2020同步北师大必修五精练：第三章 不等式测评 Word含解析

第三章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知a>b ,则下列不等式①a 2>b 2,②1
a <1
b ,③1
a -
b >1
a 不成立的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:取a=2,b=-4,可知①②③均不成立. ★答案★:D
2.不等式(x+3)2<1的解集是( ) A.{x|x>-2} B.{x|x<-4} C.{x|-4<x<-2}
D.{x|-4≤x ≤-2}
解析:原不等式可化为x 2+6x+8<0,解得-4<x<-2. ★答案★:C
3.若变量x ,y 满足约束条件{y ≤1,
x +y ≥0,x -y -2≤0,则z=x-2y 的最大值为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
解析:画出约束条件表示的可行域如图阴影部分,当目标函数z=x-2y 经过x+y=0与x-y-2=0的交点A (1,-1)时,取到最大值3.故选B . ★答案★:B
4.已知关于x 的不等式ax 2+bx-2>0的解集是(-∞,-1
2)∪(1
3,+∞),则ab 等于( )
A.24
B.6
C.14
D.-14
解析:由已知得{-b
a =-1
2+1
3,
-2a
=-12×1
3,所以a=12,b=2. 所以ab=24.
★答案★:A
5.设a>0,若关于x 的不等式x+a x
≥4在x ∈(0,+∞)恒成立,则a 的最小值为( ) A.4
B.2
C.16
D.1
解析:因为x>0,a>0,所以x+a
x ≥2√a .
因此要使不等式恒成立,应有2√a ≥4,所以a ≥4,即a 的最小值为4. ★答案★:A
6.不等式x 2-x -6
x -1
>0的解集为( )
A.{x|x<-2或x>3}
B.{x|x<-2或1<x<3}
C.{x|-2<x<1或x>3}
D.{x|-2<x<1或1<x<3}
解析:不等式可化为(x+2)(x-3)(x-1)>0,由穿针引线法(如图)可得-2<x<1或x>3.
★答案★:C
7.已知当x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx+4>0有解,则m 的取值范围为( ) A.m>-4 B.m<-4 C.m>-5
D.m<-5
解析:记f (x )=x 2+mx+4,则由二次函数的图像知,当f (1)>0或f (2)>0时,不等式x 2+mx+4>0在(1,2)上一定有解,即m+5>0或2m+8>0,解得m>-5.故选C . ★答案★:C
8.(2017浙江高考)若x ,y 满足约束条件{x ≥0,
x +y -3≥0,x -2y ≤0,则z=x+2y 的取值范围是( )
A.[0,6]
B.[0,4]
C.[6,+∞)
D.[4,+∞) 解析:画出约束条件{x ≥0,
x +y -3≥0,x -2y ≤0
所表示的平面区域为图中阴影部分,
由目标函数z=x+2y 得直线l :y=-1
2x+1
2z ,
当l 经过点B (2,1)时,z 取最小值,z min =2+2×1=4. 又z 无最大值,所以z 的取值范围是[4,+∞),故选D . ★答案★:D
9.已知a 2+14
c 2-3=0,则c+2a 的最大值是( ) A.2√3 B.2√6 C.2√7
D.3√3
解析:解法一:由a 2+c 2
4-3=0,得4a 2+c 2=12,
所以(2a+c )2=4a 2+c 2+2×2ac ≤4a 2+c 2+4a 2+c 2=24,当且仅当2a=c=√6时取等号,则c+2a 的最大值是2√6.
解法二:由a 2+1
4c 2-3=0,可得1
3a 2+1
12c 2=1,
令a=√3cos α,c=2√3sin α,α∈R ,可得c+2a=2√3sin α+2√3cos α=2√6sin (α+π
4)≤2√6. ★答案★:B
10.若变量x ,y 满足{x +y +2≤0,
x -y +4≥0,y ≥a ,且2x-y 的最大值为-1,则a 的值为( )
A.0
B.1
C.-1
D.2
解析:画出不等式组表示的平面区域,如图所示,令z=2x-y ,则y=2x-z.
因为2x-y 的最大值为-1,所以2x-y=-1与阴影部分的交点为阴影区域的一个顶点,由图像可知,当直线2x-y=-1经过点C 时,z 取得最大值,由{2x -y =-1,x +y +2=0,
解得{x =-1,
y =-1,故a=-1.
★答案★:C
11.已知在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x (单位:m)的取值范围是( ) A.[15,20]
B.[12,25]
C.[10,30]
D.[20,30]
解析:矩形的一边长为x m,则其邻边长为(40-x )m,故矩形面积S=x (40-x )=-x 2+40x ,由S ≥300得-x 2+40x ≥300,即10≤x ≤30. ★答案★:C
12.已知点P (x ,y )的坐标满足条件{x ≤1,
y ≤2,2x +y -2≥0.记y
x+2的最大值为a ,x 2+(y+√3)2的最小值为b ,则
a+b=( ) A.4 B.5 C.7+4√3
D.8+4√3
解析:线性约束条件表示的可行域为直线x=1,y=2,2x+y-2=0围成的三角形及其内部,y x+2
=
y -0
x+2
可看作点(x ,y ),(-2,0)连线的斜率,观察图形可知最大值a=1,x 2+(y+√3)2可看作两点(x ,y ),(0,-√3)间距离的平方,观察图形可知最小值b=4,所以a+b=5. ★答案★:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知m ,n 为实数,若关于x 的不等式x 2+mx+n<0的解集为(-1,3),则m+n 的值为 . 解析:由题意得,-1,3为方程x 2+mx+n=0的两根,因此-1+3=-m ,-1×3=n ⇒m=-2,n=-3,则m+n=-5. ★答案★:-5
14.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 .
解析:一年的总运费与总存储费用之和为4x+600x ×6=4(x +900x )≥4×2√900=240,当且仅当x=900
x ,即x=30时等号成立. ★答案★:30 15.若函数f (x )=√2x 2+2ax -a
-1的定义域为R ,则a 的取值范围是 .
解析:依题意得2x 2+2ax -a
-1≥0恒成立,即x 2+2ax-a ≥0恒成立,因此Δ=4a 2+4a ≤0,解得-1≤a ≤0.
★答案★:[-1,0]
16.若变量x ,y 满足{2x -y ≤0,
x -3y +5≥0,x ≥0,
则z=log 2(x-y+5)的最大值为 .
解析:根据约束条件作出可行域如图.
由z=log 2(x-y+5),得2z =x-y+5,即y=x+5-2z ,作直线l 0:x-y=0,当直线l 0过原点(0,0)时,2z 最大,即2z =5,此时z 最大,所以当x=y=0时,z max =log 25. ★答案★:log 25
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)设ƒ(x )=16x
x 2+8(x>0). (1)求ƒ(x )的最大值.
(2)证明:对任意实数a ,b ,恒有ƒ(a )<b 2-3b+21
. (1)解f (x )=
16x x 2+8
=
16
x+8x ≤
2√x ·8x
=2√2,
当且仅当{x =8
x ,
x >0,即x=2√2时,等号成立.
所以ƒ(x )的最大值为2√2. (2)证明b 2-3b+
214
=(b -32
)2
+3,
当b=3
时,b 2-3b+21
有最小值3,
由(1)得,ƒ(a )有最大值2√2.又因为2√2<3, 所以对任意实数a ,b 都有ƒ(a )<b 2-3b+21
4.
18.(本小题满分12分)已知实数x ,y 满足约束条件{x ≥0,
y ≤x ,2x +y -9≤0,设不等式组所表示的平面区域为D ,
若直线y=a (x+1)与区域D 有公共点,求实数a 的取值范围.
解作出约束条件{x ≥0,
y ≤x ,2x +y -9≤0所对应的可行域D (如图阴影部分),直线y=a (x+1)表示过点A (-1,0),且
斜率为a 的直线,
联立{y =x ,2x +y -9=0,解得{x =3,y =3,即B (3,3),
由斜率公式可得k AB =3-0
=3
,
结合图像可得,要使直线y=a (x+1)与区域D 有公共点,需使a ≤34.所以a 的取值范围为(-∞,3
4].
19.
导学号33194080(本小题满分12分)一批救灾物资随26辆汽车以x km/h 的速度匀
速开往400 km 处的地震灾区,为安全起见,
每辆汽车的前后间距不得小于(x 20)2
km,问这批物资全部
到达灾区,最少要用多少小时?
解设这批物资全部到达灾区需用y h,由题意可知,y 相当于最后一辆车行驶[25×(x 20)2
+400] km 所
用的时间,所以y=
25×(x 20)2
+400
x =
25x
202+400x ≥2×√25×400202=10,当且仅当25x 20
2=400
x ,即x=80时,等号成立. 所以这些汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时,所需时间最少,最少时间为10 h . 20.
导学号33194081(本小题满分12分)已知不等式mx 2+nx-1m
<0的解集为{x |x <-
1
2
或x >2}.
(1)求m ,n 的值;
(2)解关于x 的不等式(2a-1-x )(x+m )>0,其中a 是实数. 解(1)依题意得{ m <0,-12+2=-n m ,(-12)×2=-1m 2,
解得m=-1,n=3
2.
(2)原不等式为(2a-1-x )(x-1)>0, 即[x-(2a-1)](x-1)<0.
①当2a-1<1,即a<1时,2a-1<x<1; ②当2a-1=1,即a=1时,不等式的解不存在; ③当2a-1>1,即a>1时,1<x<2a-1.
综上,当a<1时,原不等式的解集为{x|2a-1<x<1}; 当a=1时,原不等式的解集为⌀;
当a>1时,原不等式的解集为{x|1<x<2a-1}.
21.(本小题满分12分)某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元.要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
解设投资人用x 万元投资甲项目,用y 万元投资乙项目,盈利为z 万元.
由题意知{x +y ≤10,
0.3x +0.1y ≤1.8,
x ≥0,y ≥0.
目标函数z=x+0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图,阴影部分(含边界)即为可行域.
作直线l 0:x+0.5y=0,并作平行于直线l 0的一组直线x+0.5y=z ,z ∈R ,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的点M ,且与直线x+0.5y=0的距离最大,点M 是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点.
解方程组{x +y =10,
0.3x +0.1y =1.8,
得{x =4,y =6,此时z max =4+0.5×6=7. 故当x=4,y=6时,z 取得最大值.
答:投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大. 22.
导学号33194082(本小题满分12分)某厂家拟在新年举行大型的促销活动,经测算,
当某产品促销费用为x 万元时,销售量t 万件满足t=
5-2
x+1(其中0≤x ≤a 2-3a+3,且a>0).现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品t 万件还需投入成本(10+2t )万元(不含促销费用),产品的销售价格定为(4+20
t )万元/万件.
(1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数;
(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大. 解(1)由题意知,y=(4+20
t )×t-(10+2t )-x ,
又t=5-2x+1,代入化简得y=20-(4
x+1+x)(0≤x ≤a 2-3a+3,且a>0). (2)当1≤a 2-3a+3,即a ≥2或0<a ≤1时,y=21-(4
x+1+x +1) ≤21-2√4
x+1×(x +1)=17,
当且仅当4
x+1=x+1,即x=1时,等号成立. 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大; 当a 2-3a+3<1,即1<a<2时, y'=
-(x -1)(x+3)(x+1)
2
>0,
所以y=21-(
4
x+1
+x +1)在[0,a 2-3a+3]上是增加的,
所以,当x=a 2-3a+3时,函数取得最大值.
所以促销费用投入(a 2-3a+3)万元时,厂家的利润最大.
综上所述,当a ≥2或0<a ≤1时,此时促销费用投入1万元,厂家的利润最大; 当1<a<2时,此时促销费用投入(a 2-3a+3)万元,厂家的利润最大.。