【doc】中值滤波器作用于放大图像时的定点问题

中值滤波器作用于放大图像时的定点问题
第18卷第2期
2O02年4月
信号处理
SIGNALPROCESSING
,bll8NO2
ApL2002
中值滤波器作用于放大图像时的定点问题
扬健君吴援明成建波程术海秦波
(电于科技^学光电子技术系.成都610054)
摘要:本文结台图像放大技术,讨论了中值滤波器的定点问题,提出了5条在图像放大中应用中值滤波器的定理.
指出中值滤波与邻域像素交换法结合使用效果较好;十字形滤波窑值得优先考虑关键词:中值滤波图像放大定点TheRootSignalsCharactersofMedianFilteronEnlargedImages
Y angJianjunWuYuanmingChengJianboChengMuhaiQinBo (DepartmentofOptoelectronicTechnology,UniversityofElectronicScienceandTechnolo gy0fca,凸∞gdu610054)
Abstract:Therootsignals'charactersofmedianfilterOnenlargedil1]agesarediscussedinthi sm'ticle.5usefultheories, whichCalldotheirworksforthemedianfilterOnenlargedimages,havebeengivenout.Onthis condition.themedianfilterwilldoa
goodjobwithnebo
【illg_p_ld-filledinterpolator,andthe-+"filterwindowshouldbefirstchosen. Keywords:MemanfillerImageenlargementRootsignals
引言
目前图像放大,压缩等技术吸引了众多学者去研究,其
中噪声的处理是关键问题之一.中值滤波器对点噪声具有优异的抑制能力,所以备受关注.中值滤渡器的确定性特性,
即定点特性.是中值滤波的一个重要特性,决定其对噪声的抑制能力.所以研究中值滤波器作用于放大图像时的定点问题报有价值.
1.1图像放大
目前图像放大所用的插值方法主要有:1)重复插值法
(零阶保持滤波器)[]_,系统函数的维数是N×N,N是放
大倍数.2)一阶取线性插值法(线性插值滤波器)目,系统
函数的维数是(2N.1)X(2M.1),N,M分别为横向,纵
向放太倍数3)E次样条插值法,系统函数的维数是(4N+
1)×(4M上1)4)邻域像素交换法,系统函数的维数与
交换算子有关,最大维数是(2N-1)2最小维数是(N+2)
2
1.2中值滤波器
(1)一维中值滤波器,一个大小为n(奇数),作用于序
收稿日期:2001年7月9日:修回日期:2001年8月31日
列f,,iez}的中值滤波器可定义为:
yi=Med(xlIn):=Median…,xj,…+
其中v=fn-1),2.
(2)二维中值滤波器.一个具有滤波窑w,作用于二维
序列(图像){{,O,j)∈z2}的二维中值滤波器可定义为:
ylj=Mcd(xijIW):=Median[(x;s)eW]
如果宙集w环绕原点对称,井包含原点,即:s)E
w='-s)eW,且(o.0)Ew;则上式定义的中值滤波器保护
任何边缘图像f1】.此时中值滤波器的太小n为奇数.本文只讨论这类情况
L3中值滤波器的确定性特性
具有某种特征的信号(一维),图形(二维)通过中值
滤波器时不会发生改变,这种特性叫做中值滤波器的确定性特性具有这种特征的点(信号,图形)称为定点,或root signals(根信号).全局单调的信号都是定点,但在实际应用中,局部单调的信号更普遍狭义的一维局部单调
[LOMO(m)]t如果对于每一个n,(x…,x.…x1)是
单调的,则序列{xl是长度为m的局部单调,记为LOMO(m)
108信号处理第18卷
有引理1[IJ_
引理1:对于所有k,k~m-2,LOM0(In)序列对于大小
为(2k+1)的中值滤波器是不变的.
另外对二值信号,图形,各种中值滤波窗有各自特殊
的定点】.
2放大图像的确定性特性
为了讨论放大图像的二维定点问题,我们首先要研究一
维情况下的定点问题
2.1一雏定点
(1)对使用重复放大的,我们有定理1:
定理1:若原图像存在一维序列{i,1∈{a_b].a<bEzJ
(x或Y方向)为LOMO(m),则对使用重复放大成NXN
倍所得的图像,原序列所对应的新序列{x'..1∈
IN(a+1)-i,NblJ为长度为Nm的局部单调[LOMO(Nm)],对于所有krk<~Nm-2,该序列对大小为(2k+1)的中值滤波器
是不变的.
证明:由定义可知,对V∈ix.1,(xi-m-1_…x;.…,
x.)单调:对序列{x.J使用重复放大,得放大N倍的新序
列lJ,则Vx'i∈ix'】}有:当N{≤j<N('+1),X]j=x..故: VxElX'lI有(x.m十I
Lx...】1...,x】.m". (x)
调:
,X】'…,Xi,b恤.IJ
,X】,…,x…I.…x¨一】)单
LN个.m十lLN个xJLN个x.】—/
其中j=Ni.根据局部单调的定义可知新序列{x'IJ为长度
为Nm的局部单调[LOMO(Nm)]叉由引理1知定理1成立,
证毕
可以注意到.为了保证放大后局部单调的长度为Nm,
新序列的长度要收缩N点.
(2)对使用线性放大法的,我们有定理2:
定理2:对使用线性放大成NXM倍的图像.若原图像
存在一维序列(xI.1EIa_bl,a<b∈zJ(x方向)为LOMO(m), 则,原序列对应的新序列(x'l,1EIN(a+1)一1,N(D.11lJ为长
度为Nm的局部单调[LOMO(Nm)l,对于所有k,k~<Nm.2,
该序列对大小为(2k+1)的中值滤波器是不变的Y方向同
理
证明:与定理1类似.略.与定理1最大的区别在于新
序列的长度.由于线性插值不能像重复插值那样保证由原单
调序列的最后一点所生成的新点可延续前面的单调性,所以
这里的新序列的长度比重复值的短(N--1)个点
(3)用三次样条插值法的放大图像,我们有定理3和定
理4:
定理3;如果存在宁列{】,1∈fa,bj,a(b∈z)单调,且各
点一阶导数同向(均为正或均为负),则,经三次样条插值
后的新序列{x.】,1EIN(a+1卜1,N(b一11lJ仍然单调,(其中N 为该序列方向上的放大倍数).证明略.
定理4:对使用三次样条插值法放大成N×M倍的图像,
若原图像存在一维序列{x】,1EIa-b].a<b∈ZJ(X方向) LOMO(m),且各点一阶导数同向(均为正或均为负),则,
原序列所罩寸应的新序列】,1∈[N(a+1).1,N(b.1)+1]J为长度为Nm的局部单调[LOMO(Nm)],对于所有kk~<Nm-2,
该序列对大小为C2k+1)的中值滤波器是不变的:Y方向同理. 证明:根据定理3,参考定理1的方法略.三次样条
插值新序列的长度问题类似线性插值,同时也要受定理3的约束
(4j对于使用邻域像素交换法所获得的序列,由于其单
调性已不能保证,所以就不存在上述定点特性.但是,考虑
到交换算子的固有特点翻,她由一个中心区域和外围两部分组成,所以当中值滤波窗可包含且仅可包含一个中心区域
时由中值滤波的定义可知,此时使用中值滤波器有助于恢
复原信号(也适用于二维的图像)的单调性,进而恢复信号(图像)的连续性.
若原序列范围是IaIbl,表1对各种放大法使用中值滤波
时的定点范围作了简单比较:
表1定点区域大小的比较
三次样条邻域像素放大方法重复广大线性放大洼
插值法交换法
条件:序列为序列为序列为
LOM0(m)LOMO(m)LOMO(m).
且各点一
阶导数同
同
定点区域【N(a+1)-i,(a+1)?1,【N(a+1)一1,
大小:Nb+1lN?11]N一1)+1]
2.2二堆定点
有了上述一维定点的基础.现在我们讨论二维定点的问
题首先定义二维局部单调LOMO(mI,m2):对于二维区
域D,若每一行序列均是长度为mI的局部单调LOMO(mI).
每一列序列均是长度为m2的局部单调LOMO(m2),则区域
第2期中值滤波器作用于放大图像时的定点问题l09
D是面积为m】×1112的二维局部单调,记为LOMO(m】,m2). 定理s:对于所有的kl,k2.kt≤mr2:k2≤m2-2;且kL,
均为奇数,则LOMO(皿,m2)区域D对于x方向长为
t2k一十1).Y方向长为(2k2+1)的十字形中值滤波器是不变
的
证明:两个方向的单调组合有四种:1)X,Y单调递增;
2)x,Y单谓递减:3)x单谓递增,Y单调递减;4)x单调
递减,Y单调递增.四类情况的证明相似,这里只证第～种
情况:xj.ED有:
xJ≤…≤≤…≤xj(1)
xjJ.≤…≤xjJ≤…~Xhj+k2(2)
考虑(1),(2)两式,不比X大的有(kl+k2)个数一
不比xi.小的也有(kt+k2)个数,所
yi.j=Med(x~dIW)=xjJ证毕c
结合四种放大方法,我们将有雷同上述一维定点的结
果,大家可类比得之,此处略述.
必须指出.正方形,史字形中值滤波器不存在定理5的
特性.这是十字形中值滤波器的优点之～.
对二值化图像,可进一步放宽限制,得出有更普遍意义
的结论.例如,对上述的各条定理,我们可用广义局部单调
代替狭义的局部单调,定理同样成立.广义的一维局部单调
是指:如果对于每一个m(x,….x～I)为单调r则序列fxj
是长度为nl的局部单调
3结果讨论
根据上述讨论.我们有以下一些观点:
1.对使用邻域像素交换法放大的图像,其定点特性最
弱.所以对之应用中值滤波器来消除点噪声可获得根好的效果而且邻域像素交换法令噪声点分散,所以可以使用面积
较小的滤波窗,进一步减少中值滤波器对原信号的影响.
2线性插值法和三次样条插值法,不但单调特性强,而
且系统函数的维数也很大,所以定点问题严重.放大后使用中值滤波器并不划算:而且如果使用面积小的滤波窗,很可能因为定点的存在而无法消除噪声的影响所如果要对这
两种方法放大的图像使用中值滤波器来消除点噪声.应该在放大前使用.
3重复放大法同样存在定点问题,但由于它的系统函数
的维数是最小的.所使用中值滤波器也可获得良好的效
果,但滤波窗的选择范围比使用邻域像素交换法的小,而且效果也差点
4在滤波窗的选择方面,正方形滤波窗要求的有序度远
高于十字形,x字形的滤波窗,显得不够灵活不太实用.
十字形和x字形是对称的,所以如果更改二维局部单调的定义.可令x字形的滤波窗获得如同定理5的性质但由于从
视觉上,人眼更关注水平和垂直方法上的曲线及其有序度, 所以研究使用十字彤滤波窗比使用x字形滤波窗更有意义.
5.中值滤波为非线性滤波.其频率响应复杂,但当输入
频率u≤2In(n为滤波窗大小)时.可看作传递函数.
由此可知,当n小于放大倍数时,原图像各频率分量均可得以保留.由弓【言中2点可知,一般的中值滤波器可保护任何边缘图像.即可保护图像中的高频分量.中值滤波主要抑制点噪声的高频分量.参考各种放大方法的频谱可知,三次样条插值的低频分量最丰富,其余为线性插值,邻域像素交换, 最攻为重复放大.所中值滤波处理对这几种放大方法带来
的影响也依次如上:对三次样条插值的影响最少,其余为线性插值,邻域像素交换,最次为重复放大.(关于中值滤波
对放大图像的频率响应及对点噪声的抑制.另文再述).
4结束语
关于中值滤波器的定点问题虽早有论述,但主要集中在
一
维信号和二维二值图像方面,目前对关于一般的二维图像
的定点问题的讨论鲜有所闻,基于放大图像方面的讨论则更为少见本文就此进行了探讨,并得出一些有意义的定理.
这些定理可指导我们如何对放大图像应用中值滤波器简
而言之,中值滤波与邻域像素交换法结合使用效果较好;十
字形滤波宙值得优先考虑.
参考文献
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设计与研究电子科技大学.1994年3月.
[41王兆华,领域交换内插法,《信号处理》"Co1.9,No.1, 19933:pp2-8.。