQ 即：31=RB AR （2）连OA ，OR ，PR
3
42222131=⨯⨯⨯⨯=
-ABC O V 4
3232322131=⨯⨯⨯⨯=-OBR Q V 12
112112131=⨯⨯⨯⨯=-OSR P V 8
1232112131=⨯⨯⨯⨯=-OPQ R V 所以五面体ACPQRS 的体积83)8112143(34=++-= 20．解：(1)可求出a 2
=2 ∴两种曲线的方程分别为122,122
222=-=+y x y x (2)若L 1，L 2不垂直于x 轴，设其斜率为k ，则
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12
)1(22y x x k y ⎩⎨⎧=--=2)2(22y x x k y 22212)1(2k k AB ++=可求出 2222(1)1
k DE k ⋅+=- 21-=∴λ, 定值为823 当L 1，L 2与x 轴垂直时113228
AB DE -= 21-=∴λ存在, 定值为8
23 21．解：（1）1)ln 21(212)(⋅-+⋅+
='a x x x x x f x x ln 21212++=a - 2
1)1(=
'f 2
102112=-++⨯a 2=a
（2）2)2ln 2
1()(2+-+=x x x x f 设42)()(-=x x f x g ，则
22)
42(2)22ln 2()42)(23ln 212()(-⨯+-+---+='x x x x x x x x x g 22)
42(ln 2272--+-=x x x x 令x x x x h ln 2272)(2-+-=
0)2)(14(274274)(2>-+=--=--='x
x x x x x x x x h 故)(x h 在（2，+∞）上为增函数
又 02ln 24)2(<--=h ，03ln 21)3(<--=h ，04ln 26)4(>-=h 因最小值点0x 为)(x h 的零点，所以430<<x
而m x <0，m 是整数
故整数m 的最小值为4。