福建省南平市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题及答案

福建省南平市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下面4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2．要使分式
1x x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠ B ．1x > C ．0x ≠ D ．0x > 3．每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A ．3cm ，4cm ，8cm
B ．8cm ，7cm ，15cm
C ．13cm ，12cm ，20cm
D ．5cm ，5cm ，11cm
4．如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，5BD =，则CD 等于（ ）
A ．10
B ．5
C ．4
D ．3
5．下列运算正确的是（ ）
A ．2a ﹣a ＝2
B ．（a ﹣1）2＝a 2﹣1
C ．a 6÷a 3＝a 2
D ．（2a 3）2＝4a 6
6．在△ABC 和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能．．使△ABC ∠∠A′B′C′一定成立的是（ ）．
A ．AC=A′C′
B ．BC=B′C′
C ．∠B=∠B′
D ．∠C=∠C′ 7．若x 2+mx ﹣12＝（x +4）（x ﹣n ），则m 的值是（ ）
A ．3
B ．﹣3
C ．1
D ．﹣1 8．如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若∠2＝50°，则∠1的度数是（ ）
A ．80°
B ．90°
C ．100°
D ．120° 9．下列各式是完全平方式的是（ ）
A ．21
4x x -+ B ．21+4x C ．22a ab b ++ D ．221x x +-
10．已知：如图，在∠ABC ，∠ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：
∠BD =CE ；∠∠ACE +∠DBC =45°；∠BD ∠CE ；∠∠BAE +∠DAC =180°．
其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题 11．计算：0π=___________．
12．分解因式：3x 2﹣3y 2＝_____．
13．计算：24a 2b ÷8ab ＝______．
14．在Rt ∠ABC 中，∠C ＝90°，点D 在边BC 上，BD ＝AD ，∠B ＝∠DAC ，若DC ＝1，则BC ＝______．
15．若a 2+b 2＝13，a ﹣b ＝1，则ab 的值是_______．
16．如图，在四边形ABCD 中，AD ∠CD ，AB ∠BC ，∠DAB ＝130°，点M ，N 分别是边BC ，CD 上两个动点，当∠AMN 的周长最小时，∠MAN 的度数为______．
三、解答题
17．化简：（x +y ）2+（x +y ）（x ﹣y ）﹣2xy ．
18．计算：
11
()
2
a b
ab a b
+
÷+．
19．如图，在∠ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，求∠DBC的度数．
20．如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：
∠A=∠D．
21．在平面直角坐标系中，∠ABC三个顶点的坐标为：A（﹣3，4），B（﹣4，1），C （﹣1，3）．
(1)已知∠A1B1C1与∠ABC关于y轴对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1．
∠在网格中作出∠A1B1C1；
∠请写出点A1，B1，C1的坐标：A1_______；B1______；C1_______；（直接写出答案）(2)∠ABC的面积为_______．
22．如图，在∠ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，CD∠AB垂足为D，猜想线段AD与线段BD的数量关系，并给出证明．
23．从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600km的普通公路，另一条是全长500km
的高速公路，某汽车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快40km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该汽车由高速公路从甲地到乙地所需的时间．
24．如图，在∠ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且
BE=CF，BD=CE．
(1)求证：∠DEF是等腰三角形；
(2)当∠A的度数为α时，求∠DEF的度数．（用含α的代数式表示）
25．如图1，在等边∠ABC中，点E是边AC上的一定点，过点E作EH∠AB，交BC 于点H．
(1)求证：∠CEH是等边三角形；
(2)如图2，点D是射线BC上的一动点（不与点B，C重合），以DE为一边，在DE的右侧作等边∠DEF．
∠当点D在边BC上（不与点H重合）时，求证：∠DEH∠∠FEC．
∠当点D在射线BC上（不与点H重合）时，直接写出线段CE，CF，CD之间满足的数量关系．
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】
解：A．是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．A
【解析】
【分析】
根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
【详解】
由题意得，x-1≠0，
解得x≠1．
故选A．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解决问题的关键．
3．C
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】
解：A 、3+4<8，不能组成三角形，故该选项不符合题意；
B 、8+7=15，不能组成三角形，故该选项不符合题意；
C 、13+12>20，能够组成三角形，故该选项符合题意；
D 、5+5＜11，不能组成三角形，故该选项不符合题意．
故选C ．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD 的长．
【详解】
∠AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线
∠CD=BD=5．
故选：B ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识．
5．D
【解析】
【分析】
由合并同类项的法则判定A ，由()2
222a b a ab b -=-+判断B ，由m n m n a a a -÷= （,m n 为整数）判断C ，()n n n ab a b =（n 为整数）判断D ，从而可得答案.
【详解】
解：2,a a a -= 故A 不符合题意； ()22121,a a a -=-+ 故B 不符合题意；
633,a a a ÷= 故C 不符合题意；
()2
3624,a a = 故D 符合题意；
故选：D
【点睛】
本题考查的是合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式，熟悉
m n m n a a a -÷= （,m n 为整数）
，()n n n ab a b =（n 为整数），()2
222a b a ab b -=-+是解题的关键.
6．B
【解析】
【详解】
A 、∠A=∠A′，AB=A′B′AC=A′C′，根据SAS 能推出∠ABC∠∠A′B′C′，故本选项错误；
B 、具备∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′，不能判断∠ABC∠∠A′B′C′，故本选项正确；
C 、根据ASA 能推出∠ABC∠∠A′B′C′，故本选项错误；
D 、根据AAS 能推出∠ABC∠∠A′B′C′，故本选项错误．
故选B ．
7．C
【解析】
【分析】
把等式右边进行化简，左右对照，各项对应相等，即可解答．
【详解】
由212(4)()x mx x x n +-=+-
244x x nx n =+-- 2(4)4x n x n =+--，
4,412m n n ∴=--=-，
3,1n m ∴==，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
如图，先根据图形的翻折变换的性质求出3∠的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】
如图所示，
∴318050280︒︒︒∠=-⨯=，
纸条的两边互相平行，
1180318080100︒︒︒︒∴∠=-∠=-=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了图形的翻折变换以及平行线的性质，根据图形得到角度之间的关系是解题的关键．
9．A
【解析】
【分析】
根据完全平方公式的公式结构对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
A 、2211=()42
x x x -+-，故本选项正确； B 、应为21+4+4x x ，故本选项错误；
C 、应为222a ab b ++，故本选项错误；
D 、应为22+1x x +，故本选项错误．
故选：A ．
【点睛】
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，熟记公式结构是解题的关键．
10．D
【解析】
【分析】
∠由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；∠由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；∠再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；∠利用周角减去两个直角可得答案．
【详解】
解：∠∠∠BAC=∠DAE=90°，
∠∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∠在∠BAD和∠CAE中，
AB AC
BAD CAE
AD AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∠∠BAD∠∠CAE（SAS），
∠BD=CE，本选项正确；
∠∠∠ABC为等腰直角三角形，
∠∠ABC=∠ACB=45°，
∠∠ABD+∠DBC=45°，
∠∠BAD∠∠CAE，
∠∠ABD=∠ACE，
∠∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
∠∠∠ABD+∠DBC=45°，
∠∠ACE+∠DBC=45°，
∠∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD∠CE，本选项正确；
∠∠∠BAC=∠DAE=90°，
∠∠BAE+∠DAC=360°-90°-90°=180°，故此选项正确，
综上，四个选项都是正确的，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
11．1
【解析】
【分析】
直接利用零指数幂的性质得出答案．
【详解】
解：01
π=．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了零指数幂的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
12．3（x+y）（x﹣y）
【解析】
【分析】
原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
解：原式＝3（x2﹣y2）＝3（x+y）（x﹣y），
故答案为：3（x+y）（x﹣y）
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．3a
【解析】
【分析】
直接利用整式的除法运算法则计算得到答案．
【详解】
2
÷=，
2483
a b ab a
故答案为：3a．
【点睛】
本题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
14．3
【解析】
【分析】
首先由AD BD =，得B BAD ∠=∠，则B BAD CAD ∠=∠=∠，故可得三角形中每个角的度数，再利用含30的直角三角形的性质可得AD 的长度，即可得BC 的长度．
【详解】
解：AD BD =，
B BAD ∴∠=∠，
又B DAC ∠=∠，
∴CAD BAD B ==∠∠∠，
∴在Rt ABC ∆中，由180BAC B C ︒∠+∠+∠=
则2180CAD CAD C ︒∠+∠+∠=，30︒∠=CAD ，
在Rt ACD ∆中，1CD =，30︒∠=CAD ，
则22AD CD ==，
2BD ∴=，
3BC ∴=，
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，含30的直角三角形的性质，熟练掌握含30的直角三角形的性质是解题的关键．
15．6
【解析】
【分析】
将a -b =1两边平方，利用完全平方公式化简，将第一个等式代入计算即可求出ab 的值．
【详解】
解：将a -b =1两边平方得：（a -b ）2=a 2+b 2-2ab =1，
把a 2+b 2=13代入得：13-2ab =1，
解得：ab =6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
16．80°##80度
【解析】
【分析】
作点A 关于CD 的对称点A '，关于BC 的对称点A ''，连接A A '''交CD 于N '，交BC 于
M '，此时AM N '
'∆周长最小，利用整体思想得出50A AN M AA ︒'''''∠+∠=，从而得到答案． 【详解】
如图，作点A 关于CD 的对称点A '，关于BC 的对称点A ''，连接A A '''交CD 于N '，交BC 于M '，
此时AM N '
'∆周长最小， 130DAB ︒∠=，
50A A ︒'''∴∠+∠=，
50A AN M AA ︒'''''∴∠+∠=，
()1305080M AN DAB DAN BAM ︒︒︒''''∴∠=∠-∠+∠=-=，
故答案为：80︒．
【点睛】
本题主要考查了轴对称，最短路径问题，三角形内角和定理等知识，运用整体思想是解题的关键．
17．22x
【解析】
【分析】
根据完全平方公式和平方差公式进行计算，进而合并同类项即可．
【详解】
解：原式22222222x xy y x y xy x =+++--=
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
18．12
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用异分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】 解：原式2a b a b ab ab ++=
÷ 2a b ab ab a b
+=⋅+ 1=2
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
19．15︒
【解析】
【分析】
分别求出,ABC ABD ∠∠的度数，即可得结论．
【详解】
ABC ∆中，AB AC =，50A ︒∠=，
1(180)652
ABC C A ︒︒∴∠=∠=-∠=， MN 为AB 的垂直平分线，
AD BD ∴=，
50ABD A ︒∴∠=∠=，
655015DBC ABC ABD ︒︒︒∴∠=∠-∠=-=，
15DBC ︒∴∠=
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．见解析
【解析】
【分析】
根据等式的性质求出BC＝EF，根据全等三角形的判定定理SSS证∠ABC∠∠DEF，根据全等三角形的性质推出即可．
【详解】
证明：∠BE＝CF，
∠BE＋CE＝CF＋CE，
∠BC＝EF，
在∠ABC和∠DEF中
∠
AB DE AC DF BC EF
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
∠∠ABC∠∠DEF（SSS），
∠∠A＝∠D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等．
21．(1)∠图形见解答；
∠（3，4），（4，1），（1，3）；
(2)7
2
．
【解析】
【分析】
（1）∠根据轴对称的性质即可在网格中作出∠A1B1C1；
∠结合∠即可写出点A1，B1，C1的坐标：进而可以写出三点的坐标；（2）根据割补法即可求出∠ABC的面积．
(1)
∠如图所示；
∠A1（3，4），B1（4，1），C1（1，3）；故答案为：（3，4），（4，1），（1，3）；
(2)
∠ABC的面积=3×3−1
2×1×3−1
2
×2×3-1
2
×1×2=
7
2
．
故答案为：7
2
．
【点睛】
本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．22．AD=3BD．证明见解析
【解析】
【分析】
由余角的性质可得∠BCD=∠A=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得BD=1
2 BC，
BC=1
2
AB，即可得到BD=
1
4
AB，进而可证明AD与BD的关系．
【详解】
解：猜想AD=3BD．理由如下：
∠∠ACB=90°，
∠∠ACD+∠BCD=90°，∠CD∠AB，
∠∠CDA=90°，
∠∠ACD+∠A=90°，
∠∠BCD=∠A=30°，
在Rt ∠BCD 中，∠BCD =30°，
∠BD =12
BC ， 同理，BC =12
AB ， ∠BD =14
AB ， ∠AB =BD +AD ，
∠AD =34
AB ， ∠AD =3BD ．
【点睛】
本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，灵活运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
23．该汽车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为5小时
【解析】
【分析】
设该汽车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为x 小时，根据“由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半”列出方程并解答．
【详解】
解：设该汽车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为x 小时，
根据题意，得
500600402x x
-= 解得x ＝5.
经检验：x =5是原分式方程的解.
答：该汽车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为5小时.
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 24．(1)见解析
(2)∠DEF =90°-
2α．
【解析】
【分析】
（1）证∠DBE ∠∠ECF （SAS ），得DE =FE ，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠B =∠C =90°-
2α，再证∠BDE =∠CEF ，则
∠B =∠DEF ，即可得出答案．
(1)
证明：∠AB =AC ，
∠∠B =∠C ，
在∠DBE 和∠ECF 中，
BD CE B C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∠∠DBE ∠∠ECF （SAS ），
∠DE =FE ，
∠∠DEF 是等腰三角形；
(2)
解：在∠ABC 中，∠A +∠B +∠C =180°，
∠∠A =α，
∠∠B =∠C =1802
α︒-=90°-2α， 在∠BDE 中，∠B =180°-∠BDE -∠BED ，
又∠∠DEF =180°-∠CEF -∠BED ，
由（1）知，∠DBE ∠∠ECF ，
∠∠BDE =∠CEF ，
∠∠B =∠DEF ，
∠∠DEF =90°-
2α．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)∠见解析；∠线段CE ，CF ，CD 之间满足的数量关系为CD =CF +CE 或CD =CE -CF 或CD =CF -CE ．
【解析】
【分析】
（1）证明∠CEH =∠A ，∠EHC =∠B ，进而命题得证；
（2）∠由∠DEF =∠CEH =60°推出∠DEH =∠CEF ，进而命题得证；∠分为点D 在BH 上，在CH 上和在BC 的延长线上三种情形，分别根据∠DEH ∠∠FEC 得出结论．
(1)
证明：∠∠ABC 是等边三角形，
∠∠A =B =∠C =60°，
∠EH ∠AB ，
∠∠CEH =∠A =60°，∠CHE =∠B =60°，
∠∠CEH 是等边三角形；
(2)
∠证明：∠∠CEH 和∠DEF 是等边三角形，
∠CE =EH ，EF =ED ，∠CEH =∠DEF =60°，
∠∠CEH -∠FEH =∠DEF -∠FEH ，
∠∠DEH =∠CEF ，
在∠DEH 和∠FEC 中，
CE EH CEF DEH EF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∠∠DEH ∠∠FEC （SAS ），
∠如图1，
当D 在BH 上时，
由∠得，∠DEH ∠∠FEC ，
∠CF =DH ，
∠CD=DH+CH，
∠CD=CF+CE，
如图2，
点D在CH上，
同∠理得：∠DEH∠∠FEC，
∠CF=DH，
∠CD=CH-DH，
∠CD=CE-CF，
如图3，
当点D在BC的延长线时，
同∠理得：∠DEH∠∠FEC，
∠CF=DH，
∠CD=DH-CH，
∠CD=CF-CE．
综上，线段CE，CF，CD之间满足的数量关系为CD=CF+CE或CD=CE-CF或CD=CF-CE．
【点睛】
本题考查了等边三角形性质与判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类．。